DEMO für ANALYSIS Funktionen mit 2 Variablen Ebenen als Funktionen. Teil 2: Punkt-Richtungs-Form für Ebenen

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Jasmin Sternberg
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1 ANALYSIS Funktionen mit Variablen Ebenen als Funktionen Teil : Punkt-Richtungs-Form für Ebenen Tangentialebenen an Flächen Datei Nr. 500 Stand 9. Juni 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK e

2 500 Punkt-Richtungs-Form von Ebenen Vorwort Im Gegensatz zur Hochschulmathematik wird hier eine anschauliche Grundlage gelegt. Es geht um die Erstellung von Tangentialebenen an Flächen. Nach dem anschaulichen Einführungstet in die Vielfalt der Funktionen mit zwei Variablen zeigt ich hier, dass es auch für Ebenen eine Punkt-Richtungs-Form gibt. Dies wird in. ganz anschaulich an einem Beispiel gezeigt. Dar Vergleich mit einer Vektor-Berechnung bestätigt das Ergebnis. Dabei spielen die Steigungen in -Richtung und in -Richtung die entscheidende Rolle. Unter Vorgriff auf die Theorie der Richtungsableitungen im Tet 500 wird gezeigt, wie man aus diesen beiden Steigungswerten die Steigung in jeder beliebigen Richtung berechnen kann. Im zweiten Abschnitt werden die Richtungsableitungen in - und -Richtung zu einer Fläche berechnet. Mit Hilfe der Punkt-Richtungsform erhält man dann die Tangentialebene an einer Stelle S( ), d.h. im Punkt P( z) mit z = f( ). Zum Vergleichen wird einige Male diese Tangentialebene mit den Mitteln der Vektorrechnung erstellt. Ich verwende hier einige Funktionen (Flächen), die schon in 50 gezeigt worden sind. Es wird empfohlen, diesen Tet zuvor zu lesen. Hinweis: Obwohl man die Funktion f mit den Variablen und eigentlich so schreibt: f (, ), verwende ich daneben sehr gerne die Schreibweise z= f um anzudeuten, dass z der Funktionswert zu einer Stelle ( ) ist, die einem Punkt in der -Ebene entspricht, dessen z-koordinate 0 weggelassen worden ist. Ich denke, dass dies nicht stören sollte, wenn man weiß, was gemeint ist. Inhalt Punkt-Richtungs-Form einer Ebene. Punkt-Richtungs-Form einer Geraden im R. Punkt-Richtungs-Form einer Ebene im R. Einschub: Vektoraufgaben für eine Ebene 5. Steigung der Ebene in einer beliebigen Richtung 7 Gradient einer Ebenenfunktion 8 Tangentialebenen 0 5 Beispiele 0-6 e

3 500 Punkt-Richtungs-Form von Ebenen Punkt-Richtungs-Form einer Ebene. Punkt-Richtungs-Form einer Geraden im R Dieser kleine Abschnitt dient der Wiederholung. Gegeben ist eine Punkt P( ) der Geraden und ihre Steigung m. Dann stellt = m Die Gleichung dieser Geraden dar. Beispiel: Welche Gleichung hat g durch g: = = +. P mit der Steigung m =? Die Herleitung dieser sogenannten Punkt-Richtungs-Form (Punkt-Steigungs-Form) ist sehr einfach. Für eine nicht zur -Achse parallele Gerade, kann man diesen Ansatz machen: g: = m + n () Geht die Gerade durch den Punkt P( ), dann erfüllen dessen Koordinaten die Geradengleichung, man kann sie also einsetzen und erhält. = m + n () Durch Subtraktion () () entsteht dann bereits die Punkt-Richtungs-Form: = m m = m. = m +. Manche geben diese Gleichung auch so an: Eine wichtige Anwendung ist beispielsweise die Aufstellung einer Tangentengleichung. Dazu berechnet man die Tangentensteigung durch die. Ableitung: m= f' ( ). = f ' + f. Allgemeine Tangentengleichung: Beispiel: Gegeben ist die Kurve = f = + Gesucht ist die Tangente an der Stelle =. f' = Ableitung: Tangentensteigung: Berührpunkt f' = = Tangente: f() = + = + = = + d. h. = 7 Zu diesen Fakten gibt es eine Analogie bei Ebenen im R.

4 500 Punkt-Richtungs-Form von Ebenen. Punkt-Richtungsform einer Ebene im R Beispiel Die Ebene als Schaubild einer zweidimensionalen Funktion. Die Ebene E sei gegeben durch ihre Koordinatengleichung z = Auflösen nach z: z = 6 + z = + 8 () Wir bezeichnen jetzt das Zahlenpaar ( ) als eine Stelle in der -Ebene. Die Gleichung () stellt dann eine Funktion dar, die jeder Stelle einen Funktionswert (z-wert) zuordnet. Man schreibt dann auch Beispiele: z = f, = + 8. z = f, = + 8 = + 8 = Der Punkt 8 z = f 5, = P ist ein Punkt des Schaubilds der Funktion, also der Ebene. Der Punkt P ( 5 ) ist ein Punkt des Schaubilds der Funktion, der Ebene. Welche Bedeutung haben die Koeffizienten - und - dieser Funktion? Ich schneide dazu die Ebene E mit einer Ebene E parallel zur z-ebene durch P ( ). Ihre Gleichung ist =. E: z = + 8 E : = g : z = + 8 d. h. z = + Diese gestrichelt eingezeichnete Schnittgerade verläuft einerseits in E, andererseits in der zur z-ebene parallelen Ebene E.. Projiziert man diese Gerade auf die z-ebene, erhält man dieses Schaubild: Sie fällt in -Richtung mit der Steigung m =. Nun schneiden wir E mit der zur z-ebene parallelen Ebene E : = (ohne Abbildung): E: z = + 8 E : = g : z= + 8 d. h. z = + 6. Sie hat in der z-ebene die Steigung m =. Beobachtung: In der Ebenengleichung z = + 8 stellen m = und m = die Steigungen der Ebene in - bzw. -Richtung dar. z 8 P 6 z

5 500 Punkt-Richtungs-Form von Ebenen 5. Ergebnis: Hat eine Ebene die Funktionsgleichung z = f, = a + b + c, dann ist a die Steigung der Ebene in -Richtung und b die in -Richtung. Daher kann man diese Ebenengleichung auch so schreiben: z= f, = m+ m+ c () Herleitung der Punkt-Richtungs-Form einer Ebenengleichung: Eine nicht zur -Achse parallele Ebene kann als Funktion gemäß () dargestellt werden. z= m+ m+ c () Geht die Ebene durch den Ebenenpunkt P( z ), dann erfüllen seine Koordinaten die Gleichung (): z = m + m + c () Subtraktion: () - (): z z = m( ) + m( ) Daraus folgt: z = m ( ) + m ( ) + z Ergebnis : Beispiel : Geht eine Ebene durch den Punkt P z und hat sie in -Richtung bzw. in -Richtung die Steigungen m bzw. m, dann kann man ihre Gleichung mit der Punkt-Richtungs-Form aufstellen: z = m + m + z Eine Ebene hat in -Richtung die Steigung und in -Richtung die Steigung -. P 5. Dann lautet ihre Gleichung: Sie geht ferner durch z = 5 + Durch Umstellen erhält man daraus: z = 5. Anwendung: Stellt z f = eine Fläche dar, dann kann man durch die sogenannten partiellen Ableitungen in - bzw. -Richtung die Steigung der Tangentialeben in einem Kurvenpunkt berechnen. Und wie im Beispiel erhält man dann die Gleichung der Tangentialebene. Dies wird später geübt.

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