Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang+ LehrerInnenTeam ARBEITSBLATT 6-8 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang+ LehrerInnenTeam ARBEITSBLATT 6-8 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION"

Hertha Grosse
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang LehrerInnenTeam ARBEITSBLATT 6-8 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION Wir wollen uns zu diesem Aufgabenbereich noch einige komplexere Aufgabenstellungen überlegen: Beispiel: Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades besitzt den Sattelpunkt S(/0) und einen Wendepunk(-/-). Wie lautet die Funktionsgleichung: Die Funktion muss folgendes Aussehen haben: f ( = ax bx cx x e Wir benötigen also 5 Bedingungen. Zunächst einmal bilden wir die beiden Ableitungen: = ax bx x = ax 6bx Das neue an dieser Aufgabe ist der Sattelpunkt. Werten wir diesen einmal aus. Zunächst einmal muss er ein Punkt der Funktion sein, das heißt wir können ihn in die Funktionsgleichung einsetzen: I : f () = 0 : 0 = 6a e Als Zweites ist in einem Sattelpunkt die Steigung der Funktion stets Null: II : ) = 0 0 = a Als Drittes ist ein Sattelpunkt stets ein Wendepunkt, das heißt die Krümmung der Funktion ist dort Null: III : ) = 0 0 = 8a Ein bekannter Sattelpunkt liefert uns also drei Gleichungen. Merke: Ein Sattelpunkt hat die Eigenschaften, dass er auf der Funktion liegt, die Steigung der Funktion Null ist und die Krümmung der Funktion Null ist. Für die letzten beiden Bedingungen nützen wir noch den anderen Wendepunkt aus. Zunächst muss auch dies ein Punkt der Funktion sein: IV : f ( ) = : = 6a 8b d e Außerdem muss die zweite Ableitung im Wendepunkt Null sein: V : ) = 0 : 0 = 8a b Damit haben wir alle fünf Gleichungen. Nun müssen wir das Gleichungssystem lösen: Als Erstes eliminiere ich aus den Gleichungen I und IV e: I : 0 = 6a e IV : = 6a 8b d e / ( ) I : 0 = 6a e IV : = 6a c e VI : = 6b / :

2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang LehrerInnenTeam VI : = b Nun eliminiere ich aus den Gleichungen II und VI das d: II : 0 = a VI : = b / ( ) II : 0 = a VI : = b d VII : = a Nun eliminiere ich aus den Gleichungen III und V das c: III : 0 = 8a V : 0 = 8a b / ( ) III : 0 = 8a V : 0 = 8a c 0 = b / : b = 0 Ich setze in die Gleichung VI ein, um das d zu ermitteln: VI : = b d = Um weitere Variablen berechnen zu können, müssen wir nun wieder aus den Gleichungen III und VII eine Variable eliminieren: III : 0 = 8a / ( ) VII : = a III : 0 = 96a c VII : = a = 6a / : ( 6) a = 6 Zur Berechnung von c setze ich in die Gleichung III ein: III : 0 = 8a 8 0 = 6 Wir kürzen: 0 = / = c / : c = 8 Zur Berechnung von e setze ich in die Gleichung I ein: I : 0 = 6a e 0 = e 0 = e /

3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang LehrerInnenTeam e = Die Funktion lautet also: x x f ( = x Beispiel: Der Graph der Funktion f ( = ax bx x hat an der Stelle den Wendepunkt mit der Wendetangente : x y = 0. Wie lautet die Funktionsgleichung? Wir bilden als Erstes gleich einmal die Ableitungen von f: 9 = ax bx = 6ax b Da in der Funktion f drei Unbekannte vorkommen, benötigen wir drei Gleichungen. Wir wissen, dass die Funktion an der Stelle einen Wendepunkt hat. Dieser Wendepunkt hat also die Koordinaten W(/y). Den y-wert des Wendepunktes können wir uns aber aus der bekannten Wendetangente ermitteln, denn diese geht ja durch den Wendepunkt. Wir setzen dazu den bekannten x-wert in die Tangentengleichung ein: : x y = 0 y = 0 / y = / : ( ) y=6 W hat also die Koordinaten: W(/6) Nun können wir als ausnützen, dass W ein Punkt der Funktion sein muss: I : f () = 6 : 6 = 6a 6b 8 Da W ein Wendepunkt ist, muss die zweite Ableitung an dieser Stelle Null sein: II : ) = 0 : 0 = a b Nun fehlt uns nur noch eine Bedingung. Dazu können wir die Wendetangente verwenden. Aus der Gleichung der Wendetangente können wir uns ja die Steigung von dieser ermitteln. Diese muss aber zugleich die Steigung der Funktion im Wendepunkt sein. Zunächst formen wir also die Tangentengleichung in die Hauptform der Geradengleichung um, um die Steigung ablesen zu können: : x y = 0 / x y = x / : ( )

4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang LehrerInnenTeam y = x Die Steigung der Tangente ist also. Folglich muss auch die Steigung der Funktion im Wendepunkt, also an der Stelle gleich sein: 9 III : f ' () = : = 8a Damit haben wir nun unsere drei Gleichungen. Nun müssen wir das Gleichungssystem wie gehabt lösen und uns a, b und d berechnen. Diesen Schritt lasse ich hier aus. Beispiel: Eine Polynomfunktion vierten Grades, die die x-achse im Ursprung berührt, hat im Wendepunkt P(/) eine Wendetangente mit der Steigung. wie lautet die Funktion? Gleichung.Grades lautet: f ( = ax bx cx x e Wir benötigen also 5 Bedingungen. Zunächst einmal bilden wir die beiden Ableitungen: = ax bx x = ax 6bx Da die Funktion die x-achse im Ursprung berührt, muss der Punkt N(0/0) ein Punkt der Funktion sein: I : f (0) = 0 : 0 = e Dass die Funktion aber die x-achse im Punkt (0/0) berührt, bedeutet weiters, dass die x-achse Tangente an die Funktion ist. Die x-achse hat die Steigung 0, folglich muss auch die Funktion an der Stelle 0 die Steigung 0 haben: II : f ' (0) = 0 : 0 = d Auch der Wendepunkt P muss auf der Funktion liegen: III : f () = : = 6a Da es ein Wendepunkt ist muss die zweite Ableitung Null sein: IV : f ' ' () = 0 : 0 = 8a Die Steigung der Wendetangente muss in P gleich der Steigung der Funktion sein. Folglich ist die Steigung der Funktion an der stelle gleich : V : f ' () = : = a Damit haben wir alle notwendigen Gleichungen und können a, b und c ermitteln: Zunächst eliminiere ich aus den Gleichungen III und V das c: III : = 6a

5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang LehrerInnenTeam V : = a / ( ) III : = 6a V : = a b c VI : = 6a b Da wir jetzt erst eine Gleichung mit zwei Unbekannten (a und b) haben müssen wir uns aus den oberen drei Gleichungen noch aus einem anderen Gleichungspaar eine Gleichung mit a und b ermitteln. Ich eliminiere das c noch aus den Gleichungen III und IV: III : = 6a IV : 0 = 8a / ( ) III : = 6a IV : 0 = 96a b c VII : = 80a 6b Nun eliminiere ich aus den Gleichungen VI und VII b: VI : = 6a b / ( ) VII : = 80a 6b VI : = 6a 6b VII : = 80a 6b = 6a / : ( ) a = 8 Ich setze in die Gleichung VI ein, um b zu ermitteln: VI : = b / b = / : ( ) b = Ich setze in die Gleichung III ein, um c zu ermitteln: III : = 6 / c = 6 / : c = Die Funktion lautet also: x x x f ( == 8 5

Ähnliche Dokumente

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 6. Semester ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 6. Semester ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION Bisher haben wir immer eine Funktion gegeben gehabt und sie anschließend diskutiert. Nun wollen wir genau das entgegengesetzte unternehmen. Wir wollen