Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe 2 Ganzrationale Funktionen Seite 1 von 10

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Manfred Kolbe
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1 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite von Allgemeines zur Aufgabenstellung: Die Aufgabenstellung gibt in der Regel eine kubische Funktion in ihrer allgemeinen Form oder in ihrer Linearfaktorform vor. Da der Taschenrechner hier nicht erlaubt ist, besitzt die allgemeine Form zumindest keinen linearen Term, da ansonsten das Bestimmen von Nullstellen und folglich auch das Skizzieren der Funktion nur schwer möglich wäre. Beispiele: für Funktionen in allg. Form: a) y b) y c) y für Funktion in Linearfaktorform: d) y ( )( )( ) e) y ( ) ( ) f) ( )( ) y Ausgehend von der gegebenen kubischen Funktion sind nun verschiedene Aufgaben zu lösen, welche im Folgenden besprochen und eemplarisch gezeigt werden. Andere Ausgangssituationen für die dann folgenden Aufgabenstellungen sind unwahrscheinlich aber nie ganz auszuschließen!

2 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite von. Berechnen von Nullstellen Die Notwendigkeit, gesuchte Nullstellen wirklich berechnen zu müssen, ergibt sich, wenn die Funktion in ihrer allgemeinen Form gegeben ist. Da der absolute Term fehlt, ist dabei der erste Schritt nach dem Nullsetzten des Funktionsterms das Ausklammern der kleinsten vorkommenden Potenz von. an unseren Beispielen: a) ( ) b) ( ) c) ( ) Es ist dann jeweils sofort erkennbar, dass eine Lösung der Gleichung die Null ist, eine Nullstelle der Funktion demnach im Koordinatenursprung liegt. für alle drei Beispiele Weitere Nullstellen sind dann durch das Nullsetzen des Klammerausdrucks zu ermitteln. an unseren Beispielen: a) Es ergeben sich als weitere Nullstellen: a) ± / ±, b) 5 b) c) c) / ± ± 9 6 ± 5 ± 5 und damit: und

3 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite von. Nullstellen, deren Vielfachheiten und geometrische Bedeutungen nennen Ist die Funktion in ihrer Linearfaktorform gegeben, so müssen die Nullstellen nicht berechnet werden, da sie sofort aus der Funktionsgleichung ablesbar sind. Deshalb lautet hier die Aufgabenstellung auch nur: Nennen Sie. Jeder lineare Faktor hat dabei die allgemeine Form ( ). Die gesuchten Nullstellen sind demnach die in den Klammern stehenden Zahlenwerte mit umgekehrtem Vorzeichen. Für unsere Beispiele ergibt sich: d) ( )( )( ) y y e) ( ) ( ) y f) ( )( ) Der Eponent n des jeweiligen Linearfaktors gibt darüber hinaus Auskunft über die Vielfachheit der Nullstelle und damit auch über deren geometrischen Bedeutung. Es gilt: n einfache Nullstelle Schnittpunkt des Graphen mit Abszisse n doppelte Nullstelle Berührungspunkt des Graphen mit Abszisse n dreifache Nullstelle Schnittpunkt des Graphen mit Abszisse Darüber hinaus ist die folgende Kenntnis nützlich: In unseren Beispielen: Ein Berührungspunkt des Graphen mit der Abszisse ( doppelte Nullstelle) stellt automatisch auch einen Etrempunkt des Graphen dar. Eine dreifache Nullstelle des Graphen weist auf einen Wendepunkt des Graphen hin. d) nur einfache Nullstellen und damit alles Schnittpunkte des Graphen mit Abszisse e) ist eine doppelte Nullstelle, damit Berührungspunkt und gleichzeitig Etrempunkt ist einfache Nullstelle und damit Schnittpunkt des Graphen mit der Abszisse f) ist einfache Nullstelle und damit Schnittpunkt des Graphen mit der Abszisse ist eine doppelte Nullstelle, damit Berührungspunkt und gleichzeitig Etrempunkt Die aus der Vielfachheit abgeleitete Kenntnis über die geometrische Bedeutung von Nullstellen hilft, wenn man ohne Taschenrechner die gegebene Funktion skizzieren soll.

4 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite von. Stelle(n) mit gegebenem Anstieg berechnen Ist für eine Funktion der Anstieg an einer gesuchten Stelle bekannt, so weiß man, dass deren. Ableitungsfunktion dort den gegebenen Anstieg als Funktionswert einnehmen muss. Beispiel : Man bestimme die Stelle an der die Funktion y den Anstieg 7 besitzt. mögliche alternative Formulierungen: - Der Anstieg der dortigen Tangenten ist 7 - Die Tangente an der Stelle ist y 7 - Die Tangente dort ist parallel zu y 7 - Der Anstieg der dortigen Normalen ist 7 Lösungsweg:. Bestimmung von f '() : f '() 6. Einsetzen des Anstiegs: 7 6. Lösen der Gleichung: 6 / ± ± Beispiel : Man berechne die Stellen, an denen die Funktion mit dem Anstieg 6 aufweist. Lösungsweg:. Bestimmung von f '() : f '(). Einsetzen des Anstiegs: 6. Lösen der Gleichung: y Tangenten ± ± 6 6 / / ± ± und

5 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite 5 von. Berechnen von Etrempunkten und Bestimmung deren Art Um die Etrempunkte zu bestimmen, ist die übliche Vorgehensweise anzuwenden.. Bilden der. und. Ableitungsfunktion. Nullsetzen der. Ableitungsfunktion. Gleichung Lösen Etremstellen. Überprüfung bzw. Bestimmung der Art durch Einsetzen in die. Ableitungsfunktion und wenn die Etrempunkte gefragt sind: 5. Bestimmung der Etremwerte über Ausgangsfunktion Beispiel : Man berechne die Etremstellen der Funktion bestimme deren Art! y und. f '() f ''().. ( ) und E E. f ''() > Minimum f '' < Maimum Beispiel : Man berechne die Etrempunkte der Funktion y ( )( ) bestimme deren Art!. y ( )( ) ( ) ( ) f '() f ''() 6 ( ).. ( ) E / ± ± E und E ± 9 9 und 9 ±

6 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite 6 von. Maimum 8 ) ( ' ' f < Minimum 8 ' ' f > 5. ( ) ( ) ( ) Etrempunkt!! doppelte Nullstelle ; Maimum f f 7 6 ; Minimum

7 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite 7 von 5. Skizzieren des Graphen Für das Skizzieren des Graphen einer ganzrationalen Funktion muss meist auf die in den vorangegangenen Aufgabenstellungen anzugebenden bzw. zu berechnenden Nullstellen, deren geometrische Bedeutungen und die Etrema zurückgegriffen werden. Darüber hinaus S y ;f () zu nutzen. ist es sinnvoll, den Schnittpunkt des Graphen mit der Ordinate ( ) Wenn all diese bekannten Informationen in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, ergibt sich der prinzipielle Verlauf des Graphen von selbst. Beispiel: Man skizziere den Graph der Funktion ( )( ) Wir wissen: y! ( ; ) ( doppelte Nullstelle Etrempunkt!! ) Maimum 6 Minimum ; 7 Wir berechnen noch schnell ( ;f ()) ( ; ) S y und es ergibt sich nach Übernehmen der Informationen in ein Koordinatensystem: Der prinzipielle Verlauf kann demnach nur so aussehen:

8 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite 8 von 6. Nachweis einer waagerechten Tangente an gegebener Stelle Bei dieser Aufgabenstellung ist zu zeigen, dass die. Ableitungsfunktion an dieser Stelle den Wert Null einnimmt. Beispiel: Zeigen Sie, dass die Funktion y f () an der Stelle eine waagerechte Tangente besitzt! Bilden der. Ableitung: f '() 6 Einsetzen der Stelle : f '( ) 6 7. Tangentengleichung an best. Stelle bestimmen Es ist die prinzipielle Vorgehensweise zur Bestimmung der Tangentengleichung zu nutzen:. Berechnung des Anstiegs der Funktion f() an gegebener Stelle m t. Einsetzen des Punktes des Graphen zur Bestimmung von n t Beispiel: Berechnen Sie an der Stelle die Tangente an den Graph der Funktion y f () 6!. Bestimmung von m t : f '() 6 f '() 6 5. Bestimmung von n t : f () 6 5 n n t m t Tangentengleichung: y t 5 t 8. Wendepunkt berechnen und Krümmungsverhalten ableiten Auch hier ist auf das Standardverfahren zur Bestimmung des Wendepunktes einer Funktion zurückzugreifen:. Bilden der. Ableitungsfunktion und Nullsetzten. Lösen der sich ergebenden Gleichung Wendestelle W. Einsetzen der Wendestelle in die Funktionsgleichung y W Zum unter Umständen zusätzlich gefragten Krümmungsverhalten der Funktion um die Wendestelle ist die. Ableitungsfunktion zu nutzen. An der Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten von Linkskrümmung zur Rechtskrümmung (dann ist der Wert der. Ableitungsfunktion in der Wendestelle negativ) oder von Rechts- zur Linkskrümmung (dann ist der Wert der. Ableitungsfunktion in der Wendestelle positiv)

9 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite 9 von Beispiel: Berechnen Sie den Wendepunkt der Funktion y f () 6 8 und treffen Sie eine Aussage zur Änderung des Krümmungsverhaltens der Funktion an dieser Stelle!. f '() 8 f ''() 6 f '''() 6. 6 W f () 6 8 P W (;). f '''() 6 > Übergang von Rechts- in Linkskrümmung 9. gegebene Wendetangente begründen Es ist zu zeigen:. Anstieg der Tangente entspricht Anstieg des Graphen in der Wendestelle. Wendepunkt des Graphen ist Punkt der zu begründenden Wendetangente Beispiel: Zeigen Sie, dass die Gerade y t die Wendetangente an den Graph der Funktion. f '() 6 f ''() 6 6 w f '() 6 y darstellt!. f () yw mit: y t

10 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite von. einfache Flächenberechnung Hier ist zumeist mit Hilfe der voran skizzierten Funktion eine Fläche mit Hilfe der Integralrechnung zu bestimmen oder zumindest der Ansatz zur Flächenberechnung anzugeben. Beispiel: Die Funktion y ( )( ) schließt mit den Koordinatenachsen im IV. Quadranten eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie deren Flächeninhalt. Aus der Skizze des Funktionsgraphen (siehe Punkt 5.) ist die gesuchte Fläche wie folgt zu identifizieren: Der Ansatz zur Bestimmung der Fläche lautet demnach: A [ ( )( ) ]d Die Flächenberechnung muss dann über den Hauptsatz der Integralrechnung erfolgen: A [ ( )( ) ] d ( ) d A A 6 FE 6

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