Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung

Transkript

1 Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas farkas 1 / 54

2 1 Anwendungen der Differentialrechnung 2 / 54

3 Wachsende und fallende Funktionen f : D(f ) R ; D = D(f ) R f heisst wachsend, wenn: f ( 1 ) f ( 2 ) für alle 1, 2 D mit 1 < 2 y 1 f ( 1 ) f ( 2 ) 2 y = f () f heisst fallend, wenn: f ( 1 ) f ( 2 ) für alle 1, 2 D mit 1 < 2 y f ( 1 ) f ( 2 ) y = f () 3 / 54

4 Wachstumsverhalten und Ableitung I = Intervall (I R) f : I R differenzierbare Funktion f () 0 für alle I f ist auf I wachsend y I y = f () f () 0 für alle I f ist auf I fallend y I y = f () 4 / 54

5 Beispiel 1 f () = f () = = = ( 1) 2 0 f () ist im gesamten Definitionsbereich monoton wachsend. Beispiel 2 f () = e f () = e > 0 f () ist im gesamten Definitionsbereich monoton wachsend. 5 / 54

6 sverhalten und zweite Ableitung: Linkskurve I = Intervall (I R) f : I R = zweimal diff bare Funktion (auf I eistiert f = (f ) ) f () 0 für alle I f beschreibt eine Linkskurve (f ist konve) y y I y = f () I y = f () 6 / 54

7 sverhalten und zweite Ableitung: Rechtskurve I = Intervall (I R) f : I R = zweimal diff bare Funktion (auf I eistiert f = (f ) ) f () 0 für alle I f beschreibt eine Rechtskurve (f ist konkav) y y I y = f () I y = f () 7 / 54

8 Zusammenfassung Anhand der 1. Ableitung lässt sich die und anhand der 2. Ableitung lässt sich die der Funktion ablesen. 8 / 54

9 Beispiel f () = 2 ln a) D(f ) = (0, ) b) f ist das Produkt zweier elementarer Funktionen, somit ist f stetig auf (0, ) c) (Intervalle) 1. Ableitung der Funktion: f () = 2 ln = 2 ln + = (2 ln + 1) 9 / 54

10 Wo hat die Funktion f () keine Steigung? f () gleich Null setzen f () = 0 (2 ln + 1) = 0 }{{} (2 ln + 1) = 0 >0 2 ln + 1 = 0 ln = 1 2 = e / 54

11 Was hat die Funktion für eine Steigung links und rechts von = e 1 2? Links von = e 1 2 (z. Bsp. an der Stelle e 1 ): f (e 1 ) = 2e 1 ln e 1 + e 1 = 2e 1 + e 1 = e 1 < 0 Rechts von = e 1 2 : f (e) = 2e ln e + e = 2e + e = 3e> 0 Die Funktion fällt links von = e 1 2 und steigt rechts von = e 1 2 (an der Stelle = e 1 2 liegt ein Minimum vor; siehe später) 11 / 54

12 2. Ableitung der Funktion: f () = (2 ln + ) = (2 ln ) + [ = 2 ln + 1 ] + 1 = 2 ln + 3 Wo hat die Funktion keine? f () = 2 ln + 3 = 0 = e / 54

13 Was hat die Funktion oberhalb und unterhalb des Sattelpunkts für eine? Unterhalb des Sattelpunkts: f (e 2 ) = 2 ln(e 2 ) + 3 < 0 Oberhalb des Sattelpunkts: f (e 1 2 ) = 2 ln(e 1 2 ) + 3 > 0 Die Funktion ist konkav unterhalb von = e 3 2 konve oberhalb von = e 3 2. und 13 / 54

14 Eine nichtlineare differenzierbare Funktion y = f () lässt sich in der Umgebung eines Kurvenpunktes P = ( 0 ; y 0 ) näherungsweise durch die dortige Tangente, d. h. durch eine lineare Funktion p ersetzen. p() = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) 14 / 54

15 Graphische Veranschaulichung: y y = f () f () p() y = p() 0 = f () p() lim = f () p(), falls 0 p() ist eine lineare Funktion, die f () bei 0 gut annähert 15 / 54

16 In zahlreichen Anwendungen stellt sich das Problem, von einer vorgebenen Funktion y = f () den grössten und kleinsten Funktionswert auf einem vorgegebenen Intervall zu bestimmen. Die Vorgehensweise ist dann jeweils wie folgt: 1 Zunächst werden mit Hilfe der Differentialrechnung die im Innern des Intervalls I liegenden relativen Etrempunkte berechnet. 2 Durch Vergleich dieser Werte mit den Funktionswerten in den Randpunkten des Intervalls erhält man den gesuchten grössten (oder kleinsten) Wert der Funktion y = f () im Intervall I. 16 / 54

17 Absolute Etrema f : D R ; D = D(f ) R ; 0, 1 D f hat ein absolutes Maimum an der Stelle 0 wenn gilt: f ( 0 ) f () für alle D (der Wert f ( 0 ) ist ein absolutes Maimum von f ) f hat ein absolutes Minimum an der Stelle 1 wenn gilt: f ( 1 ) f () für alle D (der Wert f ( 1 ) ist ein absolutes Minimum von f ) f ( 0 ) y y = f () D(f ) 0 1 f ( 1 ) 17 / 54

18 f hat an der Stelle 0 ein absolutes Etremum wenn gilt: ein absolutes Maimum f hat an der Stelle 0 oder ein absolutes Minimum 18 / 54

19 Definition Umgebung Für a R, ε > 0 heisst U ε (a) := (a ε, a + ε) die ε-umgebung von a ( ) a R U ε (a) U ε (a) = offenes Intervall mit Mittelpunkt a und der Länge 2ε 19 / 54

20 Relative Etrema f : D R ; D = D(f ) R ; 0, 1 D f hat ein relatives Maimum an der Stelle 0, wenn es eine ε-umgebung U ε ( 0 ) gibt (mit genügend kleinem ε > 0), so dass: f ( 0 ) f () für alle D U ε ( 0 ) f hat ein relatives Minimum an der Stelle 1, wenn es eine ε-umgebung U ε ( 1 ) gibt, so dass: f ( 1 ) f () für alle D U ε ( 1 ) U ε ( 0 ) y U ε ( 1 ) y = f () ( ) ( ) 20 / 54

21 f hat an der Stelle 0 ein relatives Etremum wenn gilt: ein relatives Maimum f hat an der Stelle 0 oder ein relatives Minimum 21 / 54

22 Relative Etrema und Ableitung I = Intervall (I R) ; 0 I innerer Punkt f : I R differenzierbare Funktion Hat f an der Stelle 0 ein relatives Etremum, so gilt: f ( 0 ) = 0 Zum Aufsuchen relativer Etrema im Innern von I man die Nullstellen der Ableitung von f. sucht y f ( 0 ) = 0 f ( 1 ) = 0 y = f () 0 1 I 22 / 54

23 Maimum oder Minimum? I = Intervall (I R) ; 0 I innerer Punkt f : I R differenzierbare Funktion; f ( 0 ) = 0 Ist f links von 0 wachsend und rechts von 0 fallend, so hat f in 0 ein relatives Maimum. y wachsend f () > 0 fallend f () < 0 ( )( ) 0 ε ε y = f () 23 / 54

24 y wachsend f () > 0 fallend f () < 0 ( )( ) 0 ε ε y = f () Gibt es ein ε > 0 so, dass: f () > 0 für alle ( 0 ε, 0 ) und f () < 0 für alle ( 0, 0 + ε) so hat f an der Stelle 0 ein relatives Maimum. 24 / 54

25 Maimum oder Minimum? I = Intervall (I R) ; 0 I innerer Punkt f : I R differenzierbare Funktion; f ( 0 ) = 0 Ist f links von 0 fallend und rechts von 0 wachsend, so hat f in 0 ein relatives Minimum. y fallend f () < 0 wachsend f () > 0 y = f () ( )( ) 0 ε ε 25 / 54

26 y fallend f () < 0 wachsend f () > 0 y = f () ( )( ) 0 ε ε Gibt es ein ε > 0 so, dass: f () < 0 für alle ( 0 ε, 0 ) und f () > 0 für alle ( 0, 0 + ε) so hat f an der Stelle 0 ein relatives Minimum. 26 / 54

27 Relatives Maimum und zweite Ableitung I = Intervall (I R) ; 0 I innerer Punkt f : I R zweimal differenzierbare Funktion Gilt f ( 0 ) = 0 und verläuft der Graph von f über 0 als Rechtskurve (konkave Funktion), so hat f an der Stelle 0 ein relatives Maimum. y Rechtskurve f ( 0 ) = 0; f ( 0 ) < 0 0 y = f () 27 / 54

28 Relatives Maimum und zweite Ableitung f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) < 0 f hat in 0 ein relatives Maimum 28 / 54

29 Relatives Minimum und zweite Ableitung I = Intervall (I R) ; 0 I innerer Punkt f : I R zweimal differenzierbare Funktion Gilt f ( 0 ) = 0 und verläuft der Graph von f über 0 als Linkskurve (konvee Funktion), so hat f an der Stelle 0 ein relatives Minimum. y Linkskurve f ( 0 ) = 0; f ( 0 ) > 0 y = f () 0 29 / 54

30 Relatives Minimum und zweite Ableitung f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 f hat in 0 ein relatives Minimum 30 / 54

31 Beispiel 1. f () = 2 f () = 0 2 = 0 = 0 f () = 2 f (0) = 2 > 0 0 = 0 ist ein relatives Minimum (Bemerkung: ist sogar ein globales Minimum!) 31 / 54

32 Beispiel 2. f () = 3 f () = = 0 = 0 f () = 6 f (0) = 6 0 = 0 0 = 0 ist kein Etrempunkt! (in der Tat ist f () = 3 2 0, d.h. f ist auf R monoton wachsend). 32 / 54

33 Beispiel 3. f () = f () = 0 2(1 + 2 ) 2 2 (1 + 2 ) 2 = 2 (1 + 2 ) 2 = 0 = 0 f () = 2(1 + 2 ) 2 2 [(1 + 2 ) 2] (1 + 2 ) 4 = f (0) = ( ) 3 > 0 0 = 0 ist ein relatives Minimum (1 + 2 ) 3 33 / 54

34 Wendepunkte I = Intervall (I R) ; f : I R zweimal diff bare Funktion (auf I kann man f = (f ) bilden) 0 I (innerer Punkt) f hat in 0 einen Wendepunkt f ( 0 ) = 0 und f (die zweite Ableitung) ändert in 0 das Vorzeichen! 34 / 54

35 Wendepunkte: Graphische Illustration y f () > 0 f () < 0 0 y = f () y y = f () f () < 0 f () > 0 0 Übergang von Links- zu Rechtskurve oder von Rechts- zu Linkskurve 35 / 54

36 Terrassenpunkt / Sattelpunkt f hat in 0 einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt f hat in 0 einen Wendepunkt und f ( 0 ) = 0 36 / 54

37 Terrassenpunkt / Sattelpunkt: graphische Illustration y y = f () f ( 0) = 0 y 0 f ( 0) = 0 0 y = f () 37 / 54

38 Gegeben ist: f () =... Ziel: Eigenschaften der Funktion aus f () herzuleiten Ablauf: a) Definitionsbereich b) Symmetrie c) Nullstellen d) Polstellen e) Ableitung (bis und mit f ()) f) Relative g) Wendepunkte / Sattelpunkte h) Verhalten der Funktion ± i) Wertebereich j) Skizze 38 / 54

39 Beispiel f () = a) Welche -Werte darf man in f () einsetzen? Nenner 0 D = R \ {0} 39 / 54

40 b) Ist f () achsensymmetrisch bzgl. y-achse oder nullpunktsymmetrisch? y-achse: wenn f () gerade ist, d. h. f ( ) = f () Nullpunkt: wenn f () ungerade ist, d. h. f ( ) = f () f ( ) = 5( )2 + 5 ( ) 3 = = = f () f () ist ungerade nullpunktsymmetrisch 40 / 54

41 c) Wo schneidet f () die -Achse? f () = = 0 Der Zähler muss 0 sein = 0 5 = = 2 ± 1 1 = 1 2 = 1 y 1 = 0 y 2 = 0 41 / 54

42 d) Besitzt f () Pole, d. h. vertikale Asymptoten? Polstelle dort, wo der Nenner gleich 0 ist. = 0 42 / 54

43 e) f (), f (), f (), mit Quotientenregel: f () = p() q() f () = p ()q() p()q () (q()) 2 f () = 10 3 ( ) = = f () = 10( 2 6) 5 f () = 30( 2 10) 6 43 / 54

44 f) Wo besitzt die Funktion relative Minima / Maima? Minimum: f () = 0, f () > 0 Maimum: f () = 0, f () < 0 Terrassenpunkt: f () = f () = 0 f () = = = = 15 2 = 3 3 = 3, 4 = 3 44 / 54

45 gefundene -Werte in f () einsetzen: f ( 3 ) = 10 (3 6) ( > 0 rel. Minimum ( 10 3, 3) 5 ( 3) ) 3 f ( 4 ) = f ( 3) < 0 rel. Maimum ( 10 3, }{{} ( 3) ) 3 weil punktsymmetrisch 45 / 54

46 g) Besitzt f () einen Wendepunkt / Sattelpunkt? f () = 0, f () 0 f () = 10( 2 6) 5 = 0 10( 2 6) = = 0 2 = 6 5 = 6, 6 = 6 46 / 54

47 gefundene -Werte in f () einsetzen: f ( 6) 0 WP 1 : ( 6, ) f ( 6) 0 WP 2 : ( 6, ) 47 / 54

48 h) Verhalten von f () für ±? lim f () = lim 3 = lim lim f () = lim = lim die -Achse ist somit eine horizontale Asymptote. [ ] = = 0 [ ] = = 0 48 / 54

49 i) Welche y-werte werden erreicht? Bemerkung: bei = 0 liegt eine Polstelle vor: lim f () = lim f () = = >0 lim f () = lim f () = = <0 W = R (verwende hier auch Kenntnis über Lage der lokalen Etrema) 49 / 54

50 j) Skizze 50 / 54

51 Tangentenverfahren von Newton Gegeben: f () = cos Ziel: Finde eine Nullstelle der Funktion f Idee: f ( 0 ) = y = 0 f ( 0) = 0 f ( 0) f ( 0 ) Newton-Verfahren n+1 = n f ( n) f ( n ) n N 51 / 54

52 Anmerkung Für genügend grosse n (6-10), nähert sich n+1 beliebig nahe der Nullstelle. 52 / 54

53 Beispiel Suche Nullstelle von e = 2 ( = ln ) 1 0 = 1 2 f () = e 2 = 0 3 f () = e 4 : n+1 = n en 2 e = n n (1 2e n ) 1 = 1 (1 2e 1 ) = 2 e = 1 (1 2e 1 ) = 2 (1 2e 2 ) / 54

54 Wann funktioniert das gut? Mathematische Bedingung: Funktioniert gut wenn: f klein f gross (Steigung gross) f klein ( klein) f ( 0 ) f ( 0 ) [f ( 0 )] 2 ( 1, 1) Anmerkung zum : Man findet immer nur eine lokale Nullstelle, nicht alle Nullstellen der Funktionen. 54 / 54