1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7

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1 Universität Basel 4 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Kurvendiskussionen Inhaltsverzeichnis 1 Höhere Ableitungen 2 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3 3 Konvee und konkave Funktionen 5 4 Lokale und globale Etremalstellen 7 5 Wendestellen 10 6 Diskussion von Funktionen Was lesen wir aus der Funktionsgleichung y = f()? Was lesen wir aus den Ableitungen? Taylor-Polynome Darstellung von Polynomen Problemstellung und Einführungsbeispiel Taylor-Polynom und ihre Eigenschaften Testfragen zur Vorlesung 20 9 Übungsaufgaben Niveau Niveau Niveau

2 2 1 Höhere Ableitungen Gegeben sei eine differenzierbare Funktion y = f(). Falls die Ableitung f () von f() selbst wieder eine differenzierbare Funktion ist, können wir auch diese Funktion erneut ableiten und erhalten die zweite Ableitung von f() usw. Eine Funktion y = f(), die man auf diese Weise n-mal ableiten kann, heisst n-mal differenzierbar. Ableitung Funktion Beispiel 0. Ableitung y = f() Ableitung f = df d Ableitung von f Ableitung f = d2 f d 2 Ableitung von f 2 n-te Ableitung f (n) = dn f d n Ableitung von f (n 1) 0 Schreibweisen für die n-te Ableitung: f (n) () = f () = dn d f() = dn f() n d n Eines der wichtigsten Ziele des Kapitels ist es, aus den Ableitungen einer Funktion Rückschlüsse auf deren Verlauf zu ziehen.

3 3 2 Mittelwertsatz und Monotonie Satz 1 (Mittelwertsatz) Sei f eine Funktion, die auf einem Intervall I = [a, b] differenzierbar ist. Dann gibt es einen Punkt zwischen a und b, so dass f(b) f(a) = f ( ) (b a) oder f ( ) = f(b) f(a) b a oder: Zu jeder Sekante findet man eine parallele Tangente an die Kurve. f(b) f(a) β α a b Abbildung 1: Tangente und Sekante tan(α) = f(b) f(a) b a = tan(β) = f ( ) Beispiel 2.1 Prüfen Sie den Mittelwertsatz für f() = 3 auf dem Intervall [0, 2]. Zunächst gilt f(2) = = 6 f(0) = = 0 Sekantenanstieg = = 3 Nun müssen wir nur noch einen Punkt im Intervall [0, 2] finden, so dass f () = 3 gilt. f () = = 3 = ± 4/3 Somit ist der Punkt = 4/3 der gesuchte Punkt im Intervall [0, 2].

4 4 Daraus erhalten wir unmittelbar die folgenden Resultate: f monoton steigend f () 0 (für alle ) f monoton fallend f () 0 f() = konstant f () = 0 f() = h() + konstant f () = h () Die ersten beiden Resultate liefern nützliche Kriterien für Monotoniebeweise. Die beiden letzten Resultate sind für die Integralrechnung von zentraler Bedeutung. Beispiel 2.2 Die Angebotsfunktion A(p) = 2 + p 2 p + 1 = 2 + p 2(p + 1) 1/2 ist monoton steigend, denn es gilt für alle Preise p 0 A (p) = 1 1 p

5 5 3 Konvee und konkave Funktionen f () 0 für alle f () monoton steigend f() konvee Funktion (Linkskurve) f () 0 für alle f () monoton fallend f() konkave Funktion (Rechtskurve) y y=f ( ) y m=0 m= 2 m=1.2 m=1 m= 2 m=0 m=0.8 m=2 y=f() m = f () monoton steigend m = f () monoton fallend Graph liegt unter der Sehne. Graph liegt über der Sehne. y y=f() y y=f() Graph liegt über der Tangente. Graph liegt unter der Tangente. y y=f() y y=f()

6 Beispiel 3.1 Entscheiden Sie, wo die Funktion f() = konve ist und bestimmen Sie alle Punkte, an denen die zweite Ableitung verschwindet (Wendepunkte). Lösungsskizze: Ableitungen f () = 0 lösen f() = f () = ( 2 + 1) 2 f () = 6 ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 0 = 6 ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 0 = 6( 2 + 1) = = 2( 2 3) und Lösungen sind 1 = 0, 2 = 3 und 3 = 3. Das sind die drei Wendepunkte der Funktion. Eigentlich müsste man noch überprüfen, ob die dritte Ableitung von f an diesen drei Stellen nicht verschwindet. Wir wollen hier darauf verzichten. An diesen drei Stellen ändert sich das Krümmungsverhalten von f von konve auf konkav bzw. von konkav auf konve, d.h. hier ändert sich das Vorzeichen von f. Die reelle Achse zerfällt somit in vier Intervalle. Das Vorzeichen von f kann an einem beliebigen Punkt des jeweiligen Intervalls bestimmt werden. 6 (, 3) f < 0 f konkav f ( 3) = 0 ( 3, 0) f > 0 f konve f (0) = 0 (0, 3) f < 0 f konkav f ( 3) = 0 ( 3, ) f > 0 f konve

7 7 4 Lokale und globale Etremalstellen Die Funktion f : [a, b] R sei differenzierbar. Zur Ermittlung lokaler Etremalstellen stehen uns folgende Kriterien zur Verfügung: 1. Notwendiges Kriterium Ist der Punkt (a, b) eine lokale Etremalstelle so gilt f ( ) = 0, oder kurz (a, b) lokale Etremalstelle = f ( ) = 0 2. Hinreichendes Kriterium Gilt für den Punkt (a, b) einerseits f ( ) = 0 und andererseits f ( ) < 0 (bzw. f ( ) > 0), so ist ein lokales Maimum (bzw. Minimum). Kurz: f ( ) = 0 f ( ) < 0 (> 0) } = ein lokales Maimum (bzw. Minimum) Zur Ermittlung globaler Etrema einer Funktion f : [a, b] R müssen die lokalen Etrema mit den Randwerten f(a) und f(b) verglichen werden. Diese Stellen können die Etrema der Funktion auf diesem Intervall sein, obwohl die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ungleich Null ist. Im folgenden Abschnitt werden wir sehen, dass sich dieses aufwendige Vorgehen bei ökonomischen Problemen häufig vermeiden lässt. y=f() y a b globales Maimum lokale Etremalstellen

8 8 Beispiel 4.1 Bestimmen Sie die (globalen) Etremalstellen der Funktion f() = auf dem Intervall I = [0, 2]. Lösungsskizze Lokale Etremstellen f () = 2 2 = 0 = 1 1 = 1 ist der einzige Kandidat für eine lokale Etremalstelle und damit auch ein Kandidat für eine globale Etemalstelle. Da f (1) = 2 ist, handelt es sich um ein lokales Minimum. Diese Untersuchung ist aber eigentlich hier nicht nötig. Die beiden Randpunkte des Intervalls 2 = 0 und 3 = 2 sind immer Kandidaten für globale Etremalstellen. Wir berechnen nun die Funktionswerte an allen Kandidatenstellen. Der (oder ein) grösste(r) Wert gehört zum globalen Maimum, der (oder ein) kleinste(r) Wert gehört zum globalen Minimum. f(1) = 2 f(0) = 3 f(2) = 3 = 1 ist globales Minimum = 0 ist globales Maimum = 2 ist auch globales Maimum

9 9 Globale Etrema bei konveen und konkaven Funktionen Die Funktion f : [a, b] R sei differenzierbar und konve (konkav) und (a, b). Dann gilt das notwendige und hinreichende Kriterium: f ( ) = 0 globales Minimum (Maimum) Beispiel 4.2 Ermitteln Sie für die Gewinnfunktion eines Monopolisten wobei G() = p() K() p() = 21 1 und K() = ln( + 1), 2 dasjenige Produktionsniveau, welches zum globalen Maimum führt. Lösungsskizze: Funktion G bilden: G() = p() K() = 64 ln( + 1) G ableiten G () = 0 lösen G () = = 0 = 15 oder = Nur die Lösung = 15 ist relevant ( ist eine Stückzahl). Wir wissen allerdings noch nicht, ob der Punkt eine lokale Maimalstelle bzw. eine lokale Minimalstelle oder ein Sattelpunkt ist. Globale Aussagen sind (noch) nicht möglich. Wenn wir allerdings zeigen könnten, dass die Funktion G (überall) konkav ist hätten wir auch bewiesen,dass = 15 eine lokale und globale (für alle positiven Werte ) Maimumstelle ist. G () = 64 ( ) 64 ( + 1) 1 = 2 ( + 1) ist für alle 1 negativ. Somit ist G dort auch überall konkav und = 15 ist unser gesuchtes globales Gewinnmaimum.

10 10 5 Wendestellen Ein Punkt ( 0, f( 0 )), in dem die Tangente den Graphen schneidet, heisst Wendepunkt. Die Koordinate 0 heisst Wendestelle. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 0 eine Wendestelle ist, ist 0 Wendestelle f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0 y f <0 0 f =0 f >0 Abbildung 2: Wendepunkt Beispiel 5.1 Wir wollen alle Wendepunkte der Funktion f() = 3 e bestimmen. Lösungsskizze: Ableitungen von f f() = 3 e f () = 3 2 e 3 e = 2 e (3 ) f () = 6e 6 2 e + 3 e = e ( ) f () = 6e 18e e 3 e = e ( ) f () = 0 lösen 0 = e ( ) 1 = 0, 2 = und 3 = 3 3 Test der dritten Ableitung: f ( 1 ) 0, f ( 2 ) 0 und f ( 3 ) 0.

11 11 6 Diskussion von Funktionen Infolge der Verfügbarkeit von EDV-Programmen zur graphischen Darstellung von Funktionen hat die Kurvendiskussion an Bedeutung eingebüsst. Treten allerdings Funktionen mit Parametern auf (z.b. f() = 2a /e b ), so ist eine qualitative Analyse des Funktionsverlaufes nach wie vor von Bedeutung. 6.1 Was lesen wir aus der Funktionsgleichung y = f()? 1. Definitionsbereich Beispiele: 1 f() = ist definiert für { R 6} 6 f() = 4 2 ist definiert für { R 2} 2. Nullstellen Löse die Gleichung f() = 0 nach auf. Beispiele: hat die Lösungen 2 und Symmetrien f() = 2 6 = 0 Gilt die Gleichung f() = f( ) für alle, so ist f eine gerade Funktion, also symmetrisch bezüglich der y-achse. Wir müssen also nur einen Teil der Funktion untersuchen (z.b. den positiven), um die gesamte Funktion zu verstehen. Beispiele: f() = f( ) = ( ) 2 + 4( ) 6 = = f() f() = cos() f( ) = cos( ) = cos() = f() Gilt die Gleichung f( ) = f() für alle, so ist f eine ungerade Funktion, also symmetrisch bezüglich des Nullpunktes. Wir müssen also auch hier nur einen Teil der Funktion untersuchen (z.b. den positiven), um die gesamte Funktion zu verstehen.

12 12 Beispiele: f() = f( ) = ( ) 3 + ( ) 5 = ( ) = f() f() = sin() f( ) = sin( ) = sin() = f() 4. Asymptotisches Verhalten (Verhalten für ± ) Zwei Funktionen f() und g() verhalten sich asymptotisch gleich, wenn gilt: Beispiel: Die beiden Funktionen lim (f() g()) = 0 (f() g()) = 0 lim f() = und g() = 2 1 verhalten sich asymptotisch gleich, denn es gilt: ( ) lim (f() g()) = lim ( ) = lim 3 = lim = 0.

13 Was lesen wir aus den Ableitungen? 1. Was lesen wir aus der 1. Ableitung? f () > 0 = Funktion wachsend f ( 0 ) = 0 = Funktion hat an der Stelle 0 horizontale Tangente f () < 0 = Funktion fallend 2. Was lesen wir aus der 2. Ableitung? f () > 0 = Funktion konve f () < 0 = Funktion konkav 3. Was lesen wir aus der 1. und 2. Ableitung? f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) < 0 = 0 ist lokales Maimum f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 = 0 ist lokales Minimum 4. Was lesen wir aus der 2. und 3. Ableitung? f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0 = 0 ist Wendepunkt

14 14 Beispiel 6.1 Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion f() = durch. 1. Definitionsbereich 2. Nullstellen 3. Symmetrien Nein! 4. Asymptotisches Verhalten D = { R 1 } f() = 0 = 0 f( ) = ( )2 1 = 2 1 ±f() 2 1 lim 2 1 = lim 1 1/ 2 = und lim 1 = 5. Ableitungen f () = f () = ( 1) ( 1) ( 1) 3 f () = 0 1 = 0 oder 2 = 2 6. Verhalten an der Polstelle = 1 f (0) < 0 also 1 = 0 ist lokales Maimum f (2) > 0 also 2 = 2 ist lokales Minimum lim 0+ lim = = = 12 0 =

15 15 7 Taylor-Polynome 7.1 Darstellung von Polynomen Normalerweise schreiben wir ein Polynom p in der Form p() = a 0 + a 1 + a a n n = a 0 + a 1 ( 0) + a 2 ( 0) a n ( 0) n auf. Wir könnten hier auch sagen, dass wir das Polynom p um den Entwicklungspunkt 0 = 0 darstellen. Manchmal ist es allerdings von Vorteil, wenn wir Polynome bezüglich anderer Entwicklungspunkte 0 darstellen. Beispiel 7.1 Entwicklungspunkt 0 = 1 Entwicklungspunkt 0 = 1 0 = 0 2( 1) 2 + 3( 1) + 4 = 2( + 1) 2 5( + 1) + 6 = Alle drei Darstellungen beschreiben das selbe Polynom. Überprüfen Sie das. 7.2 Problemstellung und Einführungsbeispiel Sei f() eine mindestens n-mal differenzierbare Funktion und 0 ein Punkt. Oft ist es günstig, diese eventuell sehr komplizierte Funktion in der Nähe des Punktes ( 0, f( 0 )) durch eine sehr einfache Funktion zu ersetzen. Solch einfache Funktionen können Polynome sein und man versucht eines zu finden, was die Funktion f zumindest in der Nähe des Punktes ( 0, f( 0 )) gut approimiert. Direkte Konstruktion von Taylorpolynomen Beispiel 7.2 Wir suchen ein Polynome 2-ten Grades, das die Funktion f() = e + 1 an der Stelle 0 = 0 möglichst gut approimieren. Ein Polynom P 2 () vom Grad 2 hat die allgemeine Gestalt P 2 () = a 0 + a 1 + a 2 2 und wir können die drei Konstanten so festlegen, dass im Nullpunkt der Funktionswert, die 1. Ableitung und die 2. Ableitung (Krümmung) der Funktion f mit den entsprechenden Werten des Polynoms übereinstimmen, also f(0) = P 2 (0), f (0) = P 2(0) und f (0) = P 2 (0): f(0) = e = 0 = P 1 (0) = a 0 a 0 = f(0) = 0 f (0) = e 0 1 = 0 = P 1(0) = a 1 a 1 = f (0) = 0 f (0) = e 0 = 1 = P 2 (0) = 2a 2 a 2 = f (0) =

16 16 Somit ist P 2 () = Hier sehen Sie den Graphen von f (rot) und von P 2.

17 Taylor-Polynom und ihre Eigenschaften Definition 7.1 Das n-te Taylor-Polynom P n () von f mit Entwicklungspunkt 0 ist definiert als P n () = n k=0 f (k) ( 0 ) k! ( 0 ) k = f( 0 ) + f ( 0 ) 1! ( 0 ) f (n) ( 0 ) ( 0 ) n n! Das n-te Taylor-Polynom P n () hat die folgende schöne Eigenschaft: Im Punkt 0 gilt: P n ( 0 ) = f( 0 ) gemeinsamer Punkt an der Stelle 0 P n( 0 ) = f ( 0 ) gemeinsame Tangente P n ( 0 ) = f ( 0 ) gleiche Krümmung P (n) n ( 0 ) = f (n) ( 0 ) denn für die l-te Ableitung von P n () für l = 0, 1, 2,..., n gilt: P n (l) () ( n ) =0 = dl f (k) ( 0 ) ( d l 0 ) k k! k=0 =0 = n k=0 = f (l) ( 0 ) f (k) ( 0 ) k! d l d ( 0) k l = 0 Wir können nun (genügend oft differenzierbare) reelle Funktionen y = f() in der Nähe eines Punktes 0 durch ein Taylor-Polynom y = P 2 () approimieren: Es gilt: P 2 () = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) 2 2! P 2 ( 0 ) = f( 0 ) P 2( 0 ) = f ( 0 ) P 2 ( 0 ) = f ( 0 )

18 18 Insbesondere glauben wir, dass sich P 2 und f nahe bei a sehr ähnlich sind. Das quadratische Polynom P 2 sollte also die Krümmung von f nahe bei 0 (meist) recht gut beschreiben und wir können tatsächlich das wohl bekannte Kriterium zur Unterscheidung zwischen lokalen Maimalstellen und lokalen Minimalstellen herleiten und bestätigen. Sei also 0 = ein stationärer Punkt von f, d.h. f ( ) = 0. Dann gilt für alle nahe bei : und man erkennt sofort: f() P 2 () = f( ) + f ( ) 2 Ist f ( ) > 0, so ist f ( ) ( ) 2 > 0 und 2 ( ) 2 }{{} >0 f() f( ) + f ( ) ( ) 2 } 2 {{} >0 > f( ) für alle nahe bei. Also muss eine lokale Minimalstelle sein. Ist f ( ) < 0, so ist f ( ) ( ) 2 < 0 und 2 f() f( ) + f ( ) ( ) 2 } 2 {{} <0 < f( ) für alle nahe bei. Also muss eine lokale Maimalstelle sein. Ist f ( ) = 0 können wir zunächst nichts aussagen! Wir müssten höhere Ableitungen von f untersuchen. Als Beispiel hierfür könnten Sie die drei Funktionen 3, 4 und 4 untersuchen. Alle drei Funktionen haben sowohl den stationären Punkt = 0 als auch eine verschwindende zweite Ableitung im Punkt 0, realisieren aber Sattelpunkt, lokale Minimalstelle bzw. lokale Maimalstelle.

19 19 Beispiel 7.3 Wir wollen die Taylorpolynom 0-ten, 1-ten, 2-ten und 3-ten Grades der Funktion f() = 2 + ln() mit Entwicklungspunkt 0 = 1 bestimmen. Lösungsskizze: Ableitungen von f im Punkt 0 = 1 bestimmen Taylor-Polynome bilden P 3 () = f(1) + f (1) (1) 1! f (0) () = 2 + ln() f (0) (1) = 2 f (1) () = 1 f (1) (1) = 1 f (2) () = 2 f (2) (1) = 1 f (3) () = 2 3 f (3) (1) = 2 = ( 1) + f (2) (1) 2! ( 1) ( 1) 2 + f (3) (1) ( 1) 3 3! ( 1) ( 1) 3 = }{{} 2 + ( 1) 1 2 =P 0 () }{{} =P 1 () ( 1) } {{ } =P 2 () ( 1) 3 Insbesondere enthält das Polynom P 3 alle Taylor-Polynome kleineren Grades!

20 20 8 Testfragen zur Vorlesung Hinweis: Bevor Sie die Übungsaufgaben lösen, sollten Sie den Stoff der Vorlesung verstanden haben. Insbesondere sollten Sie die folgenden einfachen Fragen beantworten können. Diese Fragen werden im Allgemeinen nicht in den Übungen besprochen, können aber prüfungsrelevant sein. 1. Definieren Sie die Begriffe konvee Funktion, konkave Funktion, lokale und globale Etemalstelle, lokale und globale Maimalstelle und Wendestelle. 2. Wie lautet der Mittelwertsatz? Kennen Sie unmittelbare Folgerungen aus dem Mittelwertsatz? 3. Geben Sie die Definition für konvee Funktion und konkave Funktion. Geben Sie mindestens drei weitere Eigenschaften von konveen Funktionen und mindestens drei weitere Eigenschaften von konkaven Funktionen an. Nennen Sie jeweils zwei Beispiele für Funktionen, die die folgenden Eigenschaften haben: streng monoton wachsend und konve, streng monoton fallend und konve, streng monoton wachsend und konkav bzw. streng monoton fallend und konkav. 4. Nennen Sie ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Maimums (Minimums). 5. Nennen Sie ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Maimums (Minimums). 6. Überlegen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen (beweisen) Sie Ihre Antwort. (a) Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist stets eine lokale Etremalstelle. (b) Ist 0 eine lokale Etremalstelle von f, so hat die erste Ableitung von f in 0 eine Nullstelle. (c) Ist 0 eine lokale Etremalstelle von f, so ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt ( 0, f( 0 )) parallel zur y-achse. (d) Ist 0 eine lokale Etremalstelle von f, so ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt ( 0, f( 0 )) parallel zur -Achse. 7. Welche Eigenschaft(en) hat das Taylor-Polynom P 2 () = 2 k=0 f mit Entwicklungspunkt 0 (im Hinblick auf f und 0 )? f (k) k! ( 0 ) k von 8. Angenommen, Sie kennen von einer (genügend oft) differenzierbaren Funktion f nur die beiden Werte f(1) = 1 und f (1) = 0.2. Bestimmen Sie einen möglichst guten Näherungswert für f(1.1)! Hinweis: f(1.1) P 1 (1.1) = f(1) + f (1)(1.1 1) = = 1.02

21 21 9 Übungsaufgaben 9.1 Niveau 1 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf dem gegebenen Intervall (Monotonie, lokale und globale Etremalstellen). g() = = [1, 2] h() = ln() = (ln ) 1 [2, 10] 9.2 Niveau 2 1. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome P 1 (), P 2 () und P 3 () für die Funktion f() = ln(1 ) an der Stelle 0 = Wo sind die gegebenen Funktionen konve bzw. konkav? (a) K() = ln( + 1), > 0 (b) g() = ln( 2 + 1), R 9.3 Niveau 3 Die Nachfrage nach einem Gut als Funktion des monatlichen Einkommens sei gegeben durch die Funktion f() = 0 falls < 1 10( 1) 2 e falls 1 wobei das monatliche Einkommen (in tausend Fr.) und y die nachgefragte Menge (in tausend Stück) bezeichnet. 1. Diskutieren und skizzieren Sie die Funktion f. 2. Berechnen Sie für 1 die Einkommenselastizität ɛ f, der Nachfrage. 3. Welche prozentuale Erhöhung/Verringerung der Nachfrage bringt eine 1%-ige Erhöhung des Einkommens bei = 2, 3, 5, 7? (Hinweis: ɛ f, nutzen)

22 22 Lösungen der Übungsaufgaben Niveau 1 1. a) Keine stationäre Stelle auf [1, 2], streng monoton fallend auf [1, 2], Globales Maimum bei 1, globales Minimum bei 2 b) Globales Minimum bei e, globales Maimum bei 10 Niveau 2 h () = (ln ) 1 (ln ) 2 = ln 1 (ln ) 2 h 1 () = (ln ) (ln ) = 2 ln 3 (ln ) 3 1. P 1 () =, P 2 () = 2 2 und P 3() = a) konve, denn K 10 () = > 0 für alle R ( + 1) 2 b) weder konve noch konkav. Genauer könnte man zeigen, dass zunächst ) g 2 () = (1 22 = ( 2 + 1) 2 Niveau 3 a) gilt. Dann löst man die Gleichung g () = 0 und erhält die beiden Lösungen = ±1. Die Funktion g ändert also höchstens an diesen beiden Punkten das Vorzeichen. Bestimmt man nun noch das Vorzeichen von g an drei gut gewählten Punkten, erhält man folgendes: g ist konkav auf (, 1), da g () < 0 für alle (, 1) g ist konve auf ( 1, 1), da g () > 0 für alle ( 1, 1) g ist konkav auf (1, ), da g () < 0 für alle (1, ) (3 ) b) ɛ f, = 1 c) 2%, 0%, 2.5%, 4.667%