Wirtschaftsmathematik. Studienskript.

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1 y y = f() F F3 a F b Wirtschaftsmathematik. Studienskript. Betriebswirtschaftslehre (B.A.) BWMA0

2 Impressum Impressum Herausgeber: Internationale Hochschule Bad Honnef Bonn International University of Applied Sciences Fernstudium Zenostr Bad Reichenhall [email protected] BWMA0. Semester Bachelor Version Nr.: Internationale Hochschule Bad Honnef GmbH Dieser Lehrbrief ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte vorbehalten. Dieser Lehrbrief darf in jeglicher Form ohne vorherige schriftliche Genehmigung der Internationalen Hochschule Bad Honnef nicht reproduziert und/oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

3 Wissenschaftliche Leitung Wissenschaftliche Leitung Prof. Dr. Karsten Leibold Professor Leibold studierte und promovierte an der Universität Frankfurt und sammelte anschließend umfassende Berufserfahrungen als Controlling Specialist bei der Deutschen Lufthansa und im Management sowie als Strategieberater bei Roland Berger und McKinsey. An der IUBH leitet er unter anderem das Aviation Management Department und ist in zahlreichen Logistikprojekten mit eternen Unternehmen eingebunden. Professor Leibold ist Prorektor der Internationalen Hochschule Bad Honnef Bonn. 3

4 Inhalt Inhaltsverzeichnis Wirtschaftsmathematik Wissenschaftliche Leitung... 3 Inhaltsverzeichnis... 4 Einleitung Wirtschaftsmathematik 7 Wegweiser durch das Skript... 8 Übergeordnete Lernziele...0 Weiterführende Literatur... Lektion Grundlagen der Analysis 3. Arithmetische und algebraische Grundlagen...4. Summen und Produkte Gleichungen Ungleichungen... 3 Lektion Funktionen 35. Einführung Darstellungsformen Eigenschaften von Funktionen Grundlegende Funktionstypen Ausgewählte ökonomische Anwendungen

5 Inhaltsverzeichnis Lektion 3 Differenzialrechnung I Differenzen- und Differenzialquotient Differenzieren Höhere Ableitungen Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung Lektion 4 Differenzialrechnung II: Anwendungen Marginalanalyse Kurvendiskussion Cournot-Punkt...04 Lektion 5 Multivariate Funktionen 5. Lineare und nicht lineare multivariate Funktionen Partielle Ableitungen Etremwertbestimmung Etremwertbestimmung unter Nebenbedingungen...0 5

6 Inhalt Lektion 6 Folgen und Reihen 5 6. Arithmetische und geometrische Folgen Arithmetische und geometrische Reihen Finanzmathematische Anwendungen...33 Lektion 7 Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral...5 6

7 y Einleitung Wirtschaftsmathematik

8 Einleitung Wegweiser durch das Skript Herzlich willkommen! Dieses Skript enthält den gesamten Lernstoff Ihres Kurses und bildet damit die inhaltliche Grundlage Ihres Fernstudiums. Ergänzend zum Skript stehen Ihnen zahlreiche weitere Medien wie Podcasts, Vodcasts oder Web Based Trainings (WBT) zur Verfügung, mit deren Hilfe Sie sich Ihren individuellen Lern-Mi zusammenstellen können. Auf diese Weise können Sie sich den Stoff in Ihrem eigenen Tempo aneignen und dabei auf lerntypspezifische Anforderungen Rücksicht nehmen. Die Inhalte sind nach didaktischen Kriterien in Lektionen aufgeteilt, wobei jede Lektion aus mehreren Lernzyklen besteht. Jeder Lernzyklus enthält jeweils nur einen neuen inhaltlichen Schwerpunkt. Auf diese Weise können Sie neuen Lernstoff schnell und effektiv zu Ihrem bereits vorhandenen Wissensgrundstock hinzufügen. Am Ende eines jeden Lernzyklus finden Sie Fragen zur Selbstkontrolle. Mit Hilfe der Selbstkontrolle können Sie eigenständig und ohne jeden Druck überprüfen, ob Sie die neuen Inhalte schon verinnerlicht haben. Die Lösungenzu den Fragen finden Sie auf der Lernplattform CLIX. Wenn Sie eine Lektion komplett bearbeitet haben, können Sie Ihr Wissen in CLIX unter Beweis stellen. Über automatisch auswertbare Fragen erhalten Sie ein direktes Feedback zu Ihren Lernfortschritten. Die Wissenskontrolle gilt als bestanden, sobald Sie mindestens 80 % der Fragen richtig beantwortet haben. Sollte das einmal nicht auf Anhieb klappen, können Sie die Tests so oft wiederholen, wie Sie wollen. Es gibt keinerlei Beschränkungen und die Ergebnisse der Wissenskontrolle haben keinen Einfluss auf Ihre Endnote. Sie können also ganz unverkrampft lernen, üben und Ihre Fortschritte elektronisch überprüfen. Haben Sie die Wissenskontrolle für sämtliche Lektionen gemeistert, gilt der Kurs als abgeschlossen. Sobald Sie alle Kurse eines Moduls abgeschlossen haben, können Sie sich für die Abschlussklausur anmelden. 8

9 Wegweiser durch das Skript Im Skript werden Sie immer wieder auf Icons stoßen, die auf zusätzliches Material hinweisen oder Ihnen die Orientierung erleichtern. Diese Icons umfassen: Zu diesem Thema gibt es einen Podcast. Sie finden ihn auf der Lernplattform CLIX. Zu diesem Thema gibt es einen Vodcast. Sie finden ihn auf der Lernplattform CLIX.? B Prüfen Sie Ihren Wissensstand! Hier finden Sie Fragen zur Selbstkontrolle. So wird's gemacht! Hier finden Sie ein Beispiel. e Dieser Tet ist auch als E-Book erhältlich. Für diese Lektion gibt es ein WBT. Sie finden es auf der Lernplattform CLIX. CLIX Sie haben die Lektion fertig bearbeitet. Nun ist es an der Zeit, auf der Lernplattform CLIX die Wissenskontrolle zu meistern und sich für die Klausur zu qualifizieren. Und jetzt viel Erfolg und SpaSS beim Lernen! 9

10 Einleitung Übergeordnete Lernziele Mathematik gehört im Bereich der Betriebswirtschaftslehre zu den Grundlagenfächern. Sie stellt als Querschnittsfunktion fächerübergreifend quantitative Methoden bereit. Diese Grundlagen werden in sehr vielen Kursen und Modulen benötigt, z. B. für die Investitions- und Finanztheorie, Mikro- und Makroökonomie, Logistik und Marketing. Die Wirtschaftsmathematik ist für Betriebs- und Volkswirtschaftler somit ein hilfreiches Werkzeug, ohne jedoch eine Kerndisziplin der Betriebswirtschaftslehre zu sein. Diesem Verständnis folgend, konzentriert sich dieser Kurs primär auf die ökonomische Anwendung von mathematischen Methoden und verzichtet weitestgehend auf die Führung mathematischer Beweise. Anfangs wiederholen wir mathematische Grundlagen, um für das Selbststudium gerüstet zu sein. Wir besprechen folgende Themenschwerpunkte: Grundlagen der Analysis, Funktionen, Differenzialrechnung: Multivariate Funktionen, Folgen und Reihen und Integralrechnung. Bei Durchsicht des Curriculums werden Sie feststellen, dass ein Großteil des hier behandelten Stoffes bereits Bestandteil Ihrer mathematischen Schulausbildung bis zum Abitur war. Neu ist die ökonomische und betriebswirtschaftliche Anwendung der jeweiligen Methode. Verstehen Sie diesen Sachverhalt vor allem als Motivation, sich dem Thema Mathematik zu widmen. Erfahrungsgemäß gehört sie zu den Fächern innerhalb eines BWL-Studiums, das vielen Studierenden Kopfschmerzen bereitet. Das ist gänzlich unnötig. Trotzdem erfordert das Fach gerade von Studierenden mit weniger ausgeprägter Vorliebe für mathematische Themen eine intensive Beschäftigung mit den Inhalten. 0

11 Weiterführende Literatur Weiterführende Literatur Falls Sie tiefer einsteigen wollen, empfehlen wir die folgende Fachliteratur: Ohse, D. (004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Bd.. Analysis, 6. Auflage, Vahlen, ISBN Sydsaeter, K., Hammond, P.J. (008): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Auflage, Pearson Studium, ISBN

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13 c Lektion Grundlagen der Analysis Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... wie Sie die grundlegenden arithmetischen und algebraischen Regeln sicher und fehlerfrei anwenden. wie Sie mit Summen- und Produktzeichen arbeiten. wie Sie Gleichungen und Ungleichungen umformen und auflösen. wie Sie Gleichungssysteme lösen.

14 Lektion. Grundlagen der Analysis. Arithmetische und algebraische Grundlagen Bei den arithmetischen und algebraischen Grundlagen handelt es sich primär um Themengebiete, die Sie in Ihrer Schullaufbahn kennengelernt haben. Sie beinhalten beispielsweise grundlegende Rechenregeln, die Verwendung unterschiedlicher Zahlenräume, das Arbeiten mit sowie das Lösen von einfachen algebraischen Ausdrücken oder das Arbeiten mit Variablen, Konstanten und Parametern. Zahlenbereiche Durchzuführende Rechenoperationen können in unterschiedlichen Zahlenbereichen stattfinden. Die folgende Abbildung veranschaulicht die typischen Zahlenbereiche, die im Rahmen betriebswirtschaftlicher Anwendungen relevant sind. Zahlenbereiche betriebswirtschaftlicher Anwendungen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Wir unterscheiden die folgenden Zahlenräume: Menge der natürlichen Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen wird typischerweise mit dem Buchstaben bezeichnet und umfasst die Zahlen,,3,4,5, Die formale Schreibweise ist = {,,3, } Menge der natürlichen Zahlen

15 Grundlagen der Analysis Menge der ganzen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen erweitert die natürlichen Zahlen und enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch noch die Zahl 0 sowie negative ganze Zahlen. Zur Bezeichnung wird typischerweise der Buchstabe verwendet. Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen m Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch der Form q = n darstellen lassen, wobei die Zahlen im Nenner aus dem Bereich der ganzen Zahlen und im Zähler aus dem Bereich der natürlichen Zahlen stammen ( m Z, n N). Durch die Verwendung rationaler Zahlen lassen sich im Gegensatz zu natürlichen oder ganzen Zahlen auch Zahlen mit Dezimalstellen darstellen. Rationale Zahlen werden mit den Buchstaben bezeichnet. Die formale Denition lautet: Menge der rationalen Zahlen Menge der irrationalen Zahlen Ähnlich wie bei rationalen Zahlen, sind die irrationalen Zahlen dadurch gekennzeichnet, dass sie Dezimalstellen aufweisen. Im Unterschied zu rationalen Zahlen lassen sich irrationale Zahlen aber nicht als Bruch darstellen. Beispiele für irrationale Zahlen sind z.b. π, e, 5

16 Lektion Die folgende Darstellung zeigt die Herleitung der irrationalen Zahl Über den Satz des Pythagoras lässt sich die Länge der Kante c herleiten; diese beträgt Projiziert man die Länge der Kante c auf den Zahlenstrahl, so erhält man den Wert der irrationalen Zahl Auf den Nachweis, dass sich dieser Wert nicht als Bruch darstellen lässt, wird an dieser Stelle verzichtet. Beispiel für die irrationale Zahl c Menge der reelle Zahlen Die Menge der reellen Zahlen wird durch die Vereinigung aller rationalen und irrationalen Zahlen gebildet und ist somit deniert als Für das betriebswirtschaftliche Studium ist die Menge der reellen Zahlen der wichtigste und am häugsten verwendete Zahlenbereich. Menge der komplee Zahlen = { isteinerationale oder irrationalezahl } Der Vollständigkeit halber soll noch kurz die Menge der kompleen Zahlen erwähnt werden, obwohl diese für betriebswirtschaftliche Anwendungen von untergeordneter Bedeutung sind. Komplee Zahlen werden in der Form z = + iy dargestellt, wobei und y reelle Zahlen sind und es sich bei i um die so genannte imaginäre Einheit handelt, für die gilt i =. Für die Bezeichnung der kompleen Zahlen wird typischerweise der Buchstabe verwendet. Grundlegende Rechenoperationen und Begriffe Die grundlegendsten Rechenoperationen sind die Addition und die Subtraktion. Sie werden auch als Rechenarten erster Stufe bezeichnet. Die Addition eines Summanden a mit dem Summanden b bildet eine Summe s: a + b = s Die Subtraktion eines Subtrahenden b von einem Minuenden a bildet eine Differenz d: a b = d Als Rechenarten zweiter Stufe werden die Multiplikation und die Division bezeichnet. 6

17 Grundlagen der Analysis Ein Faktor a multipliziert mit einem Faktor b ergibt als Ergebnis das Produkt p: a b = p Dividend a (Zähler) geteilt durch Divisor b (Nenner) ergibt den Quotienten q: Beim Ausführen von Rechenoperationen erster und zweiter Stufe muss berücksichtigt werden, dass innerhalb eines Terms immer die Multiplikation und Division zuerst ausgeführt werden müssen, bevor das Ergebnis einer Summe oder Differenz bestimmt wird: Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Beispiel: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: = = 9 Für Divisionen und Multiplikation mit der Zahl 0 ist Folgendes zu beachten: Ist innerhalb eines Produkts ein Faktor gleich 0, dann ist auch das Produkt gleich 0. a 0 = 0 Wenn innerhalb eines Quotienten der Zähler gleich 0 ist, dann ist der ganze Quotient gleich 0. 0 = 0 a Falls innerhalb eines Quotienten der Nenner den Wert 0 annimmt, dann ist der Quotient nicht definiert. a istnicht definiert 0 Wenn innerhalb eines mathematischen Ausdrucks Klammern verwendet werden, dann sind die Klammerwerte zuerst zu bestimmen; die restlichen Ausdrücke werden dann entsprechend der Rechenhierarchie bearbeitet. Beispiel: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: (5 + 3) = 8 = 6 = 4 Weitere grundlegende mathematische Operationen werden durch die folgenden Gesetze geregelt: Kommutativgesetz Das Kommutativgesetz besagt, dass innerhalb einer Summe die Reihenfolge der Summanden bzw. innerhalb eines Produkts die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauscht werden darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert: Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a Kommunikativgesetz der Multiplikation: a b = b a Beachten Sie, dass das Kommutativgesetz nicht auf Differenzen oder Quotienten angewendet werden darf. 7

18 Lektion Assoziativgesetz Das Assoziativgesetz besagt, dass innerhalb einer Summe oder eines Produkts beliebige Summanden bzw. Faktoren in Klammern gesetzt werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz der Multiplikation: (a b) c = a (b c) Distributivgesetz Das Distributivgesetz besagt, dass ein Ausdruck mit einem ausgeklammerten Faktor vor einer Klammer derart erweitert wird, dass jeder Term innerhalb der Klammer mit dem gemeinsamen Faktor multipliziert wird: a (b + c) = a b + a c Grundlegende Rechenoperationen natürlicher Zahlen Eine natürliche Zahl a wird als Teiler der natürlichen Zahlen n bezeichnet, wenn es eine weitere natürliche Zahl b gibt, für die gilt: a b = n. Beispiel: Bestimmen Sie die Teiler der Zahl 4: Die Zahl 4 besitzt folgende Teiler: ; ; 3; 4; 6; 8; Natürliche Zahlen die den Teiler besitzen, werden als gerade Zahlen bezeichnet, alle anderen als ungerade. Eine natürliche Zahl, die nur durch und sich selbst teilbar ist, wird als Primzahl bezeichnet. Primzahlen sind zum Beispiel: ; 3; 5; 7; ; 3;... Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, lässt sich in ein Produkt bestehend aus Primzahlen zerlegen. Diese Technik wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Beispiel: Zerlegen Sie die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren: 36 = 8 = 9 = 3 3 = ² 3 ² 75 = 3 5 = = 3 5² 9 = 46 = 3 = ² 3 40 = 70 = 35 = ² = 575 = 3 55 = 3² 75 = 3³ 5 35 = 3³ 5² 7 Wenn Sie die Primfaktoren zweier natürlicher Zahlen kennen, so können Sie einfach das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen bestimmen. Bei der Primfaktorzerlegung der beiden natürlichen Zahlen 36 und 75 aus dem obigen Beispiel kamen die gemeinsamen Primzahlen, 3 und 5 vor. Das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich aus dem Produkt der höchsten Potenzen sämtlicher vorkommenden Primfaktoren und ist folglich ² 3² 5² = 900. Neben dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen kann auch die Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen von Interesse sein. Sie finden den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen, indem Sie sämtliche gemeinsame Primfaktoren multiplizieren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Um beispielsweise den 8

19 Grundlagen der Analysis größten gemeinsamen Teiler der beiden natürlichen Zahlen 40 und 350 zu bestimmen, identifizieren Sie als erstes die gemeinsamen Primfaktoren; diese sind und 5 und 7. Der größte gemeinsame Teiler ist folglich 5 7 = 70. Grundlegende Rechenoperationen ganzer Zahlen Durch Erweiterung des Zahlenraumes auf negative Zahlen gibt es zusätzliche Rechenregeln, die berücksichtigt werden müssen, um Fehler zu vermeiden. Multiplizieren wir beispielsweise eine in Klammern stehende Summe mit einem negativen Faktor, so ist zu berücksichtigen, dass die einzelnen Summanden ihr Vorzeichen umkehren: c (a + b) = c a c b. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 5= = + 3 = = = 6 Multiplizieren wir zwei ganzzahlige Faktoren, ist das Ergebnis immer dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen besitzen; andernfalls ist das Ergebnis negativ. Für Divisionen gilt diese Regel analog: Das Ergebnis eines Quotienten ist immer positiv, wenn der Term im Nenner und im Zähler dasselbe Vorzeichen haben; andernfalls ist das Ergebnis negativ. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: 53 = 5 ( 5)( 3) = 5 (4) = 8 ( 3) () = 6 4 = 4 = Grundlegende Rechenoperationen rationaler Zahlen Multiplizieren wir den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl, so ändert sich durch diese Erweiterung das Ergebnis nicht. Wenn im Zähler und Nenner eines Bruchs derselbe Faktor c vorkommt, kann der Bruch um diesen Faktor gekürzt werden. Der Wert des Bruchs ändert sich in diesem Fall nicht. a c a = c a = b c c b mitc = = = = = 4 4 9

20 Lektion Wenn zwei Brüche addiert bzw. subtrahiert werden sollen, müssen diese zuerst auf den gleichen Nenner gebracht werden. Einen gemeinsamen Nenner können Sie beispielsweise finden, indem Sie das kleinste gemeinsame Vielfache suchen. Sobald einzelne Brüche gleichnamig sind, d. h. sie besitzen einen gemeinsamen Nenner, können die erweiterten Werte im Zähler addiert bzw. subtrahiert werden = + = + = + 5 = Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils ihre Ausdrücke im Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden = 5 = Ein Ausdruck wird durch einen Bruch dividiert, indem der Ausdruck mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert wird. a c a d a = = d : b d b c b c 4 3 : = = = Grundlegende Rechenoperationen reeller Zahlen Wird die reelle Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert, können Sie als Abkürzung eine Potenz schreiben. a a a = a n Dabei wird a als Basis und n als Eponent bezeichnet. Die Umkehroperation zum Potenzieren ist das Wurzelziehen (Radizieren). Dabei bezeichnet b den Wurzeleponenten (Radikand). n n b = a a = b Beachten Sie, dass für b nur nichtnegative Werte eingesetzt werden dürfen, solange n gerade ist. Für ungerade Wurzeleponenten darf b auch negativ sein. Beispiel: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: 0 0

21 Grundlagen der Analysis Merken Sie sich, dass a⁰ = immer gilt. Jeder Wurzelausdruck kann in eine Potenz umgeschrieben werden. Es gilt: n a = a n Für das Rechnen mit reellen Zahlen gilt eine Reihe von elementaren Regeln, die im Folgenden zusammengefasst werden. ( ) ( ) ( )( ) ( a) = a a+ b = a + ab+ b. binomische Formel a b = a ab+ b. binomische Formel a+ b a b = a b 3. binomische Formel a = ( ) a ab = ( a b) = a b = a b a = a b b a = a a = b b b ( ) ( ) Für das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln sind folgende Regeln zu beachten:

22 Lektion? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: ( 7 4) a) 0 ( 6) = b) c) 9 0 = d) 0 3 = ( ) e) 3 + ( ) ( + ) = Vereinfachen Sie die folgenden Terme: a) a { b + c [d a + (b + c)] d} = b) (4m n) (m + n)(m n) (5m + 3n) = c) (a + b) (a 3b) 4(a + b)(a b) = d) ( + 3y) ( 4y) + ( + y)( y) 0y = e) [ 3( + 4)] 5( + ) = = 3. Zerlegen Sie jeweils die Zahl im Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren und kürzen Sie soweit wie möglich: a) c) 05 3 e) 5 77 = = b) = d) 05 3 = 4. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) (8a 3) (a + ) = b) ( 3) 3 = c) (m n )(m n + ) = d) (6 y)(4 5y) = e) (z 7)(z + z ) = =

23 Grundlagen der Analysis 5. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner und addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Brüche: a) a = b) = 3y 4 c) a b + 3 c d 3 = d) = e) =. Summen und Produkte Summenzeichen Das Summenzeichen wird häufig im Rahmen mathematischer Formulierungen verwendet und ist eine nützliche Kurzschreibweise für Summen. So ist es beispielsweise möglich, statt der epliziten Summe = 8 die durchaus kürzere Schreibweise i= 8 zu verwenden. Diese Summenschreibweise bedeutet nichts anderes, als dass wir für i nacheinander die Werte bis 7 einsetzen und diese einzelnen Werte aufsummieren. m ai = ak + ak+ + + am Bei der allgemeinen Schreibweise i= k bezeichnet ai das allgemeine Summenglied, i ist der Summationsinde, k und m sind die untere und obere Summationsgrenze. Für die Verwendung des Summenzeichens gelten ein paar Regeln, die im Folgenden dargestellt werden: Da die Reihenfolge, in welcher die Summenglieder ai und bi aufsummiert werden, beliebig ist, ist folgende Schreibweise zulässig: In der Summe m ( i + i) = i + m a b a b i i= k i= k i= k ist c ein konstanter Faktor, der ausgeklammert werden kann. Das bedeutet, dass er auch bei Summenschreibweise ausgeklammert werden kann. Manchmal ist es hilfreich, eine Summe aufzuspalten. Hierfür lassen wir eine erste Summe von bis l und eine zweite Summe von l + bis n laufen. n m 7 i= ( n) c a + c a + c a + + c a = c a + a + a + + a 3 n 3 m m c a = c a i i= k i= k ai = a+ a + al + al+ + al+ + + an = ai + ai i= i l n i= i= l+ 3

24 Lektion Wenn innerhalb eines Summenausdruckes eine Konstante c addiert wird, so ergibt sich die Häufigkeit des Aufsummierens aus der Ober- und Untergrenze des Summationsinde. Durch Verwendung von zwei oder mehreren Summenzeichen können auch Doppel- oder Mehrfachsummen erstellt werden. Doppelsummen sind wie folgt definiert: Für das Arbeiten mit Doppelsummen gelten die folgenden Regeln: Produktzeichen m ( i ) i ( ) a + c = a + m k+ c i= k i= k n m Beispiel m aij = a + a + + an + i= j= m n a + a + + a + n a + a + + a ( ij j ) ( ij ) m m nm ij j = j ( ) Äquivalent zum Summenzeichen gibt es auch für Produkte eine Kurzschreibweise, für die der griechische Großbuchstabe II genutzt wird. Die formelle Schreibweise ist: m ai = ak ak+ am Dabei ist i Multiplikationsinde, k und m sind die untere und obere Multiplikationsgrenze und a i ist das allgemeine Glied. a + b = a + m k+ b ij i= k j= l i= k j= l j= l m n ( ) ( ) a + c = a + m k+ n l + c i= k j= l i= k j= l m n c a = c a ij i= k j= l i= k j= l m n a = ij i= k j= l j= l i= k m n i= k j= l j= l i= k 5 i= 7 i= 3 3 i= 3 n m n m m a m a b b a i = i ij = a b = a b + a b + a b i i= j= 4 i= k 5 i n n n m ij ij ij a b = a b + a b + a b + a b + a b + a b i j 3 3 n j 4

25 Grundlagen der Analysis Für das Arbeiten mit Produkten gelten folgende Regeln: Bei dem Produkt handelt es sich um einen Spezialfall. Hier werden alle natürlichen Zahlen in bis n miteinander multipliziert. Dieses Produkt ist identisch mit n! (gesprochen n Fakultät ). n! = i = 3 n Beispiel 5 i= 5 i= 3 3 i= n i= i = 345 = 5! ( i) ( ) ( ) ( ) = = = 555 = 5 3 Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die folgenden Summen: j a) = b) ( 3) 3 j= i c) ( + 4i 6) = d) i j = i= 3 m n i= j= 0 j =? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. e) =. Berechnen Sie die folgenden Produkte: a) = 4 i = i= b) = 4 i = i= 3 j 3 c) = = 3+ j j= 5

26 Lektion.3 Gleichungen Äquivalenzumformungen Unter einer Gleichung verstehen wir in der Mathematik eine Aussage, die zwei Terme gleichsetzt. Unter einem Term verstehen wir dabei entweder eine einzelne Zahl oder alternativ eine Rechenoperation. Der Ausdruck + 5 = 9 ist beispielsweise eine Gleichung, bei der die Rechenoperation +5 und die Zahl 9 gleichgesetzt werden. Oftmals sind Mathematiker bei der Arbeit mit Gleichungen daran interessiert, für welchen Wert von die Gleichung erfüllt, d. h. wahr ist. Um eine Gleichung zu lösen, verwenden wir typischerweise Äquivalenzumformungen. Dabei ist zu beachten, dass die anzuwendende Umformung auf beiden Seiten der Gleichung angewendet wird, wie das folgende Beispiel zeigt: + 5= 9 5 = 4 : = Die folgende Auflistung gibt einen Überblick über die erlaubten Rechenoperationen im Rahmen von Äquivalenzumformungen: Addition Subtraktion Multiplikation Division Eponentieren Logarithmieren = 5 + = 7 + 3= 8 3 = 5 = 4 4 = 4 5 = 0 :5 = = 5 = e 5 ln = 0 ln ( e ) = ln0 = ln0 Bitte beachten Sie, dass in der Regel nur die Multiplikation und Division mit einem Ausdruck ungleich Null eine Äquivalenzumformung darstellt. Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Genauso ist das Logarithmieren nur eingeschränkt erlaubt, da z.b. eine negative Zahl nicht logarithmiert werden darf. Neben den bereits aufgeführten sechs Rechenoperationen eistieren zwei weitere, die ebenfalls im Rahmen von Äquivalenzumformungen genutzt werden können: das Potenzieren und das Radizieren (Wurzelziehen). Allerdings müssen wir bei der Anwendung dieser beiden 6

27 Grundlagen der Analysis Operationen auf den Eponenten Acht geben. Ist der Eponent ungerade, dann lassen sich diese beiden Rechenoperationen problemlos anwenden; es handelt sich um äquivalente Umformungen. Beachten Sie: Ist der Eponent hingegen gerade, ist dies nicht der Fall! 3 Potenzieren = 3 = 8 Radizieren = = 3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme Eine lineare Gleichung ist in ihrer einfachsten Form eine Gleichung der Form a + c = 0 D. h. die Potenz der unabhängigen Variablen ist. Eine lineare Gleichung kann eine unabhängige Variable besitzen oder mehrere. Wenn mehrere lineare Gleichungen gegeben sind und diejenigen Werte der unabhängigen Variablen gesucht werden, die simultan sämtliche Gleichungen lösen, sprechen wir von einem linearen Gleichungssystem: a₁ + b₁y = c₁ a₂ + b₂y = c₂ Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann mittels einer der folgenden Methoden ermittelt werden: Additionsverfahren Gleichsetzungsverfahren Substitutionsverfahren Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden durch Äquivalenzumformungen die einzelnen Gleichungen derart angepasst, dass durch paarweise Addition oder Subtraktion von zwei Gleichungen eine der unabhängigen Variablen eliminiert wird. Die Addition der Gleichungen () und (a) liefert schließlich: Nach elementaren Umformungen resultiert somit für y der Wert. 7

28 Lektion Durch Einsetzen von y= in () oder () erhält man =7 () + = 5 = 4 : = 7 Die Lösung des Gleichungssystems lautet = 7 und y =. Gleichsetzungsverfahren Bei der Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens werden zwei Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und anschließend gleichgesetzt. Erneut soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden: + y = 5 () 4y = 3 () Beide Gleichungen werden nach aufgelöst: Anschließend werden die Gleichungen (b) und (a) gleichgesetzt: Durch Einsetzen von y = Gleichung () oder () erhalten wir erneut die zugehörige Lösung = 7. () + y = 5 : y 5 y + = ( a ) 5 y = ( b ) ( ) ( ) 4y = 3 + 4y = 3+ 4y a 5 y = 3+ 4y y 4y = y y = 9 9 y = y = 8

29 Grundlagen der Analysis Substitutionsverfahren Beim Substitutionsverfahren lösen wir eine Gleichung nach einer der unabhängigen Variablen auf; der resultierende Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt. Für das obige Beispiel wird die zweite Gleichung nach aufgelöst. Als Ergebnis der Substitution erhalten wir: () ( ) () ( ) () + y = 5 4y = 3 + 4y + y = 5 = 3+ 4y a in einsetzen ( y) y = y+ y = 5 9y = 9 y = Setzen wir y = Gleichung () ein, erhalten wir = 7. Quadratische Gleichungen Bei einer quadratischen Gleichung handelt es sich um eine Gleichung der Form a² + b + c = 0 Um eine quadratische Gleichung zu lösen, eistieren zwei häufig verwendete Verfahren: abc-formel pq-formel abc-formel Unter Verwendung der abc-formel wird für eine quadratische Gleichung der Form a² + b + c = 0 die Lösung mittels der Formel bestimmt. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 4² + 8 = 0: Die Lösung lautet: ₁ = ₂ = -3 9

30 Lektion pq-formel Die pq-formel verlangt im Unterschied zur abc-formel, dass eine quadratische Gleichung in der Normalform gegeben ist, d. h. es liegt eine quadratische Gleichung der Form vor. Die Lösung lautet in diesem Fall: ² + p + q = 0 Beispiel: Lösen Sie die Gleichung ² + = 0: Die Lösung lautet: ₁ = ₂ = - Bitte beachten Sie, dass nicht jede quadratische Gleichung a + b + c = 0 auf der Menge der reellen Zahlen gelöst werden kann. Gleichungen höheren Grades? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Eine Gleichung der Form n n 4 3 a + a + + a + a + a + a + a = 0 wird allgemein als Gleichung n-ten Grades bezeichnet. Im Gegensatz zu den vorher besprochenen linearen und quadratischen Gleichungen eistieren für Gleichungen höheren Grades keine standardisierten Lösungsverfahren mehr. Stattdessen kommen Näherungsverfahren oder Methoden zum Einsatz, die einen Ausdruck n-ten Grades in seine Linearfaktoren zerlegen. An dieser Stelle soll auf die Verfahren nicht weiter eingegangen werden. Sie werden zu einem späteren Zeitpunkt im Zusammenhang mit der Suche nach Nullstellen von Funktionen besprochen. Fragen zur Selbstkontrolle. Lösen Sie die Gleichungen nach auf: a) + 3 = 6 = b) 5 + = c) 4 3 = n n = = d) + = = 0 e) 4 + ( 4) 3 = (3 5) = 30

31 Grundlagen der Analysis. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) + = = b) 5 0= 0 4 c) = = d) a (b a) b= 0 8 = = 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: a) 3 y = 4 = 4y = 8 y = b) + 6y z = 3 = y 4z = 6 y = 3 + 4y z = 8 z = c) 3y + z = 3 = 4 + 5y + z = 6 y = 3 y z = 7 z =.4 Ungleichungen Das Besondere an Ungleichungen ist, dass zwei Terme anders als bei Gleichungen mittels eines Gleichheitszeichens gleichgesetzt gegenübergestellt werden. Mittels des Verhältniszeichens <, <, >, > wird ein Größenordnungsverhältnis ausgedrückt. Die Lösung einer Ungleichung umfasst somit immer ein Intervall anstatt eines einzelnen Wertes. Um mit Ungleichungen zu rechnen, müssen wir ein paar Besonderheiten bei Äquivalenzumformungen beachten. Addition und Subtraktion erfolgen analog zu Gleichungen, d. h. ein Wert wird auf beiden Seiten der Ungleichung addiert oder subtrahiert. Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl erfolgt ebenfalls analog zum Vorgehen bei Gleichungen; beide Seiten der Ungleichung werden mit dem entsprechenden Wert multipliziert oder dividiert. Bei einer Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl müssen wir allerdings aufpassen: In diesem Fall ändert das Ungleichheitszeichen seine Richtung, d. h. aus einem <-Zeichen wird ein >-Zeichen und umgekehrt. Bei der Bildung eines Kehrwertes ändert sich ebenfalls die Richtung des Ungleichheitszeichens. 3

32 Lektion B Beispiel. Beispiel Lösen Sie folgende Ungleichung: y y y y y y ( y 4) Entsprechend den zuvor besprochenen Äquivalenzumformungen müssen wir im Folgenden unterscheiden, ob der Ausdruck (y 4) positiv oder negativ ist, da dies Auswirkungen auf die Ausrichtung des Ungleichheitszeichens hat. Dementsprechend müssen wir eine Fallunterscheidung vornehmen: Fall : (y 4) > 0, d. h. beide Seiten der Ungleichung werden mit einer positiven Zahl multipliziert. Fall tritt ein, wenn y > 4 gilt. 7 y+ ( y 4) 7 y+ y 4 5 y y 5 3 Die Ungleichung ist wahr für 4 < y 5 Fall : (y 4) < 0, d. h. beide Seiten der Ungleichung werden mit einer negativen Zahl multipliziert, wodurch sich das Ungleichheitszeichen umdreht. Fall tritt ein, wenn y < 4 gilt. 7 y+ ( y 4) 7 y+ y 4 5 y 6 y 3 5 Für Fall ergibt sich somit ein Widerspruch, da Fall lediglich für Werte y < 4 definiert ist. 3

33 Grundlagen der Analysis Fragen zur Selbstkontrolle. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen: a) 4 < 3 = b) c) 5 + = d) > 3 3t 8 4t + y < y 7 t = y =? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. e) 3 3 = 4 Wissenskontrolle CLIX Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte 33

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35 Lektion Funktionen Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... wie sich Funktionen und Abbildungen unterscheiden. welche unterschiedlichen Darstellungsformen von Funktionen es gibt. welches die grundlegenden Eigenschaften von Funktionen sind. welche wesentlichen Funktionstypen es gibt. wie Sie ausgewählte ökonomische Funktionen anwenden.

36 Lektion. Funktionen. Einführung Funktionen werden immer dann benötigt, wenn die Beziehung zwischen den Elementen zweier Mengen beschrieben werden muss, z. B. der funktionale Zusammenhang von Produktionskosten eines Unternehmens und der Menge produzierter Güter. Für ein vorgegebenes Produktionsvolumen lassen sich so die entstehenden Produktionskosten berechnen. Von einer Funktion sprechen wir immer dann, wenn die Beziehung zwischen den Elementen zweier Mengen in Form einer eindeutigen Zuordnungsvorschrift bestimmt wird. Mathematisch dargestellt bedeutet dies, dass Elementen einer Menge X ( X) Elemente einer Menge Y (y Y) zugeordnet werden. Diese Zuordnungsvorschrift wird dabei wie folgt dargestellt: f : X Y Zuordnungsvorschrift f : X Y y y y 3 y 4 Dabei wird die Menge X als Definitionsbereich D (f) und die Menge Y als Wertebereich W (f) bezeichnet. Wie Sie an Abbildung Zuordnungsvorschrift sehen können, werden nicht notwendigerweise alle Elemente des Definitions- oder Wertebereichs verwendet. Um mittels einer Funktion richtig interpretieren und analysieren zu können, ist es zwingend notwendig, dass der Definitionsbereich angegeben ist. Elemente des Definitionsbereichs werden auf Elemente des Wertebereichs abgebildet; drei Abbildungsformen werden hierbei unterschieden: Eindeutige Abbildung Bei einer eindeutigen Abbildung wird jedem Element X ein Element y Y zugeordnet. Eineindeutige Abbildung Bei einer eineindeutigen Abbildung wird jedem Element X ein Element y Y zugeordnet und umgekehrt. Mehrdeutige Abbildung Bei einer mehrdeutigen Abbildung sind jedem Element X mehrere Elemente y Y zugeordnet. 36

37 Funktionen Abbildungen Eindeutige Abbildung Eineindeutige Abbildung Mehrdeutige Abbildung f : X Y f : X Y f : X Y. Darstellungsformen Im Bereich der Wirtschaftswissenschaften sind Funktionen ein wichtiges Werkzeug, um quantitative Zusammenhänge darzustellen. Zur Darstellung dieser Zusammenhänge werden primär drei Darstellungsformen verwendet: Gleichungen, Wertetabellen und Graphen. Gleichungen Eine Funktionsgleichung drückt die Abhängigkeit einer Variablen (abhängige Variable) von einer anderen gegebenen Variablen (unabhängige Variable) aus. Häufig wird die abhängige Variable mit y und die unabhängige Variable mit bezeichnet. Der funktionale Zusammenhang zwischen den beiden Variablen wird durch die Schreibweise y = f () festgelegt. Sie besagt, dass y eine Funktion der Variablen ist. 37

38 Lektion Für die Darstellung einer Funktion eistieren zwei Schreibweisen: Darstellungsformen für Funktionen Gleichung Darstellungsformen Graph Wertetabelle Eplizite Darstellung: y = f () Bei der epliziten Darstellung ist die Funktionsgleichung nach der abhängigen Variablen aufgelöst. Implizite Darstellung: f (,y) = 0 Bei der impliziten Darstellung befinden sich beide Variablen auf der gleichen Seite des Gleichheitszeichens; die Funktion ist somit nach keiner Variablen aufgelöst. B Beispiel. Beispiel Eplizite Darstellung y = ² y = Implizite Darstellung y ² = 0 y 5 3 = 0 In vielen Fällen ist Überführung der einen in die andere Darstellungsform recht einfach durch Umformung möglich. Es gibt allerdings auch Fälle, in denen dies nicht oder nur unter sehr großem Aufwand möglich ist. Graphen Die grafische Darstellung macht sich zunutze, dass sich jeder Punkt grafisch auf einer Zahlengerade bestimmen lässt, indem die Distanz vom Nullpunkt entweder in positive oder negative Richtung abgetragen wird. 38

39 Funktionen Zahlengerade Durch Verwendung zweier Zahlengeraden, die senkrecht aufeinander stehen, erhalten wir ein kartesisches Koordinatensystem. Diese beiden Zahlengeraden werden auch als Achsen des Koordinatensystems bezeichnet. Die horizontale Achse (Abszisse) wird typischerweise zur Darstellung der unabhängigen Variablen genutzt, während auf der vertikalen Achse (Ordinate) die abhängige Variable abgetragen wird. Der Schnittpunkt der beiden Achsen wird als Nullpunkt oder auch als Ursprung bezeichnet. Kartesisches Koordinatensystem In der folgenden Abbildung sind eemplarisch die Graphen von ausgewählten Funktionen dargestellt. Hinweis: Der Betrag II eines Ausdrucks ist immer positiv. Ist der Ausdruck positiv, so entspricht der Ausdruck unmittelbar dem Betrag. Ist der Ausdruck jedoch negativ, so wird für die Betragsdarstellung ein Minuszeichen eingefügt, so dass - dem Betrag entspricht und mithin ebenfalls wieder positiv ist. 39

40 Lektion Beispielhafte Graphen y y y y = y = ² y = ³ y y y y = ΙΙ y = Wertetabelle Eine Wertetabelle ist eine tabellarische Darstellung der Werte einer Funktion. Im Bereich der Wirtschaftswissenschaften sind Wertetabellen, in denen Zusammenhänge zwischen einzelnen Größen erfasst werden, oftmals der Einstiegspunkt, um diese Zusammenhänge näher zu analysieren. Diese Analyse erfolgt oftmals durch grafische Darstellung oder durch weiterführende statistische Verfahren wie etwa der Regressionsanalyse. Verschieben von Graphen y y = f() + c y = f() y y = f() y = f( + c) y y = c f() y y = f() y = f(-) y = f() 40

41 Funktionen.3 Eigenschaften von Funktionen Wenn wir Funktionen analysieren, sind wir typischerweise an bestimmten charakteristischen Eigenschaften und speziellen Punkten einer Funktion interessiert. Die wesentlichen Merkmale einer Funktion sind dabei: Monotonie Eindeutigkeit Umkehrbarkeit Stetigkeit Symmetrie Nullstellen Etrema Steigung Krümmung Monotonie Unter Monotonie verstehen wir, ob eine Funktion einen steigenden oder fallenden Verlauf hat. Eine Funktion wird als monoton steigend bezeichnet, wenn für < gilt, dass f( ) <= f( ). streng monoton steigend bezeichnet, wenn für < gilt, dass f( ) < f( ). monoton fallend bezeichnet, wenn für > gilt, dass f( ) >= f( ). streng monoton fallend bezeichnet, wenn für > gilt, dass f( ) > f( ). Die beiden folgenden Abbildungen verdeutlichen grafisch den Unterscheid zwischen einer monoton steigenden und einer streng monoton steigenden Funktion. Monoton steigende Funktion y 4

42 Lektion Streng monoton steigende Funktion y Eindeutige und eineindeutige Funktion Die in Kapitel. erwähnten Abbildungsformen lassen sich auch auf Funktionen übertragen: Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedem Element X genau ein Element y Y zugeordnet ist. Eindeutige Funktion y y=f() y 4

43 Funktionen Eine Funktion ist eineindeutig, wenn jedem Element X genau ein Element y Y zugeordnet ist und umgekehrt. Eineindeutige Funktion y y=f() y Wenn jedem Element X mehrere Elemente (y₁; y₂; :::) Y zugeordnet sind, liegt eine mehrdeutige Abbildung vor. Hier sprechen wir nicht von einer mehrdeutigen Funktion, da definitionsgemäß nur eindeutige und eineindeutige Abbildungen Funktionen darstellen. Mehrdeutige Abbildung y y y 43

44 Lektion Umkehrfunktionen Für eine eineindeutige Funktion y = () eistiert immer eine Umkehrfunktion = f ( y). Dabei ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion identisch mit dem Wertebereich der Ausgangsfunktion. Entsprechend stimmt der Wertebereich der Umkehrfunktion mit dem Definitionsbereich der Ausgangsfunktion überein. Grafisch lässt sich eine eistierende Umkehrfunktion konstruieren, indem wir die Ausgangsfunktion an der Winkelhalbierenden y = spiegeln. Graphische Konstruktion der Umkehrfunktion y y=f ¹() y=f() Stetigkeit Eine Funktion wird als kontinuierlich (stetig) bezeichnet, wenn ihr Definitionsbereich aus sämtlichen reellen Zahlen besteht. Wenn diese lediglich innerhalb eines vorgegebenen Intervalls den Definitionsbereich bilden, wird eine Funktion als diskret bezeichnet (siehe auch Abbildung Gerade und ungerade Funktion ). 44

45 Funktionen Kontinuierliche und diskrete Funktion y y y = f() R(f) ( ) R(f) ( ) D(f) D(f) Mit Hinweis auf die vorherigen Ausführungen mag man R(f) als Bild der Funktion oder als Wertebereich der Funktion f definieren. Wenn wir eine Funktion zeichnen können, ohne den Stift abzusetzen, wird diese Funktion als stetig bezeichnet. Wenn hingegen Stellen eistieren, an denen eine Funktion nicht stetig ist d. h. beim Zeichnen der Stift abgesetzt werden muss, dann wird diese Stelle als Unstetigkeitsstelle bezeichnet. Es eistieren drei mögliche Gründe für Unstetigkeitsstellen: Sprünge Sprünge treten typischerweise bei zusammengesetzten Funktionen auf, z. B. an der Stelle = in der folgenden Abbildung. Unstetigkeitsstelle für = y 45

46 Lektion Pole Bei einem Pol handelt es sich um eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist und wo der Graph gegen + oder strebt. Lücken Wie bei einer Polstelle ist eine Lücke dadurch charakterisiert, dass die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Der Unterschied besteht allerdings darin, dass der Graph nicht gegen + strebt, sondern sich der Lücke von beiden Seiten beliebig nahe annähert. Symmetrie Für manche Funktionen gilt, dass sie entweder achsen- oder punktsymmetrisch sind. Als Achsensymmetrie wird eine Symmetrie zu einer vertikalen Achse bezeichnet, während wir unter Punktsymmetrie eine Symmetrie zu einem Punkt verstehen. Eine spezielle Form der Achsensymmetrie liegt vor, wenn eine Funktion spiegelsymmetrisch zur y-achse ist. In diesem Fall wird die Funktion als gerade bezeichnet. Dabei ist f () = f ( ). Eine ungerade Funktion hingegen ist symmetrisch zum Ursprung. In diesem Fall ist f ( ) = f (). Gerade und ungerade Funktion y 4 f(-) = -f() y 4 f() = f(-)

47 Funktionen Nullstellen Die Stellen, an denen eine Funktion die -Achse schneidet, werden als Nullstellen der Funktion bezeichnet. Eine Stelle ₁ ist folglich eine Nullstelle der Funktion y = f (), wenn gilt, dass y = f(₁) = 0 ist. Nullstellen einer Funktion werden folglich bestimmt, indem wir die Funktionsgleichung gleich Null setzen und nach auflösen. Die in der folgenden Abbildung dargestellte Funktion besitzt die beiden Nullstellen ₁ und ₂. Nullstellen y y = f() Grundsätzlich können wir zwei unterschiedliche Arten von Nullstellen unterscheiden: Nullstellen, an denen der Graph die -Achse schneidet, und Nullstellen, an denen der Graph die -Achse berührt. In der folgenden Abbildung befinden sich an den Stellen = 3 und = 3 schneidende und im Ursprung eine berührende Nullstelle. Schneidenden und berührende Nullstellen y

48 Lektion Lokale und globale Etremwerte Ein Etremwert stellt einen Punkt auf dem Graphen einer Funktion dar, der innerhalb eines betrachteten Intervalls entweder den höchsten oder tiefsten Punkt innerhalb dieser Umgebung repräsentiert. Der höchste Punkt wird dabei als Maimum, der tiefste Punkt als Minimum bezeichnet. Wenn ein Maimum lediglich innerhalb eines bestimmten Intervalls den höchsten Punkt repräsentiert, außerhalb des Intervalls aber noch höhere Maima eistieren, wird ein solcher Punkt als lokales Maimum bezeichnet. Der höchste Punkt innerhalb des gesamten Definitionsbereichs einer Funktion hingegen repräsentiert das globale Maimum. Die gleiche Logik gilt für Minima entsprechend. Globale und lokale Etrema y Der Graph in der obigen Abbildung verfügt somit über drei Maima und drei Minima: Die Maima liegen an den Stellen ₁, ₃ und ₅. Dabei liegt bei ₃ das globale Maimum, bei ₁ und ₅ befinden sich lokale Maima. Die Minima liegen an den Stellen ₂, ₄ und ₆. An der Stelle ₄ ist das globale Minimum, während an den Stellen ₂ und ₆ lokale Minima zu finden sind. Steigung Die Steigung einer Funktion repräsentiert das Maß, mit welcher Geschwindigkeit die Funktionswerte an einer gegebenen Stelle steigen oder fallen. Eine Funktion wird in einem Intervall [₁; ₂] mit ₁ < ₂ als streng monoton steigend bezeichnet, wenn f(₁) < f(₂) gilt. Eine Funktion wird in einem Intervall [₁; ₂] mit ₁ < ₂ als streng monoton fallend bezeichnet, wenn f(₁) > f(₂) gilt. 48

49 Funktionen Steigung einer Funktion < f( ) < f( ) < f( ) > f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) y=f() Krümmung Wenn wir am Krümmungsverhalten einer Funktion interessiert sind, möchten wir wissen, ob eine Funktion an einer bestimmten Stelle links- oder rechtsgekrümmt ist. Diese Links- oder Rechtskrümmung wird auch als konvee bzw. konkave Krümmung bezeichnet. Eine Funktion ändert ihr Krümmungsverhalten am sogenannten Wendepunkt. Formal wird eine Funktion y = f () als konve bezeichnet, wenn für alle Paare ₁; ₂ D(f), die durch eine Gerade verbunden werden, gilt, dass diese Verbindungsgerade im gesamten betrachteten Intervall durchgängig oberhalb des Funktionsgraphen verläuft. Bei einer konkaven Funktion verläuft die Verbindungsgerade im betrachteten Intervall unterhalb des Funktionsgraphen. Konvee und konkave Funktion y y f( ) f( ) f( ) y=f() f( ) y=f() 49

50 Lektion? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Sie haben einen Stromvertrag abgeschlossen mit einem monatlichen Grundpreis von 0,00. Der Arbeitspreis pro verbrauchter kwh beträgt 0,35. Skizzieren Sie den Graphen, der den Zusammenhang zwischen Stromkosten und Stromverbrauch darstellt. Wie hoch ist Ihre monatliche Stromrechnung, wenn Sie einen monatlichen Stromverbrauch von 400 kwh haben?. Eine Maschine benötigt 8 Stunden um Endprodukte herzustellen. Wenn eine zweite Maschine parallel zur ersten benutzt wird, dann benötigen beide Maschinen Stunden, um die Endprodukte zu produzieren. Wie lange würde die Produktion dauern, wenn die Endprodukte nur von Maschine B produziert würden? Antwort: 3. Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen: a) Definitionsbereich: Wertebereich: b) 3 Definitionsbereich: Wertebereich: 4. Skizzieren Sie den jeweils gegebenen Graphen. Erstellen Sie anschließend die Funktionsgleichung g(), die aus den im Tet genannten Verschiebungen resultiert: a) f() =, man erhält g() indem f() Einheiten nach unten und 5 Einheiten nach rechts verschoben wird. g() = 50

51 Funktionen b) f() = 5, man erhält g() indem f() 4 Einheiten nach unten und 3 Einheiten nach links verschoben wird. g() = c) f() = +, man erhält g() indem f() 3 Einheiten nach oben und 5 Einheiten nach links verschoben wird. g() = 5. Erstellen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Umkehrfunktion: a) f() = 00 Umkehrfunktion: b) f() = Umkehrfunktion: 5 c) f() = + Umkehrfunktion: 6. Welche Symmetrieeigenschaften haben die folgenden Funktionen: gerade, ungerade oder weder noch? a) y = o gerade o ungerade o weder noch b) y = 3 o gerade o ungerade o weder noch c) y = o gerade o ungerade o weder noch d) y = ( + ) o gerade o ungerade o weder noch e) y = ( ) 4 o gerade o ungerade o weder noch f) y = o gerade o ungerade o weder noch g) y = ( + 3) 3 o gerade o ungerade o weder noch.4 Grundlegende Funktionstypen Im Bereich der Wirtschaftsmathematik gibt es typischerweise drei Funktionsgruppen, die häufig verwendet werden: Algebraische Funktionen, Transzendente Funktionen sowie spezielle und sonstige Funktionen. 5

52 Lektion Die Gruppe der algebraischen Funktionen umfasst u.a. die folgenden Funktionstypen, die wir nun näher betrachten: konstante und polynomiale Funktionen, rationale Funktionen und Wurzelfunktionen. Grundlegende Funktionstypen Algebraische Funktionen Funktionsgruppen Transzendente Funktionen Spezielle und sonstige Funktionen Algebraische Funktionen Polynomiale und konstante Funktionen Unter einer polynomialen Funktion verstehen wir eine Funktion der Form ( ) n i y = p = a + a + a + + a = a mita R n 0 Der größte im Polynom vorkommende Eponent n bezeichnet den Grad des Polynoms. Für einige Werte von n unterscheiden wir spezielle Polynome: n = 0: Konstante Funktion y = p₀() = a₀ n = : Lineare Funktion y = p₁() = a₀ + a₁. n = : Quadratische Funktion y = p₂() = a₀ + a₁. + a₂.² n = 3: Kubische Funktion y = p₃() = a₀ + a₁. + a₂.² + a₃.³ n = 4: Quartische Funktion y = p₄() = a₀ + a₁. + a₂.² + a₃.³ + a₄.⁴ n n i i= 0 i 5

53 Funktionen Eine konstante Funktion ist eine Funktion, die parallel zur -Achse verläuft; sie stellt einen Sonderfall der polynomialen Funktion dar. Konstante Funktion y 5 y = c() = 5 Als Polynom wird eine Funktion vom Grad n > bezeichnet. Ein Polynom ist immer eine kontinuierliche Funktion und der Grad eines Polynoms gibt Auskunft darüber, wie viele Nullstellen die entsprechende Funktion hat. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra gilt, dass ein Polynom pn() mit ungeradem Grad n mindestens einen Wert von i aufweist, für den pn(i) = 0 ist. ein Polynom pn() mit geradem Grad n höchstens n Werte i aufweist, für die pn(i) = 0 ist. Beispiel Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden beiden Polynome: Das Polynom vierten Grades p₄() = ⁴ ³ 7² = ( + ). ( + ). ( ). ( 3) hat vier Nullstellen an den Stellen ₁ =, ₂ =, ₃ = und ₄ = 3. B Beispiel. Ein Polynom zweiten Grades hat laut dem Fundamentalsatz der Algebra bis zu zwei Nullstellen. Das Polynom p₂() = ² = ( 3)( 3) = ( 3)² hat aber lediglich eine Nullstelle bei = 3. Anhand der faktorisierten Schreibweise sehen wir aber, dass an der Stelle = 3 sowohl der erste als auch der zweite Klammerausdruck gleich Null ist, weshalb wir hier von einer doppelten Nullstelle oder Nullstelle zweiten Grades sprechen. Aufgrund dieser doppelten Nullstelle schneidet der Graph nicht die -Achse bei = 3, sondern berührt sie wie in der folgenden Abbildung dargestellt. 53

54 Lektion Nullstelle zweiten Grades y p () = ²-6+9 = (-3)(-3) = (-3)² 3 Es gibt eine einfache Möglichkeit festzustellen, ob ein Graph die -Achse an der Stelle = c schneidet oder nur berührt. Wenn der Eponent n der faktorisierten Schreibweise ( c)ⁿ ungerade ist, dann scheidet der Graph die -Achse an der entsprechenden Stelle. Ist der Eponent n hingegen gerade, dann berührt der Graph die -Achse in dem Punkt. Wie Sie anhand des obigen Beispiels gesehen haben, ist die Bestimmung der Nullstellen einer polynomialen Funktion immer sehr einfach, wenn die Funktion in faktorisierter Schreibweise gegeben ist. Die Funktion pn() = ( a₁) ( a₂) ( a₃)... ( an) hat ihre Nullstellen bei a₁, a₂, a₃,..., an. Falls ein Polynom nicht in faktorisierter Schreibweise gegeben ist, können wir seine Linearfaktoren beispielsweise durch Anwendung der Polynomdivision bestimmen. Hierfür müssen wir typischerweise durch Ausprobieren eine erste Nullstelle = c suchen. Anschließend können wir das Polynom durch ( c) dividieren, wodurch wir den Grad des Polynoms um Eins reduzieren. Anschließend wiederholen wir dieses Verfahren, bis der verbleibende Ausdruck lösbar ist. B Beispiel.3 Beispiel Das Polynom vierten Grades p₄() = ⁴ ³ 7² soll in seine Linearfaktoren zerlegt werden. Durch Einsetzen und Probieren finden wir schnell die erste Nullstelle bei ₁ =. Der Grad des Polynoms kann jetzt um Eins reduziert werden, indem wir p₄() durch ( ) dividieren. ( ) ( ) : =

55 Funktionen Für das verbleibende Polynom dritten Grades müssen wir als nächstes eine weitere Nullstelle suchen, die wir z. B. bei ₂ = finden. Das Restpolynom wird nun im nächsten Schritt durch ( + ) dividiert: : + = 6 ( ) ( ) Die verbleibenden beiden Nullstellen lassen sich nun einfach durch Anwendungen der pq- Formel bestimmen: 0 Somit erhalten wir für das Ausgangspolynom die Produktdarstellung p₄() = ⁴ ³ 7² = ( )( + )( 3)( + ) Gebrochen rationale Funktionen Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Quotient zweier polynomialer Funktionen pn() und qm() darstellen lässt: Definitionsbereich ( ) ( ) pn y = r( ) = = q m n i= 0 m i= 0 a i b i i i ( ) mitq 0 m Die Schreibweise als Quotient bedingt, dass der Nenner einer gebrochen rationalen Funktion niemals Null werden darf und somit entsprechende Werte von nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören: D()= r \{ Nullstellendes Nenners} Im Gegensatz zu einer polynomialen Funktion ist eine gebrochen rationale Funktion somit nicht zwingend mehr stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Es kann Unstetigkeitsstellen geben. 55

56 Lektion B Beispiel Der Definitionsbereich der Funktion Beispiel.4 r( ) B besteht aus sämtlichen reellen Zahlen, außer ₁ = und ₂ =, d.h. Nullstellen Dr ()= \{, }. Die Nullstellen einer rationalen Funktion sind an den Stellen = c zu finden, für die r (c) = 0 gilt. Hierfür ist es notwendig, dass das Zählerpolynom pn() den Wert Null annimmt, während das Nennerpolynom qm() zwingend ungleich Null sein muss. Beispiel Für das obige Beispiel r( ) Beispiel.5 gilt somit, dass die Funktion die Nullstelle = hat. Polstellen ( + )( ) Stellen, an denen das Nennerpolynom einer gebrochen rationalen Funktion den Wert Null annimmt, während das Zählerpolynom einen Wert ungleich Null aufweist, werden als Polstellen bezeichnet. Die Stelle = c ist eine Polstelle, wenn pn ( ) r( ) = () () = q mit p c 0, q c 0 n m m = = ( ) + + ( + )( ) Eine Polstelle weist somit folgende Eigenschaften auf: Eine Polstelle stellt eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion r () dar. Der Wert des Nennerpolynoms strebt immer mehr gegen Null, je stärker wir uns einer Polstelle = c annähern. Der Graph der rationalen Funktion r () nähert sich umso mehr einer vertikalen Asymptote an, je stärker der Nenner gegen Null strebt. 56

57 Funktionen Polstelle für = c c Beispiel Die Funktion r( )= B Beispiel.6 hat Nullstellen für = und = 3 und Polstellen für =, = und = 4. Der Verlauf des zugehörigen Graphen kann der folgenden Abbildung entnommen werden. Null- und Polstelle des Beispiels.6 y

58 Lektion Ob der Graph einer Funktion an einer Polstelle gegen + oder strebt, hängt von den beteiligten Vorzeichen im Zähler und Nenner ab. Je nach Verhalten des Graphs an einer Polstelle unterscheiden wir gerade und ungerade Polstellen. Ist der Grad einer Polstelle gerade, dann strebt der Graph auf beiden Seiten der Polstellen in dieselbe Richtung. Ist der Grad einer Polstelle hingegen ungerade, dann strebt der Graph auf der einen Seite der Polstelle gegen + während er auf der anderen Seite gegen strebt. Gerade und ungerade Polstellen y Ungerade Polstelle Gerade Polstelle y c c B Beispiel.7 Beispiel Die Funktion ( ) r = ( )( 3) ( ) hat aufgrund des Eponenten eine Polstelle zweiten Grades für = ; es handelt sich somit um eine gerade Polstelle. Unabhängig davon, ob wir uns der Stelle = von links oder rechts annähern, ergibt sich aufgrund der zweiten Potenz im Nenner immer ein positiver Wert. Da sich in der Nachbarschaft von = das Vorzeichen des Zählers nicht ändert und negativ ist, strebt der Graph folglich gegen. 58

59 Funktionen Gerade Polstelle für = - Beispiel Beispiel Die Funktion ( ) r = ( )( 3) ( ) B Beispiel.8 hingegen hat eine Polstelle ersten Grades für = ; es handelt sich somit um eine ungerade Polstelle. Dieses Mal ändert sich das Vorzeichen des Nenners in der Nachbarschaft von =, weshalb der Graph an der Polstelle gegen + und strebt. Ungerade Polstelle für = - Beispiel

60 Lektion Asymptoten Wenn wir das asymptotische Verhalten einer rationalen Funktion 3 pn ( ) a0 + a + a + a3 + + an y = r( ) = = 3 q b + b + b + b + + b m ( ) 0 untersuchen, sind wir daran interessiert, wie sich die Funktion verhält, wenn gegen + strebt. Ausschlaggebend für das konkrete asymptotische Verhalten einer rationalen Funktion ist das Wachstumsverhältnis zwischen dem Zählerpolynom pn() und dem Nennerpolynom qm(). Wir unterscheiden drei Fälle hinsichtlich des asymptotischen Verhaltens von r(): Fall : n < m Der Grad des Zählerpolynoms n ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms m. Wenn gegen + strebt, hat das zur Folge, dass der Wertzuwachs des Nennerpolynoms deutlich schneller erfolgt als der des Zählerpolynoms. Der gesamte Quotient strebt somit gegen Null und der Graph nähert sich folglich der -Achse an. Abhängig von den Vorzeichen im Zähler und Nenner nähert sich der Graph entweder von oben oder von unten der -Achse an. 3 m n m B Beispiel.9 Beispiel + r( )= Der Grad des Zählerpolynoms ist n =, während der Grad des Nennerpolynoms m = ist. Die Asymptote ist somit die -Achse. Wenn gegen + strebt ist sowohl das Vorzeichen im Zähler als auch im Nenner positiv. Dadurch nähert sich der Graph von oberhalb kommend der -Achse an. Strebt gegen, dann ist das Vorzeichen im Zähler negativ, während es im Nenner positiv ist. In diesem Fall nähert sich der Graph von unten kommend der -Achse an. Asymptotisches Verhalten - Beispiel

61 Funktionen Fall : n = m Der Grad des Zähler- und Nennerpolynoms ist identisch. Dadurch erfolgt der Wertzuwachs im Zähler und im Nenner im konstanten Verhältnis, wenn gegen + strebt. Hierdurch verläuft die Asymptote parallel zur -Achse. Den Verlauf der Asymptote finden wir, indem wir den Koeffizienten an durch den Koeffizienten bm dividieren. Der Asymptote an entspricht somit die Gleichung y =. bm Beispiel 4 8 r( )= 8 Der Grund des Zähler- und Nennerpolynoms ist n = m =. Die Asymptote ist somit eine 4 konstante Funktion der Form y = =. Asymptotisches Verhalten - Beispiel.0 B Beispiel Fall 3: n > m Im letzen Fall ist der Grad des Zählerpolynoms n größer als der Grad des Nennerpolynoms m. Hierdurch ist der Wertzuwachs im Zähler größer als im Nenner, wenn gegen + strebt, wodurch r () gegen + strebt. Der genaue Verlauf der Asymptote lässt sich ermitteln, indem wir das Nennerpolynom durch das Zählerpolynom dividieren. Als Ergebnis dieser Division erhalten wir eine polynomiale Funktion sowie einen gebrochen rationalen Rest. Der Verlauf der Asymptote entspricht dem der polynomialen Funktion. 6

62 Lektion B Beispiel. Beispiel r( )= Der Grad des Zählerpolynoms ist n = 3 und der Grad des Nennerpolynoms ist m =. Dividieren wir das Nenner- durch das Zählerpolynom, dann erhalten wir den polynomialen + 4 Ausdruck ( ) sowie den gebrochen rationalen Ausdruck : = ( ) ( ) Sobald gegen + strebt, strebt der gebrochen rationale Ausdruck gegen Null, sodass sich r () der Asymptote ( ) annähert. Asymptotisches Verhalten - Beispiel Hebbare Unstetigkeitsstelle Wenn eine gebrochen rationale Funktion an einer Stelle unstetig ist, dann ist sie an dieser Stelle nicht definiert. Im Abschnitt zur Stetigkeit haben wir uns die möglichen Gründe für das Vorliegen einer Unstetigkeitsstelle angesehen: Sprünge, Pole und Lücken. Eine hebbare Unstetigkeitsstelle liegt genau dann vor, wenn eine Funktion in ihrem Verlauf eine Lücke hat, die behoben werden kann. Folgendes Beispiel demonstriert das Vorhandensein einer hebbaren Unstetigkeitsstelle: 6

63 Funktionen Beispiel f ( ) = ( )( ) ( ) Der Definitionsbereich der Funktion ist D = \{}. Die Funktion ist somit an der Stelle = nicht stetig. Da sowohl im Zähler als auch im Nenner der Ausdruck ( ) vorkommt, können wir den Bruch um genau diesen Term kürzen, solange gilt. Das bedeutet, dass die Graphen der gebrochen rationalen Funktion f () und der polynomialen (Ersatz-)Funktion g () = den gleichen Kurvenverlauf haben mit der einzigen Ausnahme, dass f () an der Stelle = nicht definiert ist, sondern eine hebbare Lücke hat. B Beispiel. Hebbare Unstetigkeitsstelle - Beispiel. y f() Lücke Das Verhalten der gebrochen rationalen Funktion im Umfeld der hebbaren Unstetigkeitsstelle können wir dadurch identifizieren, dass wir uns den Verlauf der Ersatzfunktionen g () an der entsprechenden Stelle anschauen. Alternativ zum Verlauf in Abbildung Hebbare Unstetigkeit kann die Ersatzfunktion an der hebbaren Unstetigkeitsstelle auch eine Null- oder Polstelle aufweisen, wie die folgenden beiden Beispiele verdeutlichen: Beispiel f ( ) = ( )( ) ( ) B Beispiel.3 Erneut ist die Funktion f () an der Stelle = unstetig. Die Ersatzfunktion, die wir durch Kürzen des Bruchs um den Term ( ) erhalten, lautet dieses Mal g() = ( ) ( ), womit g() an der Stelle = eine einfache Nullstelle hat. Der Graph der Funktion f () entspricht dieses Mal dem Graphen einer polynomialen Funktion zweiten Grades, der in der Abbildung Hebbare Unstetigkeitsstelle - Beispiel.3 dargestellt ist. 63

64 Lektion Hebbare Unstetigkeitsstelle - Beispiel.3 y f() Lücke B Beispiel.4 Beispiel f ( ) = ( )( ) ( ) Auch im Rahmen dieses Beispiels liegt an der Stelle = eine hebbare Unstetigkeitsstelle und es lässt sich durch Kürzen die Ersatzfunktion g( )= finden. Dieses Mal ist auch die Ersatzfunktion eine gebrochen rationale Funktion und an der Stelle = liegt eine ungerade Polstelle. Hebbare Unstetigkeitsstelle - Beispiel.4 y f() 64

65 Funktionen Wurzelfunktion Eine Funktion, die sich aus Kombination von Grundrechenarten und Radizieren ergibt, wird als Wurzelfunktion bezeichnet: p ( ) y = n n r( ) = n ( ) q mitq 0 m m ( ) Hinsichtlich des grundsätzlichen Verhaltens bezüglich Nullstellen, Polstellen und Asymptote gelten dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für gebrochen rationale Funktionen. Eine Besonderheit ist allerdings hinsichtlich des Definitionsbereichs zu beachten: Die Diskriminante, d. h. der Ausdruck unterhalb der Wurzel, darf für gerade Wurzeleponenten keine negativen Werte annehmen. Transzendente Funktionen Eponentialfunktionen Als Eponentialfunktion wird eine Funktion der Form y = f() = a für a > 0 bezeichnet. Dabei ist die unabhängige Variable während a konstant ist und als Basis bezeichnet wird. Eine Eponentialfunktion ist nur für positive Basen a > 0 definiert. Eponentialfunktionen werden häufig verwendet, wenn es um die Beschreibung von Wachstumsprozessen geht. Eine Eponentialfunktion, die dabei sehr häufig zur Anwendung kommt, ist die sogenannte e-funktion, d. h. eine Eponentialfunktion y = e zur Basis e. Die Basis e =,78883 ist auch als Eulersche Zahl bekannt. Nullstellen Da eine Eponentialfunktion der Form y = f() = a nur für Basen a > 0 definiert ist, eistiert kein Wert für, für den der Ausdruck a den Wert null annehmen würde. Eine Eponentialfunktion verfügt somit über keine Nullstellen. Graph und asymptotisches Verhalten Sämtlichen Eponentialfunktionen ist gemeinsam, dass ihr Graph die y-achse an der Stelle schneidet, da für sämtliche Basen a > 0 gilt, dass a⁰ = ist. Darüber hinaus kann man drei Fälle unterscheiden, die den grafischen Verlauf einer Eponentialfunktion charakterisieren: Fall : a > Eine Eponentialfunktion mit einer Basis a > ist im gesamten Definitionsbereich eine streng monoton steigende Funktion. Wenn gegen strebt, nähert sich der Graph -Achse an; strebt gegen +, dann strebt der Graph ebenfalls gegen +. 65

66 Lektion Eponentialfunktion y = a mit a > y Fall : a = Eine Eponentialfunktion mit der Basis a = verläuft parallel zur -Achse, da für jeden Wert von eins ergibt. Eponentialfunktion y = a mit a = Y X Fall 3: a < Eine Eponentialfunktion mit einer Basis a < ist im gesamten Definitionsbereich eine streng monoton fallende Funktion. Wenn gegen stebt, strebt der Graph gegen +. Strebt gegen +, dann nähert sich der Graph -Achse an. 66

67 Funktionen Eponentialfunktion y = a mit a < Y X Logarithmusfunktionen In Lernzyklus.3 hatten wir bereits festgestellt, dass für eineindeutige Funktionen immer eine Umkehrfunktion eistiert. Wenden wir diese Erkenntnis auf die, im vorherigen Kapitel besprochene Eponentialfunktionen an, so stellen wir fest, dass es sich bei der Eponentialfunktion um eine eineineindeutige Funktion handelt, solange a ist. Folglich eistiert für eine Eponentialfunktion eine Umkehrfunktion, als Ergebnis erhält man die Logarithmus-funktionen der Form und > 0. Mit a wird wie bei der Eponentialfunktion die Basis bezeichnet. Aus der Herleitung der Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktion der Eponentialfunktion folgt weiter, dass die Logarithmusfunktionen nur für > 0 definiert ist, da der Wertebereich der Ausgangsfunktion dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht und umkehrt. Der Graph der Logarithmusfunktionen ergibt sich, wenn man die Eponentialfunktion an den Winkelhalbierenden des ersten (rechts-oberen) und dritten (links-unteren) Quadranten spiegelt. Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Eponentialfunktion Y y = a y = log a X 67

68 Lektion Wie bereits erwähnt, ist die Basis e bei der Eponentialfunktion von besonderer Bedeutung. Dementsprechend kommt auch der Umkehrfunktion der e-funktion eine besondere Rolle zu. Der Logarithmus zur Basis e wird als natürlicher Logarithmus y = ln = log e bezeichnet. Eine weitere Basis, die neben der Basis e häufig verwendet wird, ist die Basis 0. Dieser Logarithmus wird auch dekadischer Logarithmus oder Zehnerlogarithmus genannt. Übliche Schreibweisen für den dekadischen Logarithmus sind lg, log oder log 0. Um mit Logarithmen zu rechnen, finden folgende Rechenregeln ihrer Anwendung: Speziell durch die letzte aufgeführte Rechenregel ist es möglich, jeden beliebigen Logarithmus zur Basis a entweder in den dekadischen oder natürlichen Logarithmus zu überführen. Dies ist hilfreich, um einen Logarithmus per Taschenrechner zu berechnen. Nullstellen Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Eponentialfunktion ist folgt zwangsläufig, dass jede Logarithmusfunktion ihren Nullstelle an der Stelle = hat. Aufgrund des Funktionsverlaufs kann es keine weiteren Nullstellen geben. Graph und asymptotisches Verhalten Wie bei der Eponentialfunktion kann man unterschiedliche Fälle bezüglich der Größenordnung der Basis a unterscheiden, die Einfluss auf den grundsätzlichen Verlauf der Logarithmusfunktionen haben. 68

69 Funktionen Fall : a > Der Verlauf des Funktionsgraphen ergibt sich als Umkehrfunktion zu Eponentialfunktion y = a mit a >. Daraus folgt, dass der Graph der zugehörigen Logarithmusfunktion streng monoton steigt, für Werte 0 < < negativ und für Werte > positiv ist. Logarithmusfunktion y = log mit a > a Y X Fall : 0 < a < Der Verlauf des Funktionsgraphen ergibt sich als Umkehrfunktion zu Eponentialfunktionen y = a mit 0 < a <. Daraus folgt, dass der Graph der zugehörigen Logarithmusfunktion streng monoton fällt, für Werte 0 < < positiv und für Werte > negativ ist. Logarithmusfunktion y = log mit a < a Y X Wie bereits erwähnt, ist die Logarithmusfunktion für die Basis a = nicht definiert. 69

70 Lektion? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Eine polynomiale Funktion. Grades, die eine Nullstelle für = hat und die gegen strebt, wenn ±. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen.. Finden Sie eine polynomiale Funktion 7. Grades, die Nullstellen an den Stellen 8, 3,, und 7 hat gegen strebt, wenn gegen strebt, wenn Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen. 3. Änderen Sie die Funktion von. derart ab, dass der Graph gegen + strebt, wenn. 70

71 Funktionen 4. Die Funktion = 0 hat einfache Nullstellen an den Stellen,, 0, und. Finden Sie die 6. Nullstelle. Antwort: 5. Skizzieren Sie grob den Verlauf der folgenden Graphen: a) f() = ( 4) ( + 9) 3 ( + 5) 5 ( 8) 4 b) f() = ( + ) 3 ( 4) 5 ( ) ( + 3) 6. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen mittels Polynomdivision: a) p() = Nullstellen: b) p() = Nullstellen: c) p() = Nullstellen: 7

72 Lektion 7. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) + = 0 b) = 0 Lösung: Lösung: c) y 6 7y 3 8 = 0 d) z ½ 5z ¼ + 6 = 0 Lösung: Lösung: e) f) = 0 Lösung: Lösung: g) = 0 h) = 0 Lösung: Lösung: i) a + 4a 5 = 0 Lösung: 3 8. Erstellen Sie eine polynomiale Funktion der Form p() = a + b + c + d die die folgenden Eigenschaften besitzt: p( ) = 6 p(0) = 3 p() = ¾ p() = 4 Lösung: 9. Finden Sie die Nullstellen der folgenden gebrochen rationalen Funktionen. Welchen Grad haben die Nullstellen? ( 3 + 4) a) r() = Nullstellen: Grad: 3+ b) r() = Nullstellen: Grad: 7

73 Funktionen c) d) 3 7 r() = Nullstellen: r() = Nullstellen: ( 3) ( ) ( 3) 4 Grad: Grad: 0. Finden Sie die Polstellen der folgenden gebrochen rationalen Funktionen. Sind die Polstellen gerade oder ungerade? a) r() = ( 3) ( ) Polstelle : o gerade o ungerade Polstelle : o gerade o ungerade b) ( + 4) r() = 4 0+ Polstelle : o gerade o ungerade Polstelle : o gerade o ungerade c) r() = + 9 Polstelle : o gerade o ungerade Polstelle : o gerade o ungerade. Bestimmen Sie die Asymptoten der folgenden gebrochen rationalen Funktionen a) r() = Lösung: b) ( + 3) r() = 3 + Lösung: 3 73

74 Lektion. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion, die folgende Eigenschaften aufweist: Nullstellen. Grades: = 8, =, 3 =, 4 = 6, 5 = 8 Gerade Polstellen: 6 = 9, 7 = 0, 8 = 7 Ungerade Polstelle: 9 = 3 Minimum: 0 = 7, = 4 Maimum: = 5, 3 = 3, 4 = 5 Asymptote: lim f() =,lim f() = Bestimmen Sie den Definitionsbereich der folgenden Wurzelfunktionen: 3 a) f() = + Definitionsbereich: b) f() = ( + ) Definitionsbereich: c) f() = Definitionsbereich: d) f() = 5 4 Definitionsbereich: 74

75 Funktionen 4. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) e e Lösung: b) ( 3 3 ) 3 Lösung: + c) ( e ) Lösung: d) log 3 9 Lösung: e) log + log Lösung: f) log y Lösung: g) log 3log y Lösung: 5. Skizzieren Sie den Verlauf der folgenden Eponentialfunktionen: 75

76 Lektion 6. Berechnen Sie für die folgenden Ausdrücke: a) log3 8 = = b) log,, = = c) log0,5 8= = d) log5 5= = e) log 3 9= = 3 3+ f) = = g) = 5 = 4 + = 9 = h) ( ) 7. Welche der folgenden Gleichungen sind wahr? u a) lnu = ln e o wahr o falsch 3 e b) 3+ nv = ln v o wahr o falsch uv c) lnu+ lnv lnw = ln o wahr o falsch w d) ln 3+ ln5= ln8 o wahr o falsch e) a+ b ln = ln a + lnb ln c o wahr o falsch c a+ b ln = ln a + b ln c o wahr o falsch c f) ( ) 8. Die Bevölkerung von Botswana wurde 989 auf, Millionen Einwohner geschätzt. Die jährlichen Wachstumsrate beträgt 3,4 %. Finden Sie eine Formel für die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt t, wenn t=0 für das Jahr 989 steht. Formel: Wie lange dauert es, bis sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat? Antwort: 76

77 Funktionen.5 Ausgewählte ökonomische Anwendungen Kostenfunktion Eine Kostenfunktion beschreibt die Gesamtkosten K () einer Unternehmung als Summe von Fikosten Kf () und variablen Kosten Kv(): K = K + K ( ) ( ) ( ) f Typische Verläufe einer Kostenfunktion sind: Linearer Verlauf: Die Kosten erhöhen sich proportional zur Produktionsmenge. Progressiver Verlauf: Mit steigender Produktionsmenge erhöhen sich die Kosten überproportional. Grund hierfür können beispielsweise Überstunden sein, die die Produktion verteuern. Degressiver Verlauf: Mit steigender Produktionsmenge flacht der Verlauf der Kostenfunktion ab, da beispielsweise durch Rationalisierung die Produktion günstiger wird. Fier Verlauf: Unabhängig von der Produktionsmenge bleiben die Kosten konstant. Sprungfier Verlauf: Für eine bestimmte Produktionsmenge verlaufen die Kosten konstant, steigen dann aber um einen fien Betrag, z. B. durch die Inbetriebnahme weiterer Maschinen. Stückkostenfunktion v Unter Stückkosten verstehen wir die durchschnittlichen Kosten pro Produktionseinheit. Die Stückkosten einer Unternehmung werden ermittelt, indem die Gesamtkosten durch die Produktionsmenge dividiert werden: K ( ) K f ( ) Kv ( ) k( ) = = + Preis-Absatz-Funktion Die Preis-Absatz-Funktion oder auch Nachfragefunktion beschreibt den mathematischen Zusammenhang zwischen der Nachfrage nach einem Gut und dessen Preis p. Typischerweise ergibt sich ein fallender Verlauf der Preis-Absatz-Funktion mit als unabhängiger und p() als abhängiger Variablen, d. h. mit steigender Angebotsmenge eines Gutes sinkt die Zahlungsbereitschaft der Konsumenten, während die Verknappung eines Gutes in der Regel mit steigenden Preisen einhergeht. Umsatzfunktion Die Umsatz- oder Erlösfunktion ermittelt den Umsatz U(), den eine Unternehmung bei einer Absatzmenge ihres Gutes erzielt. Die Umsatzfunktion ergibt sich aus dem Produkt von Preis- Absatz-Funktion und abgesetzter Menge : Gewinnfunktion U( ) = p( ) Der Gewinn einer Unternehmung ist positiv, wenn für eine bestimmte Absatzmenge der Verlauf der Umsatzfunktion oberhalb der Kostenfunktion liegt; andernfalls entstehen Verluste. 77

78 Lektion CLIX Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte Wissenskontrolle Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! 78

79 y y y = f() 0 + Lektion 3 Differenzialrechnung I Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie... das Prinzip der Differenz- und Differenzialquotienten verstanden haben. die unterschiedlichen Ableitungsregeln beherrschen. höhere Ableitungen bilden können. den Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Ableitungen verstehen.

80 Lektion 3 3. Differenzialrechnung I 3. Differenzen- und Differenzialquotient Der Differenzenquotient beschreibt das Verhältnis der Änderung der abhängigen Variablen y = y y bei Veränderungen der unabhängigen Variablen = : Δy Δ = y y = tanα = f ( + Δ ) f Δ Interpretieren wir den Verlauf des Graphen in Abbildung Verhältnis der Veränderung von y und beispielsweise als Gewinnfunktion in Abhängigkeit von der verkauften Menge, dann gibt der Differenzenquotient Δy Δ Auskunft über die durchschnittliche Steigerung des Gewinns pro zusätzlich verkaufter Produkteinheit. Die Steigung der Verbindungsgeraden zwischen den beiden Punkten auf der Funktion y = f() entspricht der durchschnittlichen Steigerung. Hieraus den Schluss zu ziehen, dass pro zusätzlich verkaufter Einheit der Gewinn immer in Höhe des Differenzenquotienten gesteigert werden kann, wäre jedoch falsch; diese Aussage gilt umso mehr, je größer, d. h. der Abstand zwischen ₁ und ₂ ist. Die Nutzung des Differenzenquotienten zur Abschätzung der Gewinnsteigerung pro zusätzlich verkaufte Einheit ist nur dann möglich und korrekt, wenn der Abstand zwischen ₁ und ₂ klein ist und gegen Null strebt. Als Konsequenz der Annäherung -> 0 verändert sich der Verlauf der Verbindungsgeraden (Sekante) zwischen den beiden Punkten. Diese nähert sich immer mehr dem Verlauf der Tangente im Ausgangspunkt an. Dieser Veränderungsprozess beschreibt den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten. Die entsprechende grafische Veränderung ist in Abbildung Übergang vom Differenz- zum Differenzialquotient wiedergegeben. Formal wird dieser Übergang wie folgt dargestellt: Δy lim Δ 0 Δ = lim f ( + Δ ) f ( ) = dy Δ 0 Δ d = f ( ) Verhältnis der Veränderung von y und y ( ) y y = f() y y α 80

81 Differenzialrechnung I Während der Differenzenquotient Δy Δ mit y und zwei Differenzen zueinander ins Verhältnis setzt, sprechen wir beim Grenzübergang -> 0 bzw. y -> 0 nicht mehr von einer Differenz, sondern von einem Differenzial; die Symbole dy bzw. d entsprechen den beiden Differenzialen. Dementsprechend wird der Quotient dy d Differenzialquotient genannt. Als Differenzieren bzw. Ableiten wird der Prozess bezeichnet, den Differenzialquotienten zu bilden und somit die Steigung der Tangente in dem entsprechenden Punkt zu bestimmen. Dabei ist f () die erste Ableitung von f(). Beispiel Für die Funktion y = ³ ist mittels des Grenzübergangs -> 0 der Differenzialquotient zu bestimmen, wofür der Grenzwert y = lim Δ 0 Δy Δ = lim Δ 0 f ( + Δ ) f Δ ( ) B Beispiel 3. gebildet werden muss. Dies bedeutet für y = ³: y = lim Δ 0 ( + Δ ) 3 3 = lim Δ 0 = lim Δ 0 Δ Δ + 3 Δ Δ ( ) + ( Δ ) 3 3 ( Δ + ( Δ ) ) = 3 Daraus folgt, dass die erste Ableitung y der Funktion y = ³ wie folgt lautet dy y = = 3 d Übergang vom Differenz- zum Differentialquotient y y y = f()

82 Lektion 3 Bitte merken Sie sich, dass man unter lim einen Grenzübergang verstehen kann, der sich daraus ergibt, dass d gegen Null strebt. Die Differenz zwischen und + wird also unendlich klein. 3. Differenzieren Prinzipiell können wir für jede Funktion zuerst den Differenzenquotienten bilden und dann über den Grenzübergang -> 0 versuchen, die entsprechende Ableitung zu ermitteln. Praktischerweise können wir uns diese Arbeit für die bereits vorgestellten Funktionen sparen, da für diese Funktionen allgemein gültige Ableitungsregeln eistieren. Auf das Führen entsprechender Beweise wird an dieser Stelle verzichtet. Elementare Grundformen Zunächst sehen wir uns allgemeine Regeln an, die bei der Ableitung elementarer Grundformen Verwendung finden: Potenzfunktion: Wurzelfunktion: Eponentialfunktion: Logarithmusfunktion: B Beispiel 3. Beispiel Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: Potenzfunktion: Wurzelfunktion: Eponentialfunktion: Logarithmusfunktion: 8

83 Differenzialrechnung I Zusammengesetzte Funktionen Unter einer zusammengesetzten Funktion verstehen wir einen Ausdruck, der entweder aus einer Summe oder Differenz, einem Produkt oder Quotienten oder aus einer zusammengesetzten Funktion der Form y = f(g()) gebildet wird. Für diese zusammengesetzten Funktionen gelten ebenfalls spezifische Ableitungsregeln. Konstanter-Faktor-Regel Ein konstanter Faktor a bleibt beim Differenzieren erhalten: y = a f() -> y = a f () Beachten Sie, dass die Ableitung einer konstanten Funktion Null ergibt: Y = a -> y = 0 Beispiel Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen: B Beispiel 3.3 Summen- und Differenzregel Die Ableitung einer Summe oder Differenz zweier differenzierbarer Funktionen f() und g() entspricht der Summe ihrer Ableitungen f () und g (). Beispiel Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen: B Beispiel 3.4 Produktregel Das Produkt zweier Funktionen f() und g() wird nach der Produktregel differenziert: y = f() g() -> y = f () g() + g () f() Beispiel Bilden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion: y = f() g() = ³ In B Beispiel

84 Lektion 3 Quotientenregel Der Quotient zweier Funktionen f() und g() wird nach der Quotientenregel differenziert: B Beispiel Bilden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion: Beispiel 3.6 Kettenregel Eine zusammengesetzte Funktion der Form y = f(g()) wird unter Verwendung der Kettenregel differenziert. Dabei wird z = g() als innere Funktion bezeichnet, während f(z) die äußere Funktion darstellt. Eine zusammengesetzte Funktion wird differenziert, indem wir die äußere Abteilung mit der inneren Ableitung multiplizieren: B Beispiel Bilden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion: Beispiel 3.7 y = 5 5 = ( 5 5) 84

85 Differenzialrechnung I 3.3 Höhere Ableitungen Bilden wir für die Funktion y = f() die erste Ableitung, so erhalten wir in vielen Fällen wieder eine Funktion y = f (), die eine Funktion der unabhängigen Variablen darstellt und die sich erneut differenzieren lässt. Wir erhalten in diesem Fall die zweite Ableitung f (). Formal schreiben wir: Entsprechend den obigen Überlegungen lassen sich auch die nächsthöheren Ableitungen bestimmen: Beispiel Bilden Sie sämtliche Ableitungen des Polynoms f() = 3⁴. B Beispiel Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung Speziell der ersten und zweiten Ableitung kommt bei der Analyse einer Funktion eine besondere Bedeutung zu. Wie Sie schon wissen: Wir können für eine Funktion y = f() mittels der ersten Ableitung die Steigung in einem Punkt ₀ bestimmen. Hieraus können wir erkennen, ob eine Funktion monoton steigend (f (₀) > =0) oder monoton fallend (f (₀) =< 0) verläuft. Anhand der zweiten Ableitung können wir Details über die Art der Monotonie ableiten. Da die zweite Ableitung Informationen über die Steigung des Graphen der ersten Ableitung liefert, können wir anhand der zweiten Ableitung Rückschlüsse auf das Krümmungsverhalten einer Funktion ziehen und ermitteln, ob eine progressive oder degressive Monotonie vorliegt. Der Graph in Abbildung Verlauf der ersten Ableitung verläuft im Intervall (,) und (3; ) jeweils (streng) monoton steigend; die erste Ableitung ist in beiden Intervallen entsprechend positiv. Im Intervall (,3) hingegen ist die Funktion (streng) monoton fallend; die erste Ableitung ist negativ. 85

86 Lektion 3 Verlauf der ersten Ableitung y f '() f() 3 In der folgenden Abbildung ist zusätzlich zum Verlauf der ersten Ableitung auch die zweite Ableitung eingezeichnet. Im Intervall (, ) ist die Steigung von f () negativ; dementsprechend ist f () < 0. Im Intervall (, ) hingegen ist die Steigung von f () positiv, weshalb f () > 0 gilt. Anhand des Graphen in Abbildung Verlauf der zweiten Ableitung können wir sehen, dass sich an der Stelle = das Krümmungsverhalten der Funktion f() ändert und sie von einer konkaven oder Rechtskrümmung in eine konvee oder Linkskrümmung übergeht (Wendepunkt). Verlauf der zweiten Ableitung y f''() f '() f() 3 86

87 Differenzialrechnung I Berücksichtigen wir nun mögliche Verläufe der ersten und zweiten Ableitungen, so ergeben sich insgesamt vier mögliche Werteausprägungen an einer bestimmten Stelle ₀: f () > 0 und f () > 0: f() ist (streng) monoton steigend und konve gekrümmt. f () > 0 und f () < 0: f() ist (streng) monoton steigend und konkav gekrümmt. f () < 0 und f () > 0: f() ist (streng) monoton fallend und konve gekrümmt. f () < 0 und f () < 0: f() ist (streng) monoton fallend und konkav gekrümmt. Fragen zur Selbstkontrolle. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen: a) y = b) y = Lösung: Lösung: c) y = 3 d) y = a b? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Lösung: Lösung: e) y = ( 3 4 ) Lösung:. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel: a) f() = ( )( ln 4) b) f() = ( a b) ( c ) Lösung: Lösung: c) f() = ( 3)( + )( + ) d) f() = e ( 5 3) Lösung: Lösung: e) = ( + ) f() 4 Lösung: 87

88 Lektion 3 3. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der Quotientenregel: 4 ln a) f() = b) f() = + 5 Lösung: Lösung: a + b c) f() = c + d Lösung: d) Lösung: 4. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der Kettenregel: ln a) = ( + 4 f() e ) Lösung: 3 b) f() = Lösung: c) f() = e Lösung: d) f() = ( a + b) 4 Lösung: e) f() = ln( 4 + ) Lösung: 5. Gegeben ist die Funktion 4 3 f() = a b + c ln Bestimmen Sie die Werte der Parameter a,b und c, so dass gilt: 87 f'() =,f''() = 49,f'''( ) = 30 a: b: c: 6. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a) ( )= ( f e ) b) Lösung: Lösung: 88

89 Differenzialrechnung I c) f( )= Lösung: ln d) f( )= 4 Lösung: e) f( )= 3 ( 6) f) f( )= ln3 ( ) Lösung: Lösung: 7. Bestimmen Sie für a) und b) alle Ableitungen und für c) bis e) die ersten zwei: 3 a) f( )= b) f( )= Lösung: Lösung: c) f( )= ( ) d) f( )= e Lösung: Lösung: e) f( )= ln( ) Lösung: 8. Skizzieren Sie für die Funktion f() = = ( ) ( 4)( + ) die Graphen der Funktionen. 89

90 Lektion 3 9. Bestimmen Sie die Steigung und die Krümmung an den Stellen = 0 und = : a) f( )= = 0 Steigung: = Steigung: + Krümmung: Krümmung: b) f( )= e ( + ) = 0 Steigung: = Steigung: Krümmung: Krümmung: c) f( ) = ( 4) 5 = 0 Steigung: = Steigung: Krümmung: Krümmung: 0. Finden Sie die Gleichung der Tangente an dem angegebenen Punkt: a) y = 3 an der Stelle = Lösung: b) y = an der Stelle = 4 Lösung: c) y = + 3 Lösung: 3 an der Stelle =. Bestimmen Sie für die Funktion a f() = + b + c die Werte der Parameter a, b und c, die sicherstellen, dass f() eine Polstelle an der Stelle =, eine Nullstelle an der Stelle = und eine Asymptote der Form g() = hat. a: b: c: 90

91 Differenzialrechnung I Wissenskontrolle Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! CLIX Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte 9

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93 p() U() C U() K() p 0 Cournot Punkt p c k f p() U'() K'() C Lektion 4 Differenzialrechnung II: Anwendungen Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... was das ökonomische Konzept der Marginalanalyse ist. wie Sie Nullstellen, Polstellen, Etremwerte und Wendepunkte bestimmen können. wie Sie ökonomische Prinzipien, z. B. Gewinn- und Umsatzmaimierung, für eine optimale Lösungsfindung einsetzen.

94 Lektion 4 4. Differenzialrechnung II: Anwendungen 4. Marginalanalyse In Lektion über ausgewählte ökonomische Funktionen wurden bereits eine Reihe ökonomischer Funktionen vorgestellt, die wichtige Kennzahlen für die Steuerung einer Unternehmung bereitstellen, z. B. Kosten, Umsatz und Gewinn. Im Rahmen ökonomischer Betrachtungen ist es oftmals von Interesse zu ermitteln, welche Auswirkung eine Änderung der Produktionsmenge auf diese Kennzahlen hat. Hierfür wird im Rahmen einer Grenzbetrachtung oder auch Marginalanalyse untersucht, welche Kosten-, Umsatz- oder Gewinnänderung sich ergibt, wenn die Produktionsmenge marginal verändert wird. Das bedeutet im Zusammenhang mit der Produktionsplanung typischerweise eine Änderung um eine Einheit. Die Ermittlung der wertmäßigen Änderung der abhängigen Variablen bei marginaler Veränderung der unabhängigen Variablen entspricht letztendlich dem Übergang vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten. Folglich lassen sich die oben erwähnten Grenzbetrachtungen bestimmen, indem wir für die zu untersuchenden Funktionen die erste Ableitung bilden. Auf diese Weise erhalten wir Funktionen, die z. B. Grenzkosten, Grenzumsatz oder Grenzgewinn betrachten: Grenzkosten: Grenzerlös: Grenzgewinn: Wenn bei einer anstehenden Entscheidung über die Ausweitung der Produktionsmenge die Grenzerlöse größer als die Grenzkosten sind, so bedeutet dies, dass der durch eine zusätzliche Produktionseinheit ausgelöste Umsatz höher ist als die dadurch verursachten Kosten; der Grenzgewinn ist folglich positiv. Im umgekehrten Fall wird sich die Ausweitung der Produktionsmenge nicht lohnen, da die Produktionskosten für eine weitere Einheit größer sind als der realisierte Umsatz; der Grenzgewinn ist negativ. 4. Kurvendiskussion Mittels einer Kurvendiskussion ist es möglich, individuelle Eigenschaften einer Funktion zu analysieren, z. B. Lage der Nullstellen, Etrema oder Wachstumsverhalten. Auch wenn es in der Prais eher selten vorkommt, dass wir eine Funktion mittels des im Folgenden vorgestellten prozessualen Ablaufs analysieren, so kommt es doch vor, dass einzelne Eigenschaften relevant sind. Anhand der Betrachtung von Grenzkosten und Grenzerlösen konnten wir bereits sehen, dass sich in bestimmten Konstellationen die Ausweitung der Produktion mehr lohnt, um den Gewinn zu steigern. Eine solche Betrachtung kann beispielsweise durch eine Bestimmung der Etremwerte ergänzt werden, um das Gewinnoptimum zu finden. Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus folgenden Schritten: Schritt : Bestimmung des Definitionsbereichs Ist die Funktion f() für die gesamte Menge der reellen Zahlen R definiert oder müssen bestimmte Werte von ausgeschlossen werden? 94

95 Differenzialrechnung II: Anwendungen Es müssen die Werte für die unabhängige Variable bestimmt werden, für die f() nicht definiert ist und/oder diejenigen Wertebereiche ausgeschlossen werden, wenn diese für eine bestimmte Funktion keinen Sinn ergeben. Für viele ökonomische Anwendungen ergibt sich z.b. ein Definitionsbereich, der nur positive Werte umfasst. Schritt : Bestimmung der Nullstellen Wo befinden sich die Nullstellen der Funktion f()? Die Nullstellen lassen sich ermitteln, indem wir f() = 0 setzen und nach auflösen. Hieraus ergeben sich die Nullstellen an den Stellen (₁, ₂, n) Schritt 3: Bestimmung der Stetigkeit Ist die Funktion f() im gesamten Definitionsbereich stetig oder eistieren Unstetigkeitsstellen? Für Werte von, an denen f() nicht definiert ist, stellt sich die Frage, wie sich die Funktion in deren Nachbarschaft verhält. Hierfür muss als Erstes die Art der Unstetigkeit identifiziert werden, d. h. handelt es sich um Lücken, Pole oder Sprünge, um dann im nächsten Schritt das Verhalten zu untersuchen. Schritt 4: Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung Wie lautet die erste und zweite Ableitung der Funktion f(), damit Details über die Steigung und das Krümmungsverhalten ermittelt werden können? Unter Verwendung der Ableitungsregeln ist die Funktion f () zu bilden. Abhängig davon, welchen Wert f () an einer bestimmten Stelle annimmt, können wir folgende Fälle unterscheiden: f () > 0: Steigung an der Stelle ist positiv. f () < 0: Steigung an der Stelle ist negativ. f () = 0: Steigung ist Null. Potentielle Kandidaten für Etrema y y y 0 Die Stellen für, an denen die Steigung Null ist, sind potentielle Kandidaten für Etrema, wie wir anhand von Abbildung Potentielle Kandidaten für Etrema sehen. Allerdings zeigt diese Abbildung auch, dass wir nicht automatisch auf ein Etremem sowie die Art des Etremwertes schließen können. ₀ repräsentiert ein Maimum. ₁ repräsentiert ein Minimum. ₂ ist weder Minimum noch Maimum. 95

96 Lektion 4 Da an allein drei Stellen ₀, ₁ und ₂ die Steigung Null ist, stellt die Bedingung f () = 0 eine notwendige Bedingung für die Eistenz eines Etremwertes dar; allerdings muss im nächsten Schritt weiter überprüft werden, ob überhaupt die Etremum vorliegt und ggf. welches. Schritt 5: Ermittlung von Etrema Wie wir im vorherigen Schritt besprochen haben, ist f () = 0 eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Eistenz eines Etremwertes. Für potentielle Kandidaten, die die Bedingung f () = 0 erfüllen, muss im Folgenden geprüft werden, ob sie die Voraussetzung für ein Maimum oder Minimum erfüllen. Hierzu müssen wir uns das Krümmungsverhalten an der zu untersuchenden Stelle anschauen. Wie wir an der Stelle ₀ in Abbildung Potentielle Kandidaten für Etrema sehen können, ist die Kurve konkav gekrümmt, während sie an der Stelle ₁ eine konvee Krümmung aufweist. An der Stelle ₂ hingegen ändert sich das Krümmungsverhalten von konkav und konve: Es liegt ein Wendepunkt vor. Für die Untersuchung der hinreichenden Bedingung eines Etremums müssen wir uns folglich das Krümmungsverhalten, d. h. die zweite Ableitung einer Funktion anschauen. Dabei können folgende Rückschlüsse gezogen werden: f () = 0 und f () < 0: Maimum an der Stelle. f () = 0 und f () > 0: Minimum an der Stelle. f () = 0 und f () = 0: Keine Aussage möglich; eine weiterführende Untersuchung ist nötig. Schritt 6: Ermittlung von Wendepunkten An einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten einer Funktion von konkav zu konve oder umgekehrt. Da bei konkaver Krümmung f () < 0 und bei konveer Krümmung f () > 0 gilt, ist die notwendige Bedingung für die Eistenz eines Wendepunktes folglich f () = 0, d. h. wir müssen die Nullstellen der zweiten Ableitung finden. Um sicherzustellen, dass sich die Krümmung an der betrachteten Stelle tatsächlich ändert, müssen wir auch für die Eistenz eines Wendepunktes dieser hinreichenden Bedingung überprüfen. Hierfür ist es notwendig, die Art der Nullstelle zu ermitteln. In Abbildung Schneidende und berührende Nullstellen wurden bereits die beiden grundsätzlichen Verhaltensweisen hinsichtlich des Graphenverlaufs vorgestellt: Entweder schneidet oder berührt der Graph die -Achse an einer Nullstelle. Für die Eistenz eines Wendepunktes, d. h. die Änderung des Krümmungsverhaltens, ist es elementar, dass die zweite Ableitung eine Nullstelle aufweist, welche die -Achse schneidet, da sich bei einer berührenden Nullstelle das Krümmungsverhalten nicht ändern würde. Die beiden Stellen ₁ und ₂ in den folgenden beiden Abbildungen erfüllen beide die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt. Allerdings ändert sich das Krümmungsverhalten nur an der Stelle ₁, nicht aber an der Stelle ₂, da es sich um eine berührende Nullstelle handelt. Um die hinreichende Bedingung für Eistenz einer Nullstelle zu überprüfen, müssen wir folglich die Steigung des Graphen der zweiten Ableitung an der zu untersuchenden Stelle bestimmen. Ist die Steigung ungleich Null, handelt es sich um eine Nullstelle; ist die Steigung gleich Null, ist keine Aussage möglich und weitere Untersuchungen sind erforderlich. 96

97 Differenzialrechnung II: Anwendungen Potentielle Kandidaten für Wendepunkt y f''() f() Potentielle Kandidaten für Wendepunkt y f() f''() Wir fassen zusammen: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f () = 0 und f () 0 gilt. 97

98 Lektion 4 B Beispiel 4. Beispiel Untersuchen Sie folgende gebrochen rationale Funktion: f ( )= + = 8 8 Vorbereitungen Nullstellen des Zählers Nullstellen des Nenners ³ + 8 = 0 ³ = 8 ₁ = 8 = 0 ₂ = 0 Definitionsbereich D = \{0} Nullstellen von f() ₁ = Es handelt sich um eine Nullstelle dritten Grades, d. h. der Graph schneidet die -Achse an der Stelle ₁. Polstelle von f() ₂ = 0 Da die Nullstelle des Nenners ungerade ist, liegt eine ungerade Polstelle an der Stelle ₂ vor. Asymptote von f() Für die Funktion f ( )= + 8 strebt der Ausdruck gegen Null, wenn ± strebt. Es verbleibt in diesem Fall der Ausdruck, der die Asymptote darstellt: 8 g( )= 8 Etremwerte von f() Für die Identifikation der Etrema muss zuerst die notwendige Bedingung f () = 0 überprüft werden: 98

99 Differenzialrechnung II: Anwendungen Um zu überprüfen, ob an der Stelle ₃ ein Etremum vorliegt, muss im nächsten Schritt das Krümmungsverhalten an dieser Stelle betrachtet werden. Da f (₃) > 0 ist die Funktion f() an der Stelle ₃ konve gekrümmt. Damit sind für die 3 Stelle = 4 die notwendige und die hinreichende Bedingung für ein Minimum erfüllt. 3 Wendepunkt von f() Die notwendige Bedingung für die Eistenz eines Wendepunktes ist f () = 0. Die hinreichende Bedingung ist erfüllt, wenn f (₄) 0 gilt. 3 Aufgrund von f ( ) f ( = ) = - 8 Stelle ₄ = erfüllt. ist die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt an der 99

100 Lektion 4 Mittels der gewonnenen Informationen kann der Verlauf des Graphs nun skizziert werden; den Verlauf sehen Sie in folgender Abbildung. Graph der Funktion f() - Beispiel 4. Asymptote: g() = ² Wendepunkt bei 4 = Nullstelle für = Minimum für = Ungerade Polstelle bei = 0? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Finden Sie die Etremwerte der folgenden Funktionen und zeigen Sie, ob es sich um ein Maimum oder Minimum handelt: a) o Minimum o Maimum b) o Minimum o Maimum c) o Minimum o Maimum y = 5+ 3 d) ( ) 4 o Minimum o Maimum e) o Minimum o Maimum 00

101 Differenzialrechnung II: Anwendungen. Analysieren Sie die folgenden Funktionen hinsichtlich Definitionsbereich Nullstellen und nenne den Grad der Nullstelle an Polstellen und spezifiziere, ob die Polstelle gerade oder ungerade ist hebbare Unstetigkeitsstellen Asymptote Skizzieren Sie anschließend den Graph. Falls eine hebbare Unstetigkeitsstelle eistiert sollte zuerst die Ersatzfunktion gebildet werden und anschließend diese analysiert werden. a) y = ( + ) ( ) Definitionsbereich: Nullstellen: Grad: o gerade o ungerade Polstellen: o gerade o ungerade hebbare Unstetigkeitsstellen: Asymptote: 0

102 Lektion 4 b) Definitionsbereich: Nullstellen: Grad: o gerade o ungerade Polstellen: o gerade o ungerade hebbare Unstetigkeitsstellen: Asymptote: 0

103 Differenzialrechnung II: Anwendungen c) Definitionsbereich: Nullstellen: Grad: o gerade o ungerade Polstellen: o gerade o ungerade hebbare Unstetigkeitsstellen: Asymptote: 03

104 Lektion 4 d) Definitionsbereich: Nullstellen: Grad: o gerade o ungerade Polstellen: o gerade o ungerade hebbare Unstetigkeitsstellen: Asymptote: 4.3 Cournot-Punkt Der Cournot-Punkt ist nach dem französischen Mathematiker Antoine Augustin Cournot (80 877) benannt und beschreibt für ein Monopolunternehmen, welche Absatzmengen zum Gewinnmaimum führen. Ausgangspunkt für die Bestimmung des Cournot-Punktes ist die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten, die den Zusammenhang zwischen Preis und abgesetzter Menge beschreibt. Der Einfachheit halber wird im Folgenden mit einer linearen Preis-Absatz-Funktion der Form p() = p₀ c gearbeitet, deren Verlauf Sie in der folgenden Abbildung sehen. 04

105 Differenzialrechnung II: Anwendungen Preis-Absatz-Funktion Preis von p p( ) 0 p( ) p() Absatzmenge Durch die Monopolsituation ist der Monopolist in der Lage, über die angebotene Menge und damit auch über den Marktpreis zu entscheiden. Mittels der gegebenen Preis-Absatz-Funktion ist es im nächsten Schritt möglich, die Kombination aus Absatzmengen und Preis zu identifizieren, die den Erlös des Monopolisten maimiert. Hierfür muss als erstes die Erlösfunktion erstellt werden, die sich aus dem Produkt von Preis und Menge ergibt. Durch Einsetzen der Formel für die Preis-Absatz-Funktion erhalten wir folgende Erlösfunktion: ( ) ( ) ( ) U = p = p c = p c 0 0 Erlösfunktion p() U() M U() p 0 p() U'() M 05

106 Lektion 4 Die Erlösfunktion hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Um das Erlösmaimum M zu finden, benötigen wir die erste Ableitung der Erlösfunktion, d. h. die sogenannte Grenzerlösfunktion: Die Grenzerlösfunktion schneidet die Ordinate in demselben Punkt wie die Erlösfunktion, allerdings verläuft die Grenzerlösfunktion doppelt so steil wie die Erlösfunktion. Um das Erlösmaimum zu finden, benötigen wir den Punkt, an dem die erste Ableitung der Erlösfunktion U () = 0 ist. Dies ist an der Stelle m gegeben. Ein Unternehmer ist allerdings nicht notwendigerweise an der Maimierung seiner Erlöse interessiert, sondern vielmehr an der Maimierung seines Gewinnes. Die ökonomische Definition von Gewinn ist Erlös minus Kosten: Im Folgenden soll eemplarisch mit folgender Kostenfunktion gearbeitet werden: K ( )= kf + d Durch Hinzufügen der Kostenfunktion in Abbildung Cournot-Punkt können wir direkt das Produktionsintervall identifizieren, in welchem der Monopolist profitabel ist. Es entspricht dem Intervall, das in Abbildung Cournot-Punkt durch die schraffierte Fläche gekennzeichnet ist; in diesem Intervall sind die erzielten Erlöse größer als die anfallenden Kosten. Außerhalb dieses Intervalls hingegen übersteigen die Kosten die Erlöse, womit eine entsprechende Produktionsmenge unprofitabel ist. Cournot-Punkt G( ) = U( ) K ( ) p() U() C U() K() p 0 Cournot Punkt p c k f p() U'() K'() C Um das Gewinnmaimum zu finden, muss nun diejenige Produktionsmenge identifiziert werden, für die der Abstand zwischen Erlös- und Kostenfunktion innerhalb des schraffierten Bereiches am größten ist. Dies ist im Punkt C der Fall, der dadurch charakterisiert ist, dass in diesem Punkt die Steigung der Kosten- als auch der Erlösfunktionen identisch sind; es gilt 06

107 Differenzialrechnung II: Anwendungen somit U () = K (). Diese Bedingung erhalten wir ebenfalls, wenn wir das Verfahren zur Ermittlung von Etremwerten anwenden. Hiernach ist die notwendige Bedingung für die Eistenz des Gewinnmaimums, dass die erste Ableitung im Optimum gleich Null sein muss: In Abbildung Cournot-Punkt ist das Gewinnmaimum folglich an der Stelle c erreicht. Der zugehörige Preis pc, den wir anhand der Preis-Absatz-Funktion identifizieren, beschreibt den zugehörigen Preis, der zusammen mit der Menge c den Gewinn maimiert. Dabei wird der Punkt (c; pc) als Cournot-Punkt bezeichnet. Die eben beschriebene Vorgehensweise gilt nicht nur für lineare Preis-Absatz-Funktionen bzw. lineare Kostenfunktionen. Abbildung Cournot-Punkt bei nicht-linearer Kostenfunktion zeigt eemplarisch die Ermittlung Cournot-Punktes bei gegebener nicht linearer Kostenfunktion. Cournot-Punkt bei nicht-linearer Kostenfunktion p() U() K() C K() U() p 0 Cournot Punkt p c U'() p() k f C K'() Beispiel Die Nachfragefunktion nach dem Produkt eines Monopolisten ist und der Monopolist hat die Kostenfunktion p() = 00 4 K() = ³ ² Gesucht sind der Preis popt und die Nachfragemenge opt, mit denen der Monopolist den maimalen Gewinn erzielt. Wie hoch ist der maimale Gewinn? B Beispiel 4. 07

108 Lektion 4 Ausgehend von der Nachfragefunktion lässt sich die Erlösfunktion des Monopolisten bestimmen: U( ) = p( ) = ( 00 4) = 00 4 Die Grenzerlös- und die Grenzkostenfunktion sehen wie folgt aus: U () = 00 8 K () = 3² Der Monopolist erzielt den maimalen Gewinn, wenn U () = K (): Da =,6 keine ökonomisch sinnvolle Lösung ist, beträgt die optimale Nachfragemenge opt = 7. Durch Einsetzen dieser Nachfrage in die Nachfragefunktion lässt sich der gewinnoptimale Preis bestimmen. p( ) = 00 4 p( 7) = p = 7 Der Gewinn des Monopolisten beträgt: opt ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( 7) = 54 G U K 3 ( 00 4 ) ( 65 40) G = + + G = G? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p() = 40 und die Kostenfunktion K() = eines Monopolisten. Finden Sie den Preis, der den Gewinn maimiert. Wie hoch ist der maimale Gewinn? Preis: Gewinn:. Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p() = 4 und die Grenzkostenfunktion K () = eines Monopolisten. Finden Sie den Preis, der den Gewinn maimiert. Preis: Gewinn: 08

109 Differenzialrechnung II: Anwendungen 3. Die Preis-Absatz-Funktion p() = + 00 sowie die variablen Kosten K v () als auch die Fikosten K f () eines Monopolisten sind gegeben: 8000 K ( )= Kf ( )= 9 v 9 a) Bei welcher Produktionsmenge ist der Umsatz gleich Null? Lösung: b) Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn gleich Null? Lösung: 4. Die Kosten eines Strommonopolisten für die Herstellung von Strom sind K() = ( wird in 000 kwh gemessen). Der Preis pro kwh hängt ab von der Stromnachfrage gemäß p() = b a. Aus Erfahrung weiß der Monopolist, dass die gewinnmaimale Menge opt = 50 beträgt mit einem Gewinn von Bestimmen Sie die zugehörigen Parameterwerte a und b der Preis-Absatz-Funktion. a: b: Wissenskontrolle Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! CLIX Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte 09

110

111 A z y Lektion 5 Multivariate Funktionen Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... was das Prinzip der partiellen Ableitungen ist und diese bestimmen können. wie Sie Etremwerte einer multivariaten Funktion ohne Nebenbedingungen bestimmen. wie Sie Etremwerte einer multivariaten Funktion unter Berücksichtigung einer Nebenbedingung bestimmen.

112 Lektion 5 5. Multivariate Funktionen 5. Lineare und nicht lineare multivariate Funktionen Im Rahmen der bisherigen Betrachtungen haben wir überwiegend univariate Funktionen der Form y = f() besprochen, d. h. Funktionen mit einer unabhängigen Variablen. Im Rahmen wirtschaftswissenschaftlicher Anwendungen stellt diese Gruppe von Funktionen allerdings eher eine Minderheit dar. Üblich sind Funktionen, die mehrere unabhängige Variablen ₁, ₂, ₃, n aufweisen, sogenannte multivariate Funktionen y = f(₁, ₂, ₃, n). Typische multivariate Funktionen sind beispielsweise: Die Kostenfunktionen eines Unternehmens, das mehrere Produkte herstellt. Die Erlösfunktion eines Autohändlers, der mehrere Modelle vertreibt. Der Endwert einer Investition, der sich anhand des Zinssatzes und der Laufzeit berechnet. Wir sprechen von einer linearen multivariaten Funktion, wenn eine Funktion der Form n y = a + b i= gegeben ist. Auf der anderen Seite sprechen wir von einer nicht linearen multivariaten Funktion, wenn entweder der Eponent mindestens einer unabhängigen Variablen größer Eins ist oder andere nicht lineare Ausdrücke verwendet werden. i i B Beispiel 5. Beispiel Die Funktion y = f(₁ ₂) = ₁ + ₂ + 0 ist eine lineare multivariate Funktion. Da sie zwei unabhängige Variablen ₁ und ₂ beinhaltet, wird sie auch als bivariat bezeichnet. Der Vorteil einer solchen bivariaten Funktion ist, dass sie grafisch noch darstellbar ist. Die Abbildung veranschaulicht den Verlauf. Lineare multivariate Funktion - Beispiel

113 Multivariate Funktionen Beispiel Die Funktion z = ² y² repräsentiert eine nicht lineare multivariate Funktion. Der Funktionsverlauf ist in der folgenden Abbildung dargestellt. B Beispiel 5. Nicht-lineare multivariate Funktion - Beispiel Wie im univariaten Fall lassen sich für multivariate Funktionen eine Reihe grundlegender Eigenschaften identifizieren. Nullstellen Als Nullstelle werden diejenigen Wertkombinationen der unabhängigen Variablen bezeichnet, für die gilt y = f(₁, ₂, ₃,, n) = 0. Etrema Ein Etremwert stellt auch für multivariate Funktionen einen Punkt auf dem Graphen dar, der innerhalb eines betrachteten Intervalls entweder den höchsten oder tiefsten Punkt dieser Umgebung repräsentiert. Im Fall von bivariaten Funktionen entspricht die grafische Visualisierung eines Etremums, beispielsweise einem Tal oder einer Bergspitze. Steigung Auch für multivariate Funktionen lassen sich Aussagen über deren Steigung treffen. Allerdings müssen wir im Unterschied zu univariaten Funktionen eine Richtung angeben, in der wir die Steigung ermitteln wollen. Wir können die Bestimmung der Steigung für bivariate Funktionen mit einer Wanderung in Gebirge vergleichen. Abhängig davon, ob wir bergauf, bergab oder quer zum Berg laufen, ist die Steigung unterschiedlich. 3

114 Lektion 5 Krümmung Wir haben bereits die Krümmung als eine Eigenschaft einer Funktion besprochen; sie beschreibt, ob eine Funktion in einem bestimmten Intervall konve oder konkav gekrümmt ist. Dasselbe Konzept können wir auf multivariate Funktionen übertragen: Wir sprechen von einer konkaven Krümmung, wenn die Verbindungslinien zwischen beliebigen Punkten auf dem Graphen durchgängig unterhalb des Graphen verlaufen. Die Bedingung für eine konvee Krümmung ist analog mit dem einzigen Unterschied, dass die Verbindungslinien durchgängig oberhalb des Graphen verlaufen. 5. Partielle Ableitungen Auch multivariate Funktionen lassen sich ableiten. Da bei einer multivariaten Funktion eine Veränderung der anhängigen Variablen durch Veränderung jeder einzelnen unabhängigen Variablen erreicht werden kann, müssen wir bei der Untersuchung der Steigung die unterschiedlichen Änderungsmöglichkeiten berücksichtigen. Für eine Funktion der Form z = f(,y) bedeutet das, dass wir das Änderungsverhalten sowohl in - als auch in y-richtung betrachten müssen. Die Ermittlung der Veränderung der abhängigen Variablen bei infinitesimaler Veränderung der Variablen oder y wird dabei als partielle Ableitung bezeichnet. Das Bilden partieller Ableitungen für eine multivariate Funktion der Form y = f(₁, ₂, ₃,, n) bedeutet im Einzelnen, dass insgesamt n partielle Ableitungen gebildet werden müssen jeweils eine pro unabhängiger Variable; die restlichen Variablen werden für das Erstellen einer partiellen Ableitung als Konstanten behandelt: Die Funktion y = f(₁, ₂, ₃,, n) besitzt folgende partielle Ableitungen: Erste partielle Ableitung nach Erste partielle Ableitung nach B Erste partielle Ableitung nach Beispiel Bilden Sie für die Funktion z = f, y 5 = 4 y + y sämtliche ersten Ableitungen. Beispiel 5.3 ( ) Für die erste partielle Ableitung nach der Variablen wird die Variable y als Konstante behandelt und z nach differenziert: 4

115 Multivariate Funktionen Für die erste partielle Ableitung nach der Variablen y wird die Variable als Konstante behandelt und z nach y differenziert: Etremwerte multivariater Funktionen

116 Lektion 5? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Bilden Sie alle erste partielle Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f(,y) = ( 3y)( ) Lösung: b) Lösung: c) Lösung: d) Lösung: e) Lösung:. Bilden Sie alle erste und zweite partielle Ableitungen der folgenden Funktion: Erste partielle Ableitungen: Zweite partielle Ableitungen: 3. Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf die Eistenz von Etrema und zeigen Sie, ob es sich um ein Maimum oder Minimum handelt: a) f(,y) = 3 + y 3 y Etrema: o Minimum o Maimum 6

117 Multivariate Funktionen b) f(,y) = ln( + y) y Etrema: o Minimum o Maimum 5.3 Etremwertbestimmung Mittels der partiellen Ableitungen können wir im nächsten Schritt die notwendige Bedingung für die Eistenz eines Etremums untersuchen. Wie wir an Abbildung Maimum einer bivariaten Funktion sehen können, ist die notwendige Bedingung für die Eistenz eines Maimums die Steigung sowohl in Richtung der -Achse als auch der y-achse gleich Null; Entsprechendes gilt für ein Minimum. Maimum einer bivariaten Funktion z Maimum y Wie auch bei univariaten Funktionen stellt die Überprüfung der ersten partiellen Ableitung einer multivariaten Funktion nur die notwendige Bedingung für die Eistenz eines Etremums dar. Wenn wir uns beispielsweise Punkt A in Abbildung Sattelpunkt einer bivariaten Funktion anschauen, so sehen wir, dass die Steigung sowohl in Richtung der -Achse als auch der y-achse gleich Null ist. Allerdings liegt an dieser Stelle kein Etremum, sondern ein Sattelpunkt. Um nachzuweisen, dass an einer zu untersuchenden Stelle tatsächlich ein Minimum oder Maimum vorliegt, müssen wir zusätzlich im Rahmen der hinreichenden Bedingung das Krümmungsverhalten an der zu betrachtenden Stelle untersuchen. 7

118 Lektion 5 Sattelpunkt einer bivariaten Funktion A z y Für die Überprüfung der hinreichenden Bedingung eines Etremums werden die zwei partiellen Ableitungen benötigt. Wir erhalten die zweite partielle Ableitung einer Funktion, indem wir die erste partielle Ableitung erneut differenzieren. Das bedeutet für eine Funktion z = f(, y), dass sich basierend auf den ersten partiellen Ableitungen und z z ý folgende zweite partielle Ableitungen bilden lassen: Ableitung von z nach Ableitung von z nach Ableitung von z ý nach Ableitung von z ý nach Dabei gilt für bivariate Funktionen folgender Zusammenhang: z y = z ý. B Beispiel 5.4 Beispiel Bilden Sie für die Funktion 3 z = 8 + y 3 + y + sämtliche erste und zweite partielle Ableitungen. Die ersten partiellen Ableitungen lauten: 8

119 Multivariate Funktionen Die zweiten partiellen Ableitungen lauten: Um die Eistenz eines Etremums nachzuweisen, müssen unter Verwendung der ersten und zweiten partiellen Ableitungen folgende notwendige und hinreichende Bedingungen überprüft werden. Auf die Herleitung speziell der hinreichenden Bedingung wird an dieser Stelle aus Kompleitätsgründen verzichtet. Bedingung Maimum Minimum Notwendig Hinreichend Beispiel Untersuchen Sie die im letzten Beispiel behandelte Funktion auf Etremwerte: z = 8³ + y 3² + y² + B Beispiel 5.5 Die notwendige Bedingung für die Eistenz eines Etremums setzt voraus, dass die beiden partiellen Ableitungen = z z = 0 sind: ý 4 + y 6 = 0 + y = 0 Aus der zweiten Gleichung folgt y =. Durch Substitution erhalten wir folgenden Ausdruck: 4 8 = 0 ( 4 8) = 0 = 0 = 3 Aufgrund von y = gilt folglich: = 0 y = 0 = 3 y = 3 Es eistieren somit zwei potentielle Kandidaten für ein Etremum. Mittels der zweiten partiellen Ableitung muss nur die hinreichende Bedingung überprüft werden. 9

120 Lektion 5 Überprüfung der hinreichenden Bedingung für ₁ = 0 und y₁ = 0: Aufgrund von < 0 und > 0 eistiert an den Stellen ₁ = 0 und y₁ = 0 kein z z ýy Etremum; die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt. Überprüfung der hinreichenden Bedingung für = und y = 3 3 Da sowohl ; z z ýy > 0 als auch gilt, ist an der Stelle = und y = 3 3 die notwendige und hinreichende Bedingung für die Eistenz eines Minimums erfüllt. 5.4 Etremwertbestimmung unter Nebenbedingungen Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen zeichnen sich häufig dadurch aus, dass die Suche nach einer Nebenbedingung erfolgen muss. Eine typische Form von Nebenbedingungen sind beispielsweise Funktionen, welche die verfügbaren Ressourcen begrenzen, z.b. die verfügbare Menge von Rohmaterial, die verfügbare Arbeitszeit oder das vorhandene Budget. In solchen Fällen ist es notwendig, die optimale Lösung unter Berücksichtigung dieser Nebenbedingungen zu finden. Wären wir allein am Maimum der Funktion f(,y) interessiert, würden wir das Etremum finden, das in Abbildung Maimum der Funktion skizziert ist. Maimum der Funktion f(; y) Maimum ohne Nebenbedingungen z y 0

121 Multivariate Funktionen Berücksichtigen wir zusätzlich eine Nebenbedingung, dann bewirkt diese, dass die zusätzlichen Kombinationen von - und y-werten eingeschränkt werden: Es dürfen nur diejenigen (,y) Kombinationen gewählt werden, die der Nebenbedingung genügen. Dadurch verschiebt sich in der Regel das erreichbare Maimum, wie Sie anhand der Abbildung Maimum der Funktion f(,y) mit Nebenbedingung sehen können. Maimum der Funktion f(, y) mit Nebenbedingung Maimum ohne Nebenbedingungen z y Maimum mit Nebenbedingungen Nebenbedingung Während wir für Problemstellungen mit mehreren Nebenbedingungen typischerweise auf Verfahren des Operations Research zurückgreifen, eistiert für Optimierungsaufgaben mit wenigen Nebenbedingungen ein effiziertes Verfahren, die sogenannte Lagrange-Methode, welche von dem französischen Mathematiker Joseph-Louis de Lagrange (736 83) entwickelt wurde. Die Lagrange-Methode ermittelt die Etrema einer Funktion z = f(,y) unter Berücksichtigung der Nebenbedingung g(, y) = 0, indem die sogenannte Lagrange-Funktion L(, y, λ) = f (, y) λ g(, y) gebildet wird. Die Etrema liegen an der Stelle, an der die Lagrange-Funktion ihre Etremwerte hat.

122 Lektion 5 Zum Auffinden der Etremwerte muss im nächsten Schritt für jede der unabhängigen Variablen die partielle Ableitung gebildet und das daraus entstehende Gleichungssystem für die beteiligten Variablen gelöst werden: Das von Joseph-Louis de Lagrange entwickelte Verfahren endet mit Überprüfung der notwendigen Bedingung für die Eistenz von Etremwerten. Prinzipiell lassen sich im nächsten Schritt auch die hinreichenden Bedingungen formulieren, worauf im Folgenden allerdings verzichtet wird. B Beispiel 5.6 Beispiel Maimieren Sie die Nutzenfunktion U(,y) = y + unter Berücksichtigung der Budget-Restriktion 4 + y = 60 Maimieren Sie U(,y) = y + unter der Nebenbedingung (u. d. N.) 4 + y 60 = 0 Die Lagrange-Funktion lautet: L(, y, λ) = y+ λ ( 4+ y 60) Die notwendigen Bedingungen für einen Etremwert sind: Zum Lösen des Gleichungssystems formen wir beispielsweise Gleichung und Gleichung um und lösen sie nach bzw. y auf: y = 4λ (Gleichung 4) = λ (Gleichung 5) Anschließend können wir für y die Gleichung 4 und für die Gleichung 5 in Gleichung 3 einsetzen: 4 ( λ) + 4 ( λ ) = 60 8λ+ 8λ 4= 60 6λ = 64 λ = 4

123 Multivariate Funktionen Setzen wir λ = 4 in die Gleichungen 4 und 5 ein, erhalten wir die vollständige Lösung des Gleichungssystems: = 8 y = 4 λ = 4 Setzen wir die Lösung = 8 und y = 4 in die Budget-Restriktion ein, dann sehen wir, dass das ganze Budget von 60 Geldeinheiten (GE) aufgebraucht wird. Der maimale Nutzen, der mit einem Budget von 60 GE erreicht werden kann, beträgt demnach U(8, 4) = 8. Fragen zur Selbstkontrolle. Finden Sie mittels der Langrange-Methode die Etrema der folgenden Funktionen unter Berücksichtigung der angegebenen Nebenbedingung: a) Ma f(,y) = 5 + 0y y u.d.n. 3 + y = 4 : y: b) Ma u.d.n. + y = 8? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. : y: c) Ma u.d.n. + 4y = 6 : y: d) Ma f(,y) = + y u.d.n. + 3y + 3y = 3 : y:. Maimieren Sie das Produkt zweier positiver Zahlen, deren Summe 36 ist. Lösung: 3. Ein Bauer besitzt 400m Zaun, mit dem er ein rechteckiges Feld einzäunen möchte. An der Seite grenzt das Feld an einen Fluss an und muss nicht eingezäunt werden. Welche Abmessung des Feldes maimiert die verfügbare Fläche, wenn die verbleibnden Seiten mit dem verfügbaren Zaun eingezäunt werden sollen? Lösung: 4. Ein Bauer besitzt 400m Zaun, mit dem er ein rechteckiges Feld einzäunen möchte. Das Feld des Bauern grenzt an andere Felder an, die bereits eingezäunt sind und deren Zäune im rechten Winkel zueinander stehen. Welche Abmessung des Feldes maimiert die verfügbare Fläche, wenn die verbleibenden Seiten mit dem verfügbaren Zaun eingezäunt werden sollen? Lösung: 3

124 Lektion 5 5. Eine Kiste mit rechteckigen Seitenwänden und quadratischem Boden soll ein Volumen von 000cm 3 haben. Welche Abmessungen der Kiste führen zu einer kleinstmöglichen Oberfläche, unter der Annahme, dass die Kiste keinen Deckel besitzt, sondern oben offen ist. Lösung: 6. Die Produktionsfunktion einer Firma ist. Dabei steht K für den Kapitaleinsatz gemessen in Maschinenstunden und L ist der Arbeitseinsatz, gemessen in Arbeitsstunden. Die Leasing-Kosten der Maschine betragen 5 die Stunde, während die Arbeitsstunde Euro pro Stunde kostet. a) Welche masimale stündliche Produktionsmenge ist möglich, wenn ein Budget von 000 zur Verfügung steht? Lösung: b) Wie ändert sich die Lösung, wenn das doppelte Budget zur Verfügung steht? Lösung: c) Was ist die optimale Lösung, wenn der Stundenlohn 4 beträgt? Lösung: CLIX Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte Wissenskontrolle Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! 4

125 Kapital Verlauf mit Zinseszinsen K 0 Verlauf mit einfacher Verzinsung Zinsperioden Lektion 6 Folgen und Reihen Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... was das Prinzip arithmetischer und geometrischer Folgen ist und wie Sie diese berechnen. wie Sie für eine gegebene arithmetische oder geometrische Folge die entsprechenden Reihen berechnen. wie sich einfache Zinsen und Zinseszinsen unterscheiden. wie Sie unterjährige und gemischte Verzinsungen berechnen.

126 Lektion 6 6. Folgen und Reihen 6. Arithmetische und geometrische Folgen Unter einer mathematischen Folge verstehen wir die Aneinanderreihung von Zahlen a₁, a₂, a₃, an, die einer nachvollziehbaren Gesetzmäßigkeit folgen. Die einzelnen Zahlen dieser Folge werden als Glieder bezeichnet mit an als dem allgemeinen Glied. Eine Folge kann entweder durch eplizite Auflistung ihrer Glieder gegeben sein, z. B. die Folgen,, 4, 6, 8, 0,, oder es wird alternativ die Bildungsgesetzmäßigkeit für das allgemeine Glied beschrieben: an = n mit n B Beispiel 6. Beispiel Die Glieder der Folge an = n für alle, 3, 5, 7, 9,, Die Glieder der Folge an = 3n² + für alle 4, 3, 8, 49, 76, Die Glieder der Folge an = n(+( ) n ) für alle 0, 4, 0, 8, 0,, 0, 6, 0, n sind: n sind: n sind: Wenn eine Folge aus einer endlichen Anzahl von Gliedern besteht, sprechen wir von einer endlichen Folge; andernfalls handelt es sich um eine unendliche Folge. Speziell für die in Lernzyklus 6.3 zu besprechenden finanzmathematischen Anwendungen eistieren zwei Folgen, die von herausragender Bedeutung sind: die arithmetische und die geometrische Folge. Alle finanzmathematischen Anwendungen bauen auf einer dieser beiden Folgentypen auf. Arithmetische Folge Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der die Differenz d zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern für alle n konstant ist: B Beispiel 6. B Beispiel 6.3 d = an+ an Beispiel Bei der Folge, 5, 8,, 4, handelt es sich um eine arithmetische Folge mit der Konstanten d = 3. Die Glieder einer arithmetischen Folge bestimmen sich demnach anhand der folgenden Gesetzmäßigkeit: a₁, a₁ + d₁, a₁ + d, a₁ + 3d, Hieraus lässt sich das Bildungsgesetz für das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge ableiten: (Formel ) Beispiel Um das Bildungsgesetz der folgenden arithmetischen Zahlenfolge 5, 9, 3, 7,, zu bestimmen, benötigen wir das erste Glied und die Konstante d. Das erste Glied ist a₁ = 5 und die Differenz zwischen zwei Gliedern beträgt d = 4. Die Formel für das allgemeine Glied lautet folglich: an = 5 + (n ) 4 6

127 Folgen und Reihen Geometrische Folge Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Glieder für konstant: an+ q = a n Beispiel Bei der Folge,, 4, 8, 6, handelt es sich um eine geometrische Folge mit der Konstanten q =. Die Glieder einer arithmetischen Folge bestimmen Sie anhand der folgenden Gesetzmäßigkeit: n B Beispiel 6.4 a₁; a₁ q; a₁ q²;... ; a₁ qⁿ;... Hieraus lässt sich das Bildungsgesetz für das allgemeine Glied einer geometrischen Folge ableiten: (Formel ) Beispiel Um das Bildungsgesetz der geometrischen Folge,, 4, 8, 6, zu bestimmen, benötigen wir das erste Glied und die Konstante q. Das erste Glied ist a₁ = und der Wert des konstanten Quotienten beträgt q =. Die Formel für das allgemeine Glied lautet folglich: n a = n B Beispiel 6.5 Fragen zur Selbstkontrolle. Bei welcher der folgenden Folgen handelt es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge? Bestimmen Sie im Fall einer arithmetischen oder geometrischen Folge das nächste sowie das allgemeine Glied. a), 5, 8,, 4 o arithmetisch o geometrisch o weder noch? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. nächstes Glied: allgemeines Glied: b) 5 3,, 5, 8 o arithmetisch o geometrisch o weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied: c), 7, 49, 343 o arithmetisch o geometrisch o weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied: 7

128 Lektion 6 d) 5, 5, 5, 5 + o arithmetisch o geometrisch o weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied: e) 40, 0, 0, 5 o arithmetisch o geometrisch o weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied:. Bei welcher der folgenden Folgen handelt es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge? a) a n = n o arithmetisch o geometrisch o weder noch b) o arithmetisch o geometrisch o weder noch c) n a = o arithmetisch o geometrisch o weder noch n n 3. a n ist eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten q. b n ist eine arithmetische Folge mit der konstanten Differenz d. Vervollständigen Sie die beiden Tabellen: a) b) c) d) a q - ⅓,5 n a n - 0, 5,65 e) f) g) h) b 8 4 d n b n

129 Folgen und Reihen n 4. Gegeben ist die Folge a n = n + Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der Folge. 5. Das 5. Glied einer arithmetischen Folge ist 9 und das. Glied ist 40. Bestimmen Sie für diese Folge das. und das allgemeine Glied.. Glied: Allgemeines Glied: 6. Eine arithmetische Folge der Form k, k 3, k 3,0,... ist gegeben. Das 0. Glied ist 5. Finden Sie k. k = 6. Arithmetische und geometrische Reihen Unter einer mathematischen Reihe sn verstehen wir die Summe der Glieder einer mathematischen Folge a₁, a₂, a₃,, an: sn = a₁ + a₂ + a₃ an (Formel 3) Summieren wir die Glieder einer arithmetischen Folge, so erhalten wir eine arithmetische Reihe. Summieren wir die Glieder einer geometrischen Folge, so erhalten wir eine geometrische Reihe. Arithmetische Reihe Das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge wird anhand folgender Gesetzmäßigkeit gebildet (siehe Formel ): a = a + n d n n Die entsprechende Reihe lautet folglich: ( ) sn = [a₁] + [a₁ + d] + [a₁ + d] [a₁ + (n ) d] + [a₁ + (n ) d] Anstatt die Glieder einer arithmetischen Folge einzeln aufzusummieren, gibt es eine einfachere Möglichkeit, um jede beliebige arithmetische Reihe zu berechnen. Zur Herleitung der entsprechenden Formel schreiben wir die n-te Teilsumme der arithmetischen Folgen zweimal auf: einmal in ursprünglicher und einmal in umgekehrter Reihenfolge. 9

130 Lektion 6 Anschließend summieren wir die beiden Ausdrücke: sn = [ a] + [ a+ d] + + [ a + ( n ) d ] sn = [ a+ ( n ) d] + [ a+ ( n ) d] + + [ a ] sn = [ a+ ( n ) d] + [ a+ ( n ) d] + + [ a + ( n ) d] B Beispiel 6.6 Das Ergebnis der Addition kann wie folgt umgeformt werden: sn = [ a+ ( n ) d] + [ a+ ( n ) d] + + [ a + ( n ) d] ( ( ) ) s = n a + n d n ( ( ( ) )) ( ) s = n a + a + n d n s = n a + a n n n sn = ( a + a n) Die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge von a₁ bis an kann mittels der folgenden Formel berechnet werden: n s (Formel 4) n = ( a + a n) Beispiel Sie werfen am. Januar einen Betrag von 0 in Ihr Sparschwein. Zu Beginn eines jeden Monats erhöhen Sie Ihre Zahlung um 5 und deponieren den Betrag ebenfalls in Ihrem Sparschwein. Wie viel Geld befindet sich nach drei Jahren im Sparschwein? Die Zahlungen, die Sie tätigen, lassen sich durch eine arithmetische Folge beschreiben: Die erste Einzahlung ist a₁ = 0, gefolgt von a₂ = 5, a₃ = 0, a₄ = 5 usw. Die letzte Einzahlung entspricht dem 36. Glied der Folge. Mit a₁ = 0 und d = 5 lässt sich das Bildungsgesetz für das allgemeine Glied an aufstellen: an = 0 + (n ) 5 Die letzte Einzahlung in das Sparschwein beträgt somit a 36 = 0 + (36 ) 5 = 85 Um den Gesamtwert des angesparten Geldes zu berechnen, müssen wir die Summe der ersten 36 Zahlungen berechnen. 36 s36 = ( ) = 350 Nach drei Jahren haben sich folglich 3.50 angesammelt. 30

131 Folgen und Reihen Geometrische Reihe Das allgemeine Glied einer geometrischen Folge wird anhand der Gesetzmäßigkeit n an = a q n gebildet (siehe Formel ). Die entsprechende Reihe lautet folglich: n s (Formel 5) n = a+ a q+ a q + + a q Für die geometrische Reihe lässt sich ebenfalls eine Formel herleiten, mittels derer jede beliebige Teilsumme der Glieder einer geometrischen Folge berechnet werden kann. Für die Herleitung der Formel betrachten wir zunächst die Formel 5, d. h. die n-te Teilsumme sn der geometrischen Folge. Anschließend wählen wir die Formel 5 erneut, multiplizieren sie dieses Mal aber mit dem Faktor q und subtrahieren anschließend die beiden Zahlen voneinander: n sn = a+ a q+ a q + + a q n q s = a q+ a q + + a q + a q s q s = a a q n Vereinfachen wir das Ergebnis der Subtraktion, dann erhalten wir: n s q s = a a q Abschließend lösen wir den Ausdruck nach sn auf: n q sn = a q n n n n (Formel 6) Beispiel Am. Januar eines jeden Jahres zahlen Sie r =.000 auf ein Sparbuch ein, das mit 3 % per annum (p. a.) am Jahresende verzinst wird. Welchen Betrag haben Sie nach Ablauf von 5 Jahren? n n B Beispiel 6.7 Um den Endwert des Sparbuchs zu ermitteln, müssen wir uns die einzelnen Einzahlungen im Detail anschauen: Die ersten.000 werden 5 Jahre mit 3 % p. a. verzinst und ergeben nach Ablauf der 5 Jahre einen Endwert von.000,03⁵. Die zweiten.000 werden noch 4 Jahre mit 3 % p. a. verzinst und ergeben einen Endwert von.000,03⁴. Die dritten.000 werden noch 3 Jahre mit 3 % p. a. verzinst und ergeben einen Endwert von.000,03³. Die vierten.000 werden noch Jahre mit 3 % p. a. verzinst und ergeben einen Endwert von.000,03². Die letzten.000 werden noch Jahr mit 3 % p. a. verzinst und ergeben einen Endwert von.000,03. 3

132 Lektion 6 Die fünf Endwerte stellen die Glieder einer geometrischen Folge dar mit dem konstanten Quotienten q =,03. Der Endwert der Investition berechnet sich aus der Summe dieser einzelnen Endwerte und ist folglich die zugehörige geometrische Reihe. Unter Verwendung der Formel 6 mit a₁ = 000, q =,03 und n = 5 lässt sich der Wert des Sparbuches nach 5 Jahren berechnen: Der Endwert des Sparbuchs nach 5 Jahren beträgt 0.68,7.? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Tom spart 0-Cent Münzen. Am ersten Tag wirft er eine Münze in sein Sparschwein, am zweiten Tag zwei, am dritten Tag drei, usw. Welchen Betrag hat Tom nach 60 Tagen gespart? Lösung:. Ein Element hat eine Halbwertszeit von 4 Stunden, d. h. nach 4 Stunden hat sich das Gewicht des Elemtens halbiert. Wenn das Gewicht zu einem bestimmten Zeitpunkt 60g beträgt, wie viel wiegt dann das Element 4 Stunden später? Lösung: n 3. Gegeben ist die Folge a n = n + Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der entsprechenden Reihe. 4. Berechnen Sie die Summe der ersten 7 Glieder der folgenden Folgen: a), 3, 8, 3, 8,... Lösung: b), 8, 3, 8,... Lösung: c) 3, 9, 7, 8,... Lösung: d), 3, 9, 7,... Lösung: e) 3,, 9 4, 7,... 8 Lösung: f),, 4, 8, 6,... Lösung: 3

133 Folgen und Reihen 5. Berechnen Sie die Summe sämtlicher zweistelligen natürlichen Zahlen, die durch 5 teilbar sind. Lösung: 6. Die Summe der ersten 0. Glieder einer arithmetischen Folge ist gleich der Summe der ersten. Glieder. Die konstante Differenz d beträgt. Finden Sie a. a = 6.3 Finanzmathematische Anwendungen Wie wir bereits anhand der Beispiele der beiden vorangegangenen Lektionen sehen konnten, besteht ein enger Zusammenhang zwischen arithmetischen bzw. geometrischen Folgen und Reihen einerseits und finanzmathematischen Anwendungen andererseits. Ziel dieser Lektion ist es, typische finanzmathematische Anwendungen vorzustellen, die auf arithmetischen bzw. geometrischen Folgen und Reihen basieren. Hierfür wird die folgende grundlegende Notation und Begrifflichkeit verwendet: K₀: Barwert einer Investition, d. h. der aktuelle Wert zukünftiger Zahlungen Kn: Endwert einer Investition, d. h. der Wert einer Investitionen nach n Zinsperioden n: Periodeninde, d. h. Anzahl der Zinsperioden i: Zinssatz Manchmal wird neben dem Zinssatz i auch noch der Zinsfuß p unterschieden. Dabei ist der Zinsfuß die Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht; d. h. bei einem Zinssatz von i = 4 % = 0,04 beträgt der Zinsfuß p = 4. Zinsrechnung Typische finanzmathematische Anwendungen basieren auf der Annahme, dass Sie Zinszahlungen erhalten, wenn Sie selbst Kapital investiert haben bzw. Zinszahlungen leisten müssen wegen Kreditaufnahmen. Damit Zinszahlungen erfolgreich bestimmt werden können, muss angegeben werden, für welchen Zeitraum ein Zinssatz Anwendung findet. Sehr häufig ist der relevante Zinssatz bezogen auf ein Jahr (p. a., per annum), aber auch jede andere Bezugsperiode ist prinzipiell möglich, z. B. quartalsweise, monatlich oder täglich. Für tägliche Zinsberechnungen müssen wir uns vorab über die Anzahl der Tage im Kalenderjahr und die anzuwendende Berechnungsmethode einigen. Geläufige Berechnungsmethoden sind: Deutsche Methode: Das Jahr umfasst 360 Tage und eakt 30 Tage pro Monat (unabhängig von der tatsächlichen Anzahl der Tage in einem Monat). Euromethode: Das Jahr umfasst 360 Tage, allerdings wird mit der tatsächlichen Anzahl an Tagen für jeden Kalendermonat gerechnet. Englische Methode: Das Jahr umfasst 365 Tage und jeder Monat umfasst die Anzahl seiner tatsächlichen Tage. Tagesgenaue Methode: Sowohl das Jahr als auch jeder Monat umfassen die tatsächlich anfallenden Tage. 33

134 Lektion 6 Die Auswirkungen der unterschiedlichen Berechnungsmethoden werden im Beispiel 6.9 näher erläutert. Wenn bei Finanztransaktionen ein Zinssatz vereinbart wird, dann handelt es sich hierbei um den sogenannten Nominalzins. Davon zu unterscheiden ist der Effektivzins. Der Effektivzins ist derjenige jährliche Zinssatz, der zusätzlich zum Nominalzins etwaige Gebühren oder Zinseffekte aus unterjährigen Zinszahlungen berücksichtigt. Einfache Verzinsung Bei der einfachen Verzinsung wird das ursprünglich investierte Kapital K₀ entsprechend seiner Laufzeit linear verzinst, d. h. nach jeder Zinsperiode werden Zinsen auf das anfangs investierte Kapital in Höhe von i K₀ fällig. Einfache Verzinsung K 0 0 i K i K 0 i K n t K n Der Endwert der Investition umfasst das Anfangskapital K₀ zzgl. Der n-mal angefallenen Zinszahlungen i K₀: K = K + nik = K + ni (Formel 7) n ( ) B Beispiel Bestimmen Sie den Endwert von.000, die über 5 Jahre einfach mit 4 % verzinst werden: Beispiel 6.8 Nach 5 Jahren beträgt der Endwert der Investition.00. Zinszahlungen erfolgen typischerweise pro Kalenderjahr, d. h. auf Einzahlungen, die für ein Kalenderjahr angelegt wurden, entfallen am Ende des Jahres Zinszahlungen in Höhe des jährlich vereinbarten Zinssatzes i. Für Zahlungen, die nicht für ein ganzes Jahr angelegt werden, fallen Zinszahlungen anteilig an. Hierbei ergeben sich Unterschiede hinsichtlich der Zinszahlungen aufgrund unterschiedlicher Zinsberechnungsmethoden. B Beispiel 6.9 Beispiel Am 0. Februar 0 werden auf ein Konto eingezahlt, das mit 5 % p. a. einfach verzinst wird. Welchen Wert weist das Konto am Ende des Monats auf? 34

135 Folgen und Reihen Zur Berechnung des Endwertes am Monatsende müssen anteilig die anfallenden Zinsen berechnet werden. Hierfür müssen wir ein paar Details berücksichtigen: Zum einen wird der Tag der Einzahlung, d. h. der 0. Februar 0, für die Zeitermittlung in der Regel nicht berücksichtigt, sondern erst der Folgetag, d. h. der. Februar 0. Dafür ist der letzte Tag der Verzinsung derjenige Tag, an dem das investierte Kapital verzinst wird. Zum anderen müssen bei einer solchen unterjährigen Verzinsung anteilig die Tage ermittelt werden, an denen das Kapital verzinst wird. Nach den vorgestellten Berechnungsmethoden ergeben sich folgende Unterschiede: Deutsche Methode: Nach der deutschen Methode umfasst jeder Kalendermonat 30 Tage und das Jahr hat 360 Tage. Das bedeutet, dass die an 0 Tagen anteilig mit 5 % verzinst werden: Euromethode: Bei der Euromethode hat das Jahr auch 360 Tage, allerdings wird mit der tatsächlichen Anzahl der Tage im entsprechenden Monat gerechnet. Da 00 ein Schaltjahr ist, hat der Februar 9 Tage, sodass die an 9 Tagen anteilig mit 5 % verzinst werden: Englische Methode: Bei der englischen Methode besteht das Jahr aus 365 Tagen und jeder Monat umfasst die Anzahl seiner tatsächlichen Tage: Tagesgenaue Methode: Hier werden sowohl für das Jahr als auch den Monat die tatsächlichen Tage benutzt. Aufgrund des Schaltjahres hat das Jahr Tage: Ausgehend von Formel 7 lassen sich durch Umformen auch der Barwert, die Laufzeit oder der Zinssatz einer Investition berechnen: Barwert: K 0 K n = + ni Laufzeit: Zinssatz: 35

136 Lektion 6 B Beispiel 6.0 Beispiel. Welchen Betrag müssen Sie am. Januar 0 einzahlen, wenn Sie am 3. Dezember 00 bei einem Zinssatz von 4 % p. a. und einfacher Verzinsung erhalten möchten? 6800 K 0 = = ,04 Das Anfangskapital beträgt Wie lange dauert es, bis sich eine Anfangsinvestition von.500 bei 5 % p. a. und einfacher Verzinsung verdoppelt hat? Es dauert 0 Jahre, bis sich das eingezahlte Kapital verdoppelt hat. 3. Bei welchem Zinssatz erreicht ein Anfangskapital von bei einfacher Verzinsung einen Endwert von nach 0 Jahren? Bei einem Zinssatz von 6 % p. a. 4. Sie kaufen ein neues Auto für Der Händler bietet Ihnen folgende Zahlungsoptionen an: Zahlung innerhalb von 30 Tagen netto, oder sofortige Zahlung bei 3 % Skonto. Sie haben somit die Möglichkeit, entweder sofort zu bezahlen oder in 30 Tagen Wenn Sie sich für die Variante Zahlung innerhalb von 30 Tagen netto entscheiden, bedeutet dies finanzmathematisch, dass Ihnen der Händler ein Darlehen über 30 Tage in Höhe von gewährt und dafür.00 Zinsen verlangt. Mittels der Formel und n = 30 lässt sich der entsprechende Zinssatz berechnen: 360 Der äquivalente Jahreszins bei späterer Zahlung beträgt somit 37, % p. a. Solange Sie kein Anlageangebot finden, das Ihnen einen höheren Zinssatz als 37, % bietet, sollten Sie das Skonto ausnutzen. 36

137 Folgen und Reihen Zinseszinsen Wenn ein Anfangskapital über mehrere Jahre angelegt wird, ist es üblich, dass die anfallenden Zinszahlungen dem Konto gutgeschrieben und im Folgejahr ebenfalls verzinst werden. Wir sprechen in diesem Fall von sogenannten Zinseszinsen. Die Einführung von Zinseszinsen hat zur Folge, dass der Endwert einer Investition nicht mehr linear in Abhängigkeit von der Zeit zunimmt, sondern eponentiell: Am Ende der ersten Zinsperiode fallen Zinsen auf das Anfangskapital an und wir erhalten den Endwert K₁: K₁ = K₀ ( + i) Am Ende der zweiten Zinsperiode fallen Zinsen auf K₁ an und wir erhalten: K₂ = K₁ ( + i) = K₀ ( + i)² Der Endwert nach drei Zinsperioden beträgt: K₃ = K₂ ( + i) = (K₀ ( + i)²) ( + i) = K₀ ( + i)³ Nach n Zinsperioden ist der Endwert folglich: mit q = (i + i) ( ) K = K + i = K q n n 0 0 Jährliche Verzinsung mit Zinseszins n (Formel 8) K n t K = K (+i) 0 K = K (+i) = K (+i)² 0 K 3 = K (+i) = K (+i)³ 0 K = K (+i) n 0 n Beispiel. Wie hoch ist der Endwert einer Investition, bei der.500 über 5 Jahre bei 5 % p. a. angelegt werden? ( ) K = ,05 = 597,3 5 Der Endwert der Investition beträgt 5.97,3. 5 B Beispiel 6. 37

138 Lektion 6. Sie zahlen am. Juni auf Ihr Konto ein. Das Kapital wird eakt ein Jahr bei 5 % p. a. investiert. Welcher Endwert ergibt sich? Der Endwert muss hier in zwei Schritten berechnet werden: Zuerst berechnen wir die Wertstellung des Kontos zum Jahresende. Genau genommen müssten wir wieder zwischen den einzelnen Zinsberechnungsmethoden unterscheiden. Beispielhaft wird die Berechnung anhand der deutschen Methode vorgeführt. Im zweiten Schritt werden die Zinsen für das Folgejahr zum 3. Mai berechnet: Beachten Sie, dass aufgrund des Zinseszinseffektes das Endkapital höher ist, als wenn die für ein Kalenderjahr angelegt worden wären. Kapitalverlauf mit einfacher Verzinsung und Zinsezins Kapital Verlauf mit Zinseszinsen K 0 Verlauf mit einfacher Verzinsung Zinsperioden Berechnen wir von einem gegebenen Barwert einen zukünftigen Endwert, dann sprechen wir vom Aufzinsen. Der Faktor q = ( + i) aus Formel 8 wird auch als Aufzinsungsfaktor bezeichnet. Gehen wir hingegen von einem Endwert aus und sind daran interessiert, welcher Barwert anfangs investiert werden muss, um diesen Endwert zu erreichen, dann bezeichnen wir diesen Prozess als Abzinsung oder auch Diskontierung. 38

139 Folgen und Reihen Um den Barwert zu berechnen, stellen wir die Formel 8 entsprechend um. K n n K 0 = n = Kn v ( + i) Der Faktor v = wird als Abzinsungs- oder auch Diskontierungsfaktor bezeichnet. + i Beispiel Welcher Betrag muss einmalig investiert werden, um nach 0 Jahren zu erhalten, wenn der Zinssatz mit 5 % p. a. konstant bleibt? 0000 K 0 = 0 = 7537,79 + 0,05 ( ) Es müssen 7.537,79 investiert werden. B Beispiel 6. Wie bereits bei der einfachen Verzinsung können wir die Formel 8 zusätzlich nach dem Zinssatz bzw. der Laufzeit auflösen: Zinssatz: (Formel 9) Laufzeit: (Formel 0) Beispiel Ein Anleger investiert Die Zinssätze sind wie folgt: Zinssatz für das. Jahr: 3,00 % Zinssatz für das. Jahr: 3,5 % Zinssatz für das 3. Jahr: 3,50 % Zinssatz für das 4. Jahr: 3,75 % Zinssatz für das 5. Jahr: 4,00 % B Beispiel

140 Lektion 6 Wie hoch ist das Guthaben nach fünf Jahren und welcher durchschnittliche Zinssatz ergibt sich? Das Guthaben nach fünf Jahren beträgt: K₅ = 5000,03,035,035,0375,04 = 5938,6 Der durchschnittliche jährliche Zinssatz beträgt: Das Anfangskapital wird mit durchschnittlich 3,5 % p. a. verzinst. B Beispiel 6.4 Beispiel Wie lange dauert es, bis sich ein Anfangskapital bei 4 % p. a. verdoppelt hat? Da sich das Anfangskapital verdoppeln soll, muss gelten: Kn = K₀; ferner ist q =,04. Durch Einsetzen in Formel 0 erhalten wir: ln K0 ln K0 n = ln( + 0,04) ( K ) ln 0 K 0 n = ln(,04) ln n = ln(,04) n = 7,67 Nach 8 Jahren hat sich das Anfangskapital bei 4 % p. a. verdoppelt. Unterjährige Verzinsung Im Rahmen von Finanztransaktionen werden typischerweise Zinssätze angegeben, die auf ein Jahr bezogen sind (per annum). Dies bedeutet aber nicht zwangsläufig, dass die Zinszahlungen ebenfalls jährlich anfallen; die Zinsperioden können auch kürzer sein. Der Aufnahme eines Darlehens beispielsweise liegt normalerweise ein Jahreszins zugrunde; die Zinszahlungen fallen aber in der Regel monatlich an. In diesem Fall sprechen wir von unterjähriger Verzinsung. B Beispiel 6.5 Beispiel Sie legen über einen Zeitraum von 4 Jahren zu einem Zinssatz von 6 % p. a. an. Vereinbart ist eine monatliche Verzinsung. Wie hoch ist das Endkapital und wie hoch ist der Effektivzins? 0,06 Der unterjährige Zinssatz beträgt und das Anfangskapital wird über 48 Monate angelegt. Der Endwert nach 4 Jahren beträgt folglich: 40

141 Folgen und Reihen Eine jährliche Verzinsung des Anfangskapitals hätte Ihnen im Vergleich dazu einen geringeren Endwert in Höhe von 63.3,85 eingebracht. Für die Ermittlung des Effektivzinses können wir wieder auf Formel 9 zurückgreifen: 6354,46 i = 4 eff = 0, Der Effektivzins beträgt 6,7 %. Grundsätzlich gilt, dass der Endwert einer Investition bei unterjähriger Verzinsung mit k Verzinsungsperioden und m Zinszahlungen pro Jahr wie folgt berechnet wird: Gemischte Verzinsung In der Prais ist es eher selten, dass ein investierter Betrag über eine ganzzahlige Anzahl von Zinsperioden investiert wird, d. h. eakt zu Beginn eines Jahres eingezahlt und am Ende eines der Folgejahre wieder ausgezahlt wird. Es ist eher damit zu rechnen, dass Beträge im Jahresverlauf ein- und wieder ausgezahlt werden. Beispiel Sie haben am 0. Oktober 005 einen Betrag von.000 auf Ihr Sparbuch eingezahlt und lösen das Sparbuch zum 0. August 0 wieder auf. In der Zwischenzeit erfolgten keine weiteren Einzahlungen und das Kapital wurde konstant mit 3 % p. a. verzinst. Welche Endwerte weist Ihr Sparbuch auf? B Beispiel 6.6 Zahlungsstrahl - Beispiel Tage 6 Jahre 30 Tage K Unter Verwendung der deutschen Verzinsungsmethode wird das am 0. Oktober 005 eingezahlte Kapital für verbleibende 80 Tage im Jahr 005 verzinst. Anschließend erfolgt eine jährliche Verzinsung über die folgenden sechs Jahre. Im Jahr 0 schließlich wird das Kapital anteilig über 30 Tage verzinst. Als Endwert ergibt sich somit: 4

142 Lektion 6? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Sie haben eine Anlagemöglichkeit gefunden, die Ihnen einen Zinssatz von 8 % p.a. garantiert. Sie investieren 400. Welchen Endbetrag bekommen Sie nach 3 bzw. 7 Jahren ausgezahlt, im Fall von a) einfacher Verzinsung? Lösung: b) Zinseszinsen? Lösung:. Sie zahlen am 6. Juni auf Ihr Bankkonto ein, das mit 3 % p.a. verzinst wird. Welchen Betrag können Sie am 0. März 0 wieder abheben, wenn die Zinsberechnung unter der Verwendung der a) Deutschen Methode b) Euromethode c) Englischen Methode d) Tagesgenauen Methode erfolgt? Beachte: Das Jahr 0 ist ein Schaltjahr. Lösung a): Lösung b): Lösung c): Lösung d): 3. Eine Anfangsinvestition ist von.500 auf.80 innerhalb von 0 Jahren angewachsen. Zu welchem jährlichen Zinssatz wurde das Kapital verzinst? Lösung : 4. Berechnen Sie den Effektivzins einer Investition, die bei quartalsweiser Zinszahlung einem Zinssatz von 6 % pro Quartal hat. Lösung : 5. Eine Anlage verzinst das angelegte Kapital quartalsweise. Der effektive Jahreszins beträgt 6 % p.a. Berechnen Sie den Quartalszins als auch den jährlichen Nominalzins. Quartalszins: Nominalzins: 4

143 Folgen und Reihen 6. Ein Betrag von wird über einen Zeitraum von fünf Jahren angelegt. Der Nominalzins beträgt 5 % p.a. Berechnen Sie den Endwert der Investitionen. Der Zinszahlung liegt die Deutsche Methode zugrunde und erfolgt a) jährlich Lösung : b) monatlich Lösung : c) täglich Lösung : 7. Berechnen Sie den Endwert von.000, die bei quartalsweiser Verzinsung über einen Zeitraum von drei Jahren zu einem Nominalzins von 5 % p.a. angelegt werden. Lösung : 8. Sie legen 800 über einen Zeitraum von zehn Jahren an. a) Der Zinssatz beträgt 0,0755 % pro Woche bei wöchentlicher Verzinsung b) der Zinssatz beträgt 4 % p.a. bei jährlicher Verzinsung Berechnen Sie den Endwert der Investitionen. Lösung a): Lösung b): 9. Welche Form der Anlage ist attraktiver, um 00 über einen Zeitraum von 0 Jahren anzulegen: a) 5 % p.a. bei einfacher Verzinsung. b) 0,39 % per Monat bei monatlicher Verzinsung. c) 4,7 % p.a. bei jährlicher Verzinsung. Lösung a): Lösung b): Lösung c): 0. Welcher Anfangsbetrag muss ursprünglich investiert werden, um nach 5 Jahren und einem Zinssatz von 8 % p.a. mit jährlicher Verzinsung einen Endwert von 3 zu erhalten. Lösung: 43

144 Lektion 6. Wie lange dauert es, bis sich eine Anfangsinvestition bei einem Zinssatz von 3,5 % p.a. und jährlicher Verzinsung vervierfacht hat? Lösung:. Eine Anfangsinvestition wurde über die ersten vier Jahre mit 6 % p.a. und anschließend für weitere drei Jahre mit 6,5 % p.a. jährlich verzinst. Berechnen Sie den jährlichen Effektivzins dieser Investition. Lösung: 3. Ein Autor kann hinsichtlich seines Honorars zwischen zwei unterschiedlichen Modellen wählen: Er bekommt entweder sofort.000 ausgezahlt oder drei gleich große jährliche Zahlungen über 7.650, wobei die erste Zahlung sofort fällig ist. Welche der beiden Alternativen ist für den Autor attraktiver, wenn der aktuelle Marktzins 6 % p.a. beträgt? Lösung: CLIX Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte Wissenskontrolle Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! 44

145 y y = f() F F3 a F b Lektion 7 Integralrechnung Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... wie Sie den Unterscheid zwischen einem unbestimmten und bestimmten Integral erkennen. welches die grundlegenden Integrationsregeln sind und wie Sie diese auf ausgewählte Funktionen anwenden. wie Sie die Fläche zwischen der Kurve einer Funktion und der -Achse bestimmen.

146 Lektion 7 7. Integralrechnung Einleitung Die Integralrechnung kann als die Umkehrung der Differenzialrechnung betrachtet werden. Im Zusammenhang mit der Integralrechnung unterscheiden wir das unbestimmte und das bestimmte Integral. Das unbestimmte Integral stellt die Stammfunktion einer zu integrierenden Funktion dar, d. h. diejenige Funktion, die differenziert die Funktion ergibt, welche es zu integrieren gilt. Das bestimmte Integral hingegen wird verwendet, um innerhalb eines gegebenen Intervalls die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse zu bestimmen. 7. Das unbestimmte Integral In diesem Lehrbrief haben wir uns die Grundlagen der Differenzialrechnung und ökonomische Anwendungen angesehen. Wenn wir annehmen, dass der Ausdruck die Grenzkosten bezogen auf die Produktionsmenge eines Unternehmens darstellt, dann kann beispielsweise die Frage von Interesse sein, welche variable Kostenfunktion dieses Unternehmen aufweist, d. h. wir interessieren uns für diejenige Funktion, die abgeleitet k = 3² ergibt; diese Funktion wird als Stammfunktion bezeichnet. Es ist leicht nachvollziehbar, dass für das eben erwähnte Beispiel K() = ³ eine mögliche Stammfunktion darstellt. Es ist aber ebenfalls leicht nachvollziehbar, dass diese Stammfunktion nicht die einzige Funktion ist, die zur gewünschten Ableitung führt. Die Funktionen ( ) ( ) ( ) K = + 0 K = + 5 K = + 53 erfüllen diesen Anspruch ebenfalls. Da zu dem Ausdruck ³ jede beliebige Konstante c addiert werden kann, ohne dass sie die erste Ableitung ändert, wird die Funktion K() = ³ + c allgemein als Stammfunktion der Ableitung bezeichnet. In allgemeiner Schreibweise bedeutet das: F() ist die Stammfunktion von y =f(), wenn gilt: d ( ( ) + ) = ( ) mit konstantem c d F c f Die Funktion f() wird als Integrand bezeichnet. Während die Ableitung der Stammfunktion den Integranden ergibt, führt die Integration von f() zur Stammfunktion. Es gilt somit: Um mittels Integration die Stammfunktion einer Funktion f() zu bestimmen, eistieren im Gegensatz zu den Ableitungsregeln leider keine schematischen Regeln, mittels derer eine Stammfunktion relativ schnell und einfach bestimmt werden könnte. Es eistiert zwar eine Reihe von Integrationsregeln; trotzdem ist deren Anwendung bei vielen Integralen entweder schwierig oder gar nicht möglich. 46

147 Integralrechnung Grundintegrale Zunächst betrachten wir eine Reihe von Grundintegralen, bei denen es noch möglich ist, die zugrunde liegenden Regeln schematisch anzuwenden: n n Potenzregel = + d + cmit( n ) n + Konstanter Faktor-Regel a f ( ) d = a f ( ) d Eponential-Regel Logarithmus-Regel Summenregel ed = e + c = + d ln c [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f + g d = f d + g d = F + G + c Beispiel Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: B Beispiel 7. Erweiterte Integrationsregeln Betrachten wir die vorgestellten Integrationsregeln, dann fällt auf, dass zu jeder Integrationsregel eine entsprechende Ableitungsregel eistiert. Es liegt die Vermutung nahe, dass für diejenigen Ableitungsregeln, die bislang kein Pendant gefunden haben, ebenfalls eine Integrationsregel eistiert. Diese Vermutung trifft tatsächlich für die Produktregel als auch für die Kettenregel zu. Zur Anwendung kommt die partielle Integration bzw. die Integration durch Substitution. Für die Quotientenregel hingegen eistiert keine entsprechende Integrationsregel. 47

148 Lektion 7 Partielle Integration Die partielle Integration ist das Pendant zur Produktregel, d. h. die Integrationsregel kommt zum Einsatz, wenn das Produkt zweier Funktionen integriert werden soll. Dabei wird als Besonderheit nicht von einem Produkt der Form f() g() ausgegangen, sondern es wird stattdessen f() g () betrachtet. Warum das so ist, wird im Folgenden erläutert. Gemäß der Produktregel gilt Folgendes: Lösen wir die Gleichung nach f() g () auf, dann erhalten wir: Im nächsten Schritt integrieren wir beide Seiten der Gleichung: d d Da sich beim Ausdruck ( ( ) ( )) aufheben, erhalten wir durch partielle Integration: f g d die Ableitung und die Integration gegenseitig Laut dieser Formel lässt sich das Integral des Ausdruckes f() g () bestimmen, indem wir f() g () durch f() g() f () g() d substituieren und anschließend versuchen, das Integral des Ausdruckes f () g() d zu bestimmen. Auf den ersten Blick mag diese Substitution ziemlich unsinnig erscheinen: Zum einen wird der Ausdruck länger und zum anderen ersetzen wir ein Integral durch ein anderes. Der Hintergrund der partiellen Integration ist allerdings, dass das Integral f () g() d einfacher zu bestimmen ist als das Ausgangsintegral f() g () d und sich somit durch Anwendung der partiellen Integration eine Vereinfachung ergibt. Dieses Kalkül kann aufgehen, muss aber nicht. B Beispiel 7. Beispiel Ermitteln Sie das unbestimmte Integral e d mittels partieller Integration: Im ersten Schritt müssen wir bestimmen, welcher Ausdruck als f() bzw. g () gewählt wird. Diese Zuordnung ist typischerweise entscheidend, weil normalerweise nur eine Zuordnung erfolgreich ist. Leider lässt sich pauschal keine Regel definieren, wie die Zuordnung erfolgen sollte. Hier helfen nur Erfahrung und im Zweifelsfall das Ausprobieren. Für das gegebene Integral ist die folgende Zuordnung zielführend: 48

149 Integralrechnung Durch die partielle Integration erhalten wir: Beispiel Ermitteln Sie das unbestimmte Integral ² In d mittels partieller Integration: B Beispiel 7.3 Durch die partielle Integration erhalten wir: Integration durch Substitution Wir haben bereits die Kettenregel der Differenzialrechnung kennengelernt. Danach wird eine zusammengesetzte Funktion der Form y = f(g()) differenziert, indem wir die innere Funktion z = g() substituieren und anschließend die äußere Ableitung f(z) mit der inneren Ableitung multiplizieren. Ein vergleichbares Vorgehen wird bei der Integration durch Substitution gewählt. Hierbei wird für ein Integral der Form f(g()) g () d die Stammfunktion gebildet durch Substitution der inneren Funktion z = g(), wodurch sich das vereinfachte Integral f(z) dz ergibt. Beispiel Ermitteln Sie das unbestimmte Integral der folgenden Funktionen: a) ( + ) 4 4 d Substituieren Sie: dz z = + 4 = d = dz d 4 4 ( + 4) d = z dz 5 = z + c 0 = ( + ) + c B Beispiel

150 Lektion 7 b) + 8e 3 d Substituieren Sie: dz z = + 3 = d = dz d + 3 z 8e d = 8e dz = 4 z e dz z = 4e + c + 3 = 4e + c B Beispiel 7.5 Beispiel Ermitteln Sie das unbestimmte Integral: ( + ) d Zuerst kommt die partielle Integration zum Einsatz: Um die Stammfunktion des unbestimmten Integrals ( + ) nächstes der Integration durch Substitution: zu ermitteln, bedarf es als Substituieren Sie: z = + dz = d 3 3 g( ) = z dz = z + c = ( + ) + c ( + ) d = ( + ) ( + ) d = ( + ) ( + ) + c

151 Integralrechnung Fragen zur Selbstkontrolle. Finden Sie f(): a) f () = f() = b) f() = c) f () = ( ) f() =? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. d) f(0)=½ f() = e) f () = f() = f () = 5 f() = f) f () = f(0) = f (0) = f() =. Finden Sie die zugehörige Stammfunktion: 3. Die Grenzkostenfunktion eines Produktes ist K () = und die Fikosten sind 40. Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(). K() = 5

152 Lektion 7 7. Das bestimmte Integral In der vorigen Lektion haben wir das unbestimmte Integral als die Umkehrung der Differenzialrechnung kennengelernt. Neben dieser Interpretation wird die Integralrechnung auch alternativ genutzt, um für ein gegebenes Intervall [a, b] die Fläche zwischen einer Funktion und der -Achse zu bestimmen. Hierfür wird das bestimmte Integral benutzt. Auf die Herleitung der Flächenberechnung soll an dieser Stelle verzichtet werden. Das bestimmte Integral der Funktion f() mit der unteren Integrationsgrenze a sowie der oberen Integrationsgrenze b ist wie folgt definiert: b f ( ) d = F ( b ) F ( a ) a Das bedeutet, dass die Fläche zwischen der Kurve der Funktion y = f() und der -Achse im Intervall [a, b] der Differenz zweier Stammfunktionen an den Integrationsgrenzen entspricht. Fläche unter der Kurve y = f() im Intervall [a; b] y y = f() a b B Beispiel 7.6 Beispiel Berechnen Sie die Fläche unter der Funktion f() = ² mit den Integrationsgrenzen und 3. Im ersten Schritt bestimmen wir die Stammfunktion: d = 3 + c = 3 F ( ) Im zweiten Schritt setzen wir die Integrationsgrenze in die Stammfunktion ein und subtrahieren die Stammfunktion der unteren Integrationsgrenze von der oberen: 5

153 Integralrechnung Beachten Sie, dass die Integrationskonstante c bei der Subtraktion der beiden Stammfunktionen wegfällt. Wenn der Kurvenverlauf einer Funktion in dem zu betrachtenden Intervall nicht durchgängig oberhalb der -Achse verläuft, dann ist ein differenziertes Vorgehen notwendig. Das liegt daran, dass Integrale, bei denen der Kurvenverlauf der Funktion unterhalb der -Achse liegt, negative Werte annehmen. Fläche unter der Kurve y = f() mit Teilflächen y y = f() F F3 a F b Würden wir bei der Funktion aus Abbildung Fläche unter der Kurve y = f() mit Teilflächen die Fläche mittels der Differenz F(b) F(a) berechnen, dann wäre der berechnete Wert zu niedrig. Das liegt daran, dass das Flächenstück F3 von der Summe der Flächenstücke F + F aufgrund des negativen Vorzeichens von F3 subtrahiert werden würde. Um diesen Effekt zu vermeiden, ist es notwendig, dass wir Teilintervalle bilden, die die Lage der Nullstellen berücksichtigen. Anschließend summieren wir den Betrag der einzelnen Flächen F + F + F3 auf. Beispiel Berechnen Sie die Fläche unter der Funktion f() = ³ mit den Integrationsgrenzen und. Die Funktion f() = ³ hat eine einfache Nullstelle für = 0, sodass die gesuchte Fläche mittels der Teilintervalle (, 0) und (0, ) zu bestimmen ist. B Beispiel

154 Lektion 7? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die Fläche unter den Funktionen: a) Fläche = 3 b) ( + ) 3 d Fläche = c) Fläche = CLIX Wissenskontrolle im Internet Erfassen Sie Ihre Lernfortschritte Wissenskontrolle Haben Sie diese Lektion verstanden? Hervorragend. Dann kontrollieren Sie bitte jetzt Ihre Lernfortschritte auf unserer Lernplattform CLIX. Viel Erfolg! 54

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