Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
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- Ewald Voss
- vor 7 Jahren
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1 Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Klemens Fersch 7. September 0 Inhaltsverzeichnis Gebrochenrationale Funktion Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad 6. Aufgaben Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad 0. Aufgaben Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad 67. Aufgaben
2 Gebrochenrationale Funktion Gebrochenrationale Funktion x = 6 f (x) = x + x = 6 f (x) = x +x+ x f (x) = x 6 x y = y = x = y = x + Formen der Polynomfunktion f(x) = Z(x) N(x) = a nx n + a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 b m x m + b m x m + b m x m... + b x + b x + b 0 Zählerpolynom Z(x) = a n x n +a n x n +a n x n...+a x +a x +a 0 Zählergrad: n Nennerpolynom: f (x) = x + f (x) = x + x + (x + ) = x (x + )(x ) f (x) = x x (x + )(x ) f (x) = x f (x) = x + + x N(x) = b m x m +b m x m +b m x m...+b x +b x +b 0 Nennergrad: m Faktorisierte Form f(x) = a (x z )(x z )(x z )... (x n )(x n )(x n )... z, z, z... Nullstellen des Zählers n, n, n... Nullstellen des Nenners Definitions- und Wertebereich Definitionsbereich: Nullstellen des Nennerpolynoms ausschließen. Wertebereich: Bestimmung nur nach Kurvendiskussion möglich. f (x) = (x + ) D = R \ { } f (x) = x + x + x Nenner Null setzen x = 0 x = 0 / + x = ± x = x = D = R \ { ; }
3 Gebrochenrationale Funktion Nullstellen Nullstellen - Schnittpunkte mit der x-achse Zählerpolynom gleich Null setzen. siehe Algebra - Gleichungen f (x) = x + x + x Zähler Null setzen x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: (x + ) f (x) = (x + )(x ) Verhalten im Unendlichen - Grenzwert - Asymptoten Zählergrad>Nennergrad x f(x) = ± x f(x) = ± Das Vorzeichen der Glieder mit der höchsten Potenzen und der Grad der höchsten Exponenten, bestimmen das Vorzeichen des Grenzwerts. Grenzwert gegen plus Unendlich a n x b m ( )n ( ) = ± m Grenzwert gegen minus Unendlich a n x b m ( )n ( ) = ± m Zählergrad=Nennergrad+ x ± f (x) = ± Polynomdivision - schiefe Asymptote Zählergrad=Nennergrad f (x) = a n x ± b m horizontale Asymptote y = a n b m Zählergrad<Nennergrad f (x) = 0 x ± horizontale Asymptote y = 0 Zählergrad < Nennergrad x ± x + = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 Zählergrad = Nennergrad x + x + = x ± x = Horizontale Asymptote: y = Zählergrad = Nennergrad+ f (x) = x x ( ) = x ( ) x ( ) = ( ) P olynomdivision : (x ) : (x ) = x + (x x) x ( x ) f (x) = x + + x Schiefe Asymptote: y = x +
4 Gebrochenrationale Funktion Verhalten an den Definitionslücken - Grenzwert - Asymptoten D = R \ {x 0, x..} x 0, x.. sind Definitionslücken von f(x) f(x) = x x 0 vertikale Asymptote x = x 0 x + (x + ) = x (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = (x + ) x + (x + )(x ) = (x + ) x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = (x + ) x + (x + )(x ) = (x + ) x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Symmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung: f ( x) = f (x) Achsensymmetrie zur y-achse: f ( x) = f (x) Ableitung Ableitungen bildet man durch die Quotientenregel f (x) = Z (x) N(x) Z(x) N (x) (N(x)) Die erste Ableitung f (x) gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an. Die zweite Ableitung f (x) gibt die Krümmung der Funktion an der Stelle x an. f (x) = 0 (x+) (x+) = 0 (x+) = (x+) = (x+) f (x) = 0 (x +x+) ( ) (x+) (x +x+) = 0 ( x ) (x +x+) x+ = (x +x+) x+ (x +x+) = (x + ) = (x + ) = (x + ) f (x) = x +x+ x f (x) = (x+) (x ) (x +x+) x (x ) = (x +x 8x 8) (x +x +x) (x ) = x 0x 8 (x )
5 Gebrochenrationale Funktion Extremwerte Notwendige Bedingung:. Ableitung gleich Null setzen und Nullstellen bestimmen Hinreichende Bedingung: Einsetzen der Nullstellen x 0 in die. Ableitung f (x 0 ) > 0 Lokales Minimum bei x 0 f (x 0 ) < 0 Lokales Maximum bei x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 Terrassenpunkt f (x) = x 0x 8 x 8x + 6 = 0 x 0x 8 = 0 x / = +0 ± ( 0) ( ) ( 8) ( ) x / = +0 ± 6 x / = 0 ± 6 x = x = 0 6 x = x = f ( ) = 6 > 0 Tiefpunkt: ( / ) f ( ) = f ( ) < 0 Hochpunkt: ( /0) Monotonie Erste Ableitung gleich Null setzen und Nullstellen bestimmen. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann sich das Vorzeichen an den Nullstellen des Zählers und Nenners ändern. Nullstellen vom Zähler und Nenner x, x.. in die Vorzeichentabelle eintragen. Einen beliebigen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. Vorzeichentabelle mit f (x) x < x < x f (x) + 0 Graph steigend 0 fallend Vorzeichenwechsel keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend von + nach - Lokales Maximum bei x von - nach + Lokales Minimum bei x von + nach + Terrassenpunkt bei x von - nach - Terrassenpunkt bei x Wendepunkt Notwendige Bedingung:. Ableitung gleich Null setzen und Nullstellen bestimmen Hinreichende Bedingung: Einsetzen der Nullstellen x in die. Ableitung f (x ) 0 Wendepunkt bei x. f (x ) = 0 Kein Wendepunkt. 5
6 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Krümmung Zweite Ableitung gleich Null setzen und Nullstellen bestimmen. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann sich das Vorzeichen an den Nullstellen des Zählers und Nenners ändern. Nullstellen vom Zähler und Nenner x, x.. in die Vorzeichentabelle eintragen. Einen beliebigen Wert kleiner bzw. größer als Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. Vorzeichentabelle mit f (x) x < x < x f (x) + 0 Graph links gekrümmt 0 rechts gekrümmt Vorzeichenwechsel Kruemmung f (x) = x + 6x + x + 8 keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 + x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt von + nach - Wendepunkt bei x von - nach + Wendepunkt bei x von + nach + Flachpunkt bei x von - nach - Flachpunkt bei x Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad. Aufgaben () f (x) = x () f (x) = x () f (x) = x + () f (x) = x (5) f (x) = x (6) f (x) = x (7) f (x) = x (8) f (x) = x + (9) f (x) = x 5 (0) f (x) = x + x + () f (x) = x 6x + 9 () f (x) = 9x x + () f (x) = x x () f (x) = x + x + x + (5) f (x) = x + x + (6) f (x) = x + x 9 (7) f (x) = x + x (8) f (x) = x x (9) f (x) = x + x + (0) f (x) = x x 5 () f (x) = x x + x + () f (x) = x + x 6x + 9 () f (x) = x + x + x + x + x + () f (x) = x + x + x + 6
7 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgaben (5) f (x) = x x + x + x + 7
8 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad. Funktion/Faktorisieren Aufgabe () f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = x Definitionsbereich: D = R \ {0} f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 x (x) = 0 (x) = (x) = (x) f (x) = 0 x ( ) x (x ) = 0 ( x) (x ) = x (x ) = x (x ) = x x = x = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < 0 < x f(x) 0 + x ]0; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± x() = 0 8
9 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Horizontale Asymptote: y = 0 x 0 + x = x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 + x ]0; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; 0[ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 9
![Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x](/docs-images/48/20983488/images/page_9.jpg "keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 + x ]0; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; 0[ f (x) < 0")
10 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = () ( x) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) 8 f (x) , , 07 0, , , 0 0, , , 09 0, , 086 0, 066 0, 0, , 6 0, 8 0, 5 0, 5 0, 5 0, unendlich unendlich x f(x) f (x) f (x) 0 +unendlich unendlich 6 0, 5 0, 59 0, 5 0, 5 5 0, 6 0, 8 0, 0, , 086 0, 066 0, , , 06 0, 0 0, , , 07 0, ,
11 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = x Definitionsbereich: D = R \ {0} f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 x ( ) (x) = 0 ( ) (x) = (x) = (x) f (x) = 0 x x (x ) = 0 x (x ) = x (x ) = x (x ) = x x = x = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < 0 < x f(x) + 0 x ] ; 0[ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ]0; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: ( ) x ± x() = 0 Horizontale Asymptote: y = 0
12 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x 0 + x = x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 streng monoton steigend Kruemmung f (x) = x keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) + 0 x ] ; 0[ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]0; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt
![übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) + 0 + x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 streng monoton steigend Kruemmung f (x) = x keine Loesung Nullstelle](/docs-images/48/20983488/images/page_12.jpg "des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) + 0 x ] ; 0[ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]0; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt www.")
13 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( ) ( x) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) 8 f (x) , , 07 0, , , 0 0, , , 09 0, , 086 0, 066 0, 0, , 6 0, 8 0, 5 0, 5 0, 5 0, unendlich unendlich x f(x) f (x) f (x) 0 unendlich unendlich 0, 5 0, 59 0, 5 0, 5 5 0, 6 0, 8 0, 0, , 086 0, 066 0, , , , 0 0, , , 07 0, ,
14 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = x + Nenner faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x + ) Definitionsbereich: f (x) = x + D = R \ { }. Ableitungen und.ableitung f 0 (x + ) (x) = (x + ) = 0 (x + ) = (x + ) = (x + ) f (x) = 0 (x + x + ) ( ) (x + ) (x + x + ) 0 ( x ) = (x + x + ) x + = (x + x + ) x + = (x + x + ) (x + ) = (x + ) = (x + ) = x + 6x + x + 8 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < < x f(x) 0 + x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten:
15 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ± x( + x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x + (x + ) = x (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x + x + = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x + x + keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x + 6x + x + 8 keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 + x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 5
![Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x + 6x + x](/docs-images/48/20983488/images/page_15.jpg "+ 8 keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 + x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt")
16 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = () ( x+) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) , , 09 0, , 086 0, , 0, , 6 0, 8 0, 5 0, 5 0, 5 0, 59 +unendlich unendlich 6 0, 5 0, , 5 0, 5 x f(x) f (x) f (x) 0 0, 5 0, 5 5 0, 6 0, 8 0, 0, , 086 0, 066 0, , , 06 0, 0 0, , , 07 0, , , 078 0, , , 08 0, ,
17 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 / + x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x ) Definitionsbereich: D = R \ {} f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f 0 (x ) ( ) (x) = (x ) = 0 ( ) (x ) = (x ) = (x ) f (x) = 0 (x x + ) (x ) (x x + ) 0 (x ) = (x x + ) x + = (x x + ) x + = (x x + ) (x ) = (x ) = (x ) = x 6x + x 8 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < < x f(x) + 0 x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ]; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: 7
18 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ± ( ) x( x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x + (x ) = x (x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x x + = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x x + keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 streng monoton steigend Kruemmung f (x) = x 6x + x 8 keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) + 0 x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 8
![Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) + 0 + x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 streng monoton steigend Kruemmung f (x) = x 6x + x 8](/docs-images/48/20983488/images/page_18.jpg "keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) + 0 x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt www.")
19 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( ) ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) , , 08 0, , , 078 0, , , 07 0, , , 0 0, , , 09 0, , 086 0, 066 0, 0, , 6 0, 8 0 0, 5 0, x f(x) f (x) f (x) 0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 59 6 unendlich unendlich 0, 5 0, 59 0, 5 0, 5 5 0, 6 0, 8 5 0, 0, , 086 0, , , ,
20 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (5) Funktion/Faktorisieren f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 / + x = ( / : ) x = x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x + ) Definitionsbereich: D = R \ { } f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 ( x ) ( ) ( ) ( x ) 0 9 = ( x ) 9 = ( x ) 9 = ( x ) f (x) = 0 ( 9 x + x + ) ( 9 ) ( 8 9 x + ) ( 9 x + x + ) 6 0 ( 8 = x 7 ) ( 9 x + x + ) 6 8 = x + 7 ( 9 x + x + ) 6 8 = x + 7 ( 9 x + x + ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < < x f(x) 0 + x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse 0
21 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± x + ( ) x( = 0 x ) Horizontale Asymptote: y = 0 (x + ) = x (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: 9 f (x) = 9 x + x + keine Loesung = 0 Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) 9 f (x) = 9 x + x + keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = 6 8 x x x + 7 = 0 / x = 7 x = x + x + x + 6 / : 6 8 x = x = ; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle
22 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x < < x < < x f (x) x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( ) ( x ) 8 Ableitung von f(x)
23 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) 7 5 0, 08 0, 00 0, 05 0, , 08 0, , 0 0, , 077 0, 0 5 0, 056 0, 09 0, 07 0, 09 0, 066 0, , , , 6 0, , 0, 5 0, 889, 7 8, 0, 8, 0 6, 0 0, 889, 7 x f(x) f (x) f (x) 0 0, 889, 7 5 0, 0, 5 7 0, 6 0, , , , 066 0, 08 0, 07 0, , 056 0, , 077 0, 0 9 0, 0 0, 009 0, 08 0, , 05 0, , 08 0, , 0 0, , , , 008 0,
24 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (6) Funktion/Faktorisieren f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = x Definitionsbereich: D = R \ {0} f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 x x (x ) = 0 x (x ) = x (x ) = x (x ) = x x = x = x f (x) = 0 x ( ) x (x ) = 0 (x ) (x ) = 6x (x ) = 6x (x ) = 6x x 6 = 6 x = 6 x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < 0 < x f(x) x ] ; 0[ ]0; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten:
25 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x () = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x ± x 0 + x = x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) + 0 x ] ; 0[ f (x) > 0 streng monoton steigend x ]0; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = 6 x keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 linksgekrümmt 5
26 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = () ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) 7 9 0, , 005 0, 07 0, , , , , 0 0, 0 0, , 06 0, , 09 0, , 0 0, 0 9 0, 066 0, 0 9 0, 07 0, , 8 0, 5 0, 5 0, , 59, , 0 +unendlich 0 unendlich x f(x) f (x) f (x) 0 +unendlich 0 unendlich 96, 6 9 0, 59, 9 0, 5 0, , 8 0, 5 9 0, 07 0, , 066 0, 0 6 0, 0 0, 0 8 0, 09 0, , 06 0, , 0 0, 0 0, , , , 07 0, , , ,
27 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (7) Funktion/Faktorisieren f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = x Definitionsbereich: D = R \ {0} f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 x ( ) x (x ) = 0 ( x) (x ) = x (x ) = x (x ) = x x = x = x f (x) = 0 x x (x ) = 0 6x (x ) = x (x ) = x (x ) = x x 6 = x = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < 0 < x f(x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: 7
28 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad ( ) x ± x () = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x 0 + x = x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 + x ]0; [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 0[ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 8
29 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( ) ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) 7 9 0, , 005 0, 07 0, , , , , 0 0, 0 0, , 06 0, , 09 0, , 0 0, 0 9 0, 066 0, 0 9 0, 07 0, , 8 0, 5 0, 5 0, , 59, 9 96, 0 unendlich 0 +unendlich x f(x) f (x) f (x) 0 unendlich 0 +unendlich 6 96, 9 0, 59, 9 0, 5 0, , 8 0, 5 9 0, 07 0, , 066 0, 0 6 0, 0 0, 0 8 0, 09 0, , 06 0, , 0 0, 0 0, , , , 07 0, , , ,
30 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (8) Funktion/Faktorisieren f (x) = x + Nenner faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : x = keine Lösung Faktorisierter Term: f (x) = (x + ) Definitionsbereich: f (x) = x + D = R. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 (x + ) x (x + ) = 0 6x (x + ) = x (x + ) = x (x + ) f (x) = () (x + 8x + 6) (x) (x + 6x) (x + 8x + 6) = (x 8x 96) ( x 96x ) (x + 8x + 6) = 8x + 8x 96 (x + 8x + 6) = 8x + 8x 96 (x + 8x + 6) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f(x) > 0 oberhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± x ( + x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: 0
31 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad f x (x) = x + 8x + 6 = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle f (0) = 8 f (0) < 0 Hochpunkt:(0/ ) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f x (x) = x + 8x + 6 x = 0; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x < 0 < x f (x) + 0 x ] ; 0[ f (x) > 0 streng monoton steigend x ]0; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f 8x + 8x 96 (x) = x 8 + 6x x + 56x + 56 u = x u = x 8u + 8u 96 = 0 u / = 8 ± 8 8 ( 96) 8 u / = 8 ± 9, ± 96 u / = u = u = x = u = u = x = ± x =, 5 x =, 5 x = x = ± Diskriminante negativ keine Lösung x =, 5; -fache Nullstelle x =, 5; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x <, 5 < x <, 5 < x f (x) x ] ;, 5[ ], 5; [ f (x) > 0 linksgekrümmt
32 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ], 5;, 5[ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle 8 f(x) = () ( x +) Ableitung von f(x) 6 6 x f(x) f (x) f (x) 7 5 0, 05 0, , 069 0, 08 0, , 05 0, , , 08 0, , 057 0, , 059 0, , 06 0, , , 058 0, 07 0, 068 0, 0, , , 0, , 0, , 66 0, , 75 8 x f(x) f (x) f (x) 0 0 0, , 66 0, 5 5 0, 0, , 0, , 097 0, 0, 08 0, 07 0, , , , 06 0, , 059 0, , 057 0, , , 08 0, , 05 0, , 069 0, 08 0, , 05 0,
33 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad
34 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (9) Funktion/Faktorisieren f (x) = x Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x + )(x ) Definitionsbereich: D = R \ { ; } f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 (x ) ( ) x (x ) = 0 ( 8x) (x ) 8x = (x ) 8x = (x ) f (x) = 8 (x 8x + 6) 8x (x 6x) (x 8x + 6) = (8x 6x + 8) (x 8x ) (x 8x + 6) = x + 6x + 8 (x 8x + 6) = x + 6x + 8 (x 8x + 6) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < < x < < x f(x) x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten:
35 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ± ( ) x ( x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x + (x + )(x ) = x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = x + (x + )(x ) = x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f 8x (x) = x 8x + 6 = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle f (0) = > 0 Tiefpunkt:(0/) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f 8x (x) = x 8x + 6 x = 0; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x 5 = ; -fache Nullstelle x 6 = ; -fache Nullstelle x < < x < 0 < x < < x f (x) x ]0; [ ]; [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ ] ; 0[ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f x + 6x + 8 (x) = x 8 6x x 56x + 56 u = x u = x u + 6u + 8 = 0 u / = ± 6 ( ) 8 ( ) u / = ±, ± 8 u / = u = u =
36 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad u = u = x = x = ± Diskriminante negativ keine Lösung x = x = ± x = x = x 7 = ; -fache Nullstelle x 8 = ; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x 9 = ; -fache Nullstelle x 0 = ; -fache Nullstelle x < < x < < x f (x) x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 6
37 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( ) ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) 7 5 0, 077 0, 0 0, 05 0, 055 0, , 069 0, , 5 0, 069 0, , , , 6 0, 0, 0, 6 0, 0, , 96, , 96 unendlich, 7 0 +unendlich 7, 9 6, 0, 889, , 8 0, , 5 x f(x) f (x) f (x) 0 0 0, 5 5 0, 8 0, 7 0, 889, 07 7, 9 6, unendlich, 7 0 +unendlich 7 9, , 96, , 0, 58 0, 0, , 6 0, 5 0, , , 5 0, 069 0, , 069 0, , 05 0, 055 0, , 077 0, 0 7
38 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (0) Funktion/Faktorisieren 5 f (x) = x + x + Nenner faktorisieren: x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: 5 f (x) = (x + ) Definitionsbereich: 5 f (x) = x + x + D = R \ { }. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 (x + x + ) 5 (x + ) (x + x + ) = 0 ( 5 x + 5 ) (x + x + ) 5 = x 5 (x + x + ) 5 = x 5 (x + x + ) = 5 (x + ) (x + ) = 5 (x + ) 5 = x + x + x + f (x) = 0 (x + x + x + ) ( 5 ) (x + 6x + ) (x + x + x + ) = 0 ( 5 x 5 x 5 ) (x + x + x + ) = 5 x + 5 x + 5 (x + x + x + ) = 5 x + 5 x + 5 (x + x + x + ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: 5 = 0 keine Loesung 8
39 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Vorzeichentabelle: x < < x f(x) x ] ; [ ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± 5 x ( + x + x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x + x 5 (x + ) = 5 (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f 5 (x) = x + x + x + = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f 5 (x) = x + x + x + keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) + 0 x ] ; [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f 5 (x) = x + 5 x + 5 x 6 + 6x 5 + 5x + 0x + 5x + 6x + 5 x + 5 x + 5 = 0 x / = 5 ± x / = 5 ± 0 5 x / = 5 ±
40 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x = x = x = ; 5 x = x = -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) x ] ; [ ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle 8 f(x) = ( 5 ) ( x + x+) Ableitung von f(x)
41 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) 7 0, , , , , 00 0, 00 0, 008 0, 00 0, , , 009 0, , , , 06 0, 009 0, , 08 0, 08 0, 0 0, 056 0, , 05 0, , 9 0, 7 5 0,, 5, 9, +unendlich 0 unendlich 5, 9, 0 5 0,, x f(x) f (x) f (x) 0 5 0,, 5 0, 9 0, 7 0 0, 05 0, 075 0, 0 0, 056 0, , 08 0, 08 0, 06 0, 009 0, , , , , 009 0, 009 0, 008 0, 00 0, 009 0, , 00 0, , , , , 007 0, 006 0, , , 007 0, , , , , 00 0, ,
42 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = x 6x + 9 Nenner faktorisieren: x 6x + 9 = 0 x 6x + 9 = 0 x / = +6 ± () 9 x / = +6 ± 0 x / = 6 ± 0 x = x = 6 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x ) Definitionsbereich: D = R \ {} f (x) = x 6x + 9. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 (x 6x + 9) ( ) (x 6) (x 6x + 9) 0 ( x + 9) = (x 6x + 9) x 9 = (x 6x + 9) x 9 = (x 6x + 9) (x ) = (x ) = (x ) = x 9x + 7x 7 f (x) = 0 (x 9x + 7x 7) (x 8x + 7) (x 9x + 7x 7) = 0 (9x 5x + 8) (x 9x + 7x 7) 9x + 5x 8 = (x 9x + 7x 7) 9x + 5x 8 = (x 9x + 7x 7) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung
43 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Vorzeichentabelle: x < < x f(x) 0 x ] ; [ ]; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± ( ) x ( 6 x + 9 x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x + (x ) = x (x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x 9x + 7x 7 = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x 9x + 7x 7 keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 + x ]; [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f 9x + 5x 8 (x) = x 6 8x 5 + 5x 50x +, 0 x, 6 0 x x + 5x 8 = 0 x / = 5 ± 5 ( 9) ( 8) ( 9) x / = 5 ± 0 8 x / = 5 ± 0 8 x = x = x = x =
44 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x = ; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle 8 f(x) = ( ) ( x x+9) Ableitung von f(x)
45 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) 7 0, 05 0, 00 0, , 066 0, 005 0, , 00 0, , 008 0, , , 0 0, , , 007 0, , , , 055 0, 009 0, , , 096 0, 08 0, , 0 0, 0 7 0, 09 0, 09 0, 069 0, , 07 0, , 0, x f(x) f (x) f (x) 0 6 0, 0, 6 5 0, 9 0, 8 0, 75 0, 56 0, 889, 78 9, unendlich 0 +unendlich, 9 0, 889, , 75 0, , 9 0, 6 6 0, 0, , 07 0, , 069 0,
46 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = 9x x + Zaehler faktorisieren: 9x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : x = keine Lösung Faktorisierter Term: 9x f (x) = (x + ) Definitionsbereich: f (x) = 9x x + D = R. Ableitungen und.ableitung f (x) = 9 (x + ) 9x x (x + ) = (9x + 7) 8x (x + ) = 9x + 7 (x + ) = 9x + 7 (x + ) f (x) = ( 8x) (x + 6x + 9) ( 9x + 7) (x + x) (x + 6x + 9) = ( 8x5 08x 6x) (x 5 + x) (x + 6x + 9) = 8x5 08x 86x (x + 6x + 9) = 8x5 08x 86x (x + 6x + 9) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: 9x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f(x) 0 + x ]0; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: 6
47 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ± x(9) x ( + x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = 9x + 7 x + 6x + 9 = 0 9x + 7 = 0 / 7 9x = 7 / : ( 9) x = 7 9 x = ± x =, 7 x =, 7 x =, 7; -fache Nullstelle x =, 7; -fache Nullstelle f (, 7) = 0, 866 > 0 Tiefpunkt:(, 7/, 6) f (, 7) = 0, 866 f (, 7) < 0 Hochpunkt:(, 7/, 6) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = 9x + 7 x + 6x + 9 x 5 =, 7; -fache Nullstelle x 6 =, 7; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x <, 7 < x <, 7 < x f (x) x ], 7;, 7[ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ;, 7[ ], 7; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f 8x 5 08x 86x (x) = x 8 + x 6 + 5x + 08x + 8 x(8x 08x 86) = 0 x = 0 8x 08x 86 = 0 u = x u = x 8u 08u 86 = 0 u / = +08 ± ( 08) 8 ( 86) 8 u / = +08 ±, ± 6 u / = u = u = 6 6 u = 9 u = x = 9 7
48 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x = ± 9 x = x = x = x = ± Diskriminante negativ keine Lösung x 7 = 0; -fache Nullstelle x 8 = ; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x < 0 < x < < x f (x) x ] ; 0[ ]; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]0; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = (9 x) ( x +) Ableitung von f(x)
49 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) 7 5 0, 5 0, 058, 9 0, 7 0, 0 5 0, 95 0, 09 5, 9 0, 0, , 5 0, , 87 0, , 0, , 58 0, , 75 9, , 0, , 8 0, , 5, 6,, 5 5,, x f(x) f (x) f (x) ,, 9,, 5 7 0, 5, 6 7 0, 8 0, , 0, 56 0, 75 9, , 58 0, , 0, 075 0, 87 0, , 5 0, , 9 0, 0, , 95 0, 09 6, 9 0, 7 0, , 5 0,
50 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = x x Zaehler faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = x x Definitionsbereich: D = R \ {0} Term gekürzen f (x) = x f (x) = x. Ableitungen und.ableitung f (x) = 0 x (x) = 0 (x) = (x) = (x) f (x) = 0 x ( ) x (x ) = 0 ( x) (x ) = x (x ) = x (x ) = x x = x = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < 0 < x f(x) 0 + x ]0; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse 50
51 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ] ; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x() x () = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 x ± x 0 + x = x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x f (x) 0 + x ]0; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; 0[ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 5
52 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( x) ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) , , 07 0, , , 0 0, , , 09 0, , 086 0, 066 0, 0, , 6 0, 8 0, 5 0, 5 0, 5 0, 59 0 NaN NaN 8 x f(x) f (x) f (x) 0 NaN NaN 6 0, 5 0, 59 0, 5 0, 5 5 0, 6 0, 8 0, 0, , 086 0, 066 0, , , , 0 0, , , 07 0, ,
53 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe () Funktion/Faktorisieren f (x) = x + x + x + Zaehler faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : ( ) x = x = x = ; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: (x ) f (x) = (x + ) Definitionsbereich: f (x) = x + x + x + D = R \ { }. Ableitungen und.ableitung f (x) = ( ) (x + x + ) ( x + ) (x + ) (x + x + ) = ( x x ) ( x + ) (x + x + ) = x x (x + x + ) = x x (x + x + ) = (x + )(x ) (x + ) = (x ) (x + ) = x x + x + x + f (x) = (x + x + x + ) ( x ) (x + 6x + ) (x + x + x + ) = ( x + x + x + ) ( x x x ) (x + x + x + ) 5
54 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad = x + 9x + 7x + 5 (x + x + x + ) = x + 9x + 7x + 5 (x + x + x + ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: x + = 0 x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < < x f(x) x ] ; [ ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ]; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± x( + x ) x ( + x + x ) = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 (x ) x + (x + ) = (x ) x (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x x + x + x + = 0 x = 0 / + x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle f () = 0, 0 > 0 Tiefpunkt:(/ 6 ) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x x + x + x + x 5 = ; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x 6 = ; -fache Nullstelle 5
55 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x < < x < < x f (x) x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f x + 9x + 7x + 5 (x) = x 6 + 6x 5 + 5x + 0x + 5x + 6x + x + 9x + 7x + 5 = 0 Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( x +9x +7x +5 ) : (x + ) = x + x + 5 ( x x ) x +7x +5 (x +x) 5x +5 (5x +5) 0 x + x + 5 = 0 x / = ± ( ) 5 ( ) x / = ± ± 8 x / = + 8 x = x = x = x = 5 x 7 = ; -fache Nullstelle x 8 = 5; -fache Nullstelle 8 Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x 9 = ; -fache Nullstelle x < < x < 5 < x f (x) x ] ; [ ] ; 5[ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]5; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 55
56 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( x+) ( x + x+) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) f (x) , 7 0, , , 08 0, , 0, , 88 0, 7 9 0, 6 0, , 89 0, 5 0, 6 0, 65,, 5, 5, 5 7, 5 5 5, +unendlich unendlich 9, 65 0, 5 5 x f(x) f (x) f (x) 0, 5 5,, , 75 0, , 0, , , 9 9 0, 075 0, 05 6, , , 008 0, , 0 0, 008 0, 7 0, 05 0, , 6 0, 07 0, , 0 0, , 0 0, , 07 0,
57 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (5) Funktion/Faktorisieren f (x) = x + x + Zaehler faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : x = keine Lösung Faktorisierter Term: (x + ) f (x) = (x + ) Definitionsbereich: D = R f (x) = x + x +. Ableitungen und.ableitung f (x) = (x + ) (x + ) x (x + ) = (x + ) (x + x) (x + ) = x x + (x + ) = x x + (x + ) f (x) = ( x ) (x + x + ) ( x x + ) (x + x) (x + x + ) = ( x5 x x x x ) ( x5 6x 8x + x) (x + x + ) = x5 + x x + x x (x + x + ) = x5 + x x + x x (x + x + ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: x + =
58 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x f(x) 0 + x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x ± x( + x) x ( + = 0 x ) Horizontale Asymptote: y = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x x + x + x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) ( ) ( ) x / = + ± 8 ±, x / = +,, x = x = x =, x = 0, x =, ; -fache Nullstelle x = 0, ; -fache Nullstelle f (, ) = 0, 09 > 0 Tiefpunkt:(, / 0, ) f (0, ) = f (0, ) < 0 Hochpunkt:(0, /, ) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x x + x + x + x 5 =, ; -fache Nullstelle x 6 = 0, ; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x <, < x < 0, < x f (x) x ], ; 0, [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ;, [ ]0, ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend 58
59 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Kruemmung f (x) = x5 + x x + x x x 8 + x 6 + x + x + 6 N umerischesuche : x 7 =, ; -fache Nullstelle x 8 = 0, 08; -fache Nullstelle x 9 = 0, 5; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x <, < x < 0, 08 < x < 0, 5 < x f (x) x ] 6, ; 0, 08[ ]0, 5; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ;, [ ] 0, 08; 0, 5[ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle 8 f(x) = ( x+) ( x + ) Ableitung von f(x)
60 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) , , , , , , , 0, 008 0, , , , , , 008 0, , 08 0, , 088 0, , 09 0, 6 0 0, 0, 95 0, 56, 09, 56, 6 5, 0 x f(x) f (x) f (x) 0, 0, 596, 67, 0, 8 9 0, 568 0, 65 0, 6 0, , 7 0, , 58 0, 06 0, 6 0, , , , 068 0, , 057 0, , 07 0, , 99 0, 07 0, 0 7 0, 0 0,
61 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (6) Funktion/Faktorisieren f (x) = x + x 9 Zaehler faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : ( ) x = x = x = ; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x 9 = 0 x 9 = 0 / + 9 x = 9 / : x = 9 x = ± 9 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: (x ) f (x) = (x + )(x ) Definitionsbereich: D = R \ { ; } Term gekürzen f (x) = (x + ) f (x) = x +. Ableitungen und.ableitung f 0 (x + ) ( ) (x) = (x + ) = 0 ( ) (x + ) = (x + ) = (x + ) f (x) = 0 (x + 6x + 9) (x + 6) (x + 6x + 9) 0 (x + 6) = (x + 6x + 9) x 6 = (x + 6x + 9) x 6 = (x + 6x + 9) (x + ) = (x + ) = (x + ) 6
62 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad = x + 9x + 7x + 7 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: = 0 keine Loesung Vorzeichentabelle: x < < x f(x) + 0 x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x( + x ) x ± x ( 9 = 0 x ) Horizontale Asymptote: y = 0 x + (x + ) = x (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x + 6x + 9 = 0 keine Loesung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x + 6x + 9 keine Loesung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) x ] ; [ ] ; [ f (x) > 0 streng monoton steigend Kruemmung f (x) = x + 9x + 7x + 7 keine Loesung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x 5 = ; -fache Nullstelle 6
63 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x < < x f (x) + 0 x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle 8 f(x) = ( x+) ( x 9) Ableitung von f(x)
64 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) 7 0, , 086 0, 066 0, 0, , 6 0, 8 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, unendlich unendlich 0, 5 0, 59 0, 5 0, 5 5 0, 6 0, 8 0 0, 0, 07 x f(x) f (x) f (x) 0 0, 0, , 086 0, 066 0, , , 06 0, 0 0, 0 NaN 6 NaN 0, 07 0, , , 078 0, , , 08 0, , , 0 0, , 0 0,
65 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (7) Funktion/Faktorisieren f (x) = x + x Zaehler faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x + ) x Definitionsbereich: D = R \ {0} f (x) = x + x. Ableitungen und.ableitung f (x) = x (x + ) x (x ) = x (x + x) (x ) = x x (x ) = x x (x ) (x + )x = x (x + ) = x = x x f (x) = ( ) x ( x ) x (x ) = ( x ) (x 6x ) (x ) = x + 6x (x ) = x + 6x (x ) = (x + )x x 6 = (x + ) x = x + 6 x 65
66 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: x + = 0 x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f(x) x ] ; 0[ ]0; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x( + x) x ± x = 0 () Horizontale Asymptote: y = 0 (x + ) x 0 + x = (x + ) x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x x = 0 x = 0 / + x = / : ( ) x = x = x = ; -fache Nullstelle f ( ) = > 0 Tiefpunkt:( / ) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x x x 5 = ; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x 6 = 0; -fache Nullstelle x < < x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ f (x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ ]0; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = x + 6 x 66
67 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x + 6 = 0 / 6 x = / : x = x = x 7 = ; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x 8 = 0; -fache Nullstelle x < < x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 67
68 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( x+) ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) 8 f (x) 7 9 0, 05 0, , 8 0, 00 0, 0 6 0, , 0, 05 0, , 06 0, 0 8 0, , , 098 0, , 7 0, , , 9 0, 0 0, , 96 0, , , 0 6, 0 +unendlich unendlich x f(x) f (x) f (x) 0 +unendlich unendlich , 8, 7 0, 75 0, , 8 0, 7 9 0, 96 0, 9 0, 0, 9 6 0, 56 0, , 0, , 096 0, , 97 0, 078 0, , 068 0, 0 6 0, 0, 056 0, , 066 0,
69 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (8) Funktion/Faktorisieren f (x) = x x Zaehler faktorisieren: x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: f (x) = (x ) x Definitionsbereich: D = R \ {0} f (x) = x x. Ableitungen und.ableitung f (x) = x (x ) x (x ) = x (6x x) (x ) = x + x (x ) = x + x (x ) = x(x ) x = (x ) x = x + x f (x) = ( ) x ( x + ) x (x ) = ( x ) ( 9x + 6x ) (x ) = 6x 6x (x ) = 6x 6x (x ) = 6x (x ) x 6 6(x ) = x = 6x 6 x 69
70 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: x = 0 x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x < < x f(x) x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ ]0; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwerte und Asymtoten: x( x ) x ± x = 0 () Horizontale Asymptote: y = 0 (x ) x 0 + x = (x ) x 0 x = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x + x = 0 x + = 0 / x = / : ( ) x = x = x = ; -fache Nullstelle f ( ) = 0 8 f ( ) < 0 Hochpunkt:( / ) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x + x x 5 = ; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x 6 = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x < < x f (x) x ]0; [ f (x) > 0 streng monoton steigend 70
71 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x ] ; 0[ ] ; [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = 6x 6 x 6x 6 = 0 / + 6 6x = 6 / : 6 x = 6 6 x = x 7 = ; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x 8 = 0; -fache Nullstelle x < 0 < x < < x f (x) x ]; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt 7
72 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Funktionsgraph und Wertetabelle f(x) = ( x ) ( x ) Ableitung von f(x) x f(x) f (x) 8 f (x) 7 9 0, 067 0, 0 0, 85 0, 078 0, , 0 5 0, 579 0, 0, , 6 0, , 7 0, , 9 0, , 9 0, 8 0, 07 0, , 608 0, 58, 9, 9, , 0 unendlich unendlich x f(x) f (x) f (x) 0 unendlich unendlich, 0 8, 0, , 7 0, 59 0, 5 0, , 5 0, 8 9 0, 59 0, , 98 0, 6 0, 56 0, , 6 0, , 0 0, , 5 0, 087 0, , 0 6 0, 8 0, 067 0, , 055 0,
73 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (9) Funktion/Faktorisieren f (x) = x + x + Zaehler faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : ( ) x = x = 8 x = 8 ; -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x + = 0 x + = 0 / x = / : x = keine Lösung Faktorisierter Term: f (x) = (x 8 ) (x + ) Definitionsbereich: f (x) = x + x + D = R. Ableitungen und.ableitung f (x) = ( ) (x + ) ( x + ) x (x + ) = ( x 6) ( 8x + x) (x + ) = x x 6 (x + ) = x x 6 (x + ) f (x) = (8x ) (x + 8x + 6) (x x 6) (x + 6x) (x + 8x + 6) = (8x5 x + 6x 8x + 8x 6) (6x 5 x 6x 56x) (x + 8x + 6) = 8x5 + x + 6x + 8x + 8x 6 (x + 8x + 6) = 8x5 + x + 6x + 8x + 8x 6 (x + 8x + 6) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: x + = 0 x = 8 ; -fache Nullstelle 7
74 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Vorzeichentabelle: x < 8 < x f(x) + 0 x ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse 8 x ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse 8 Grenzwerte und Asymtoten: x( + x ) x ± x ( + = 0 x ) Horizontale Asymptote: y = 0 Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x x 6 x + 8x + 6 = 0 x x 6 = 0 x / = + ± ( ) () x / = + ± 57 8 x / = ± 6 8 x = + 6 x = x =, x =, 88 x =, 88; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle f (, 88) = 0, 8 f (, 88) < 0 Hochpunkt:(, 88/, 06) f (, ) = 0, > 0 Tiefpunkt:(, / 0, 99) Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x x 6 x + 8x + 6 x 5 =, 88; -fache Nullstelle x 6 =, ; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x <, 88 < x <, < x f (x) x ] ;, 88[ ], ; [ f (x) > 0 streng monoton steigend x ], 88;, [ f (x) < 0 streng monoton fallend Kruemmung f (x) = 8x5 + x + 6x + 8x + 8x 6 x 8 + 6x x + 56x
75 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad N umerischesuche : x 7 =, ; -fache Nullstelle x 8 = 0, 06; -fache Nullstelle x 9 =, 6; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x <, < x < 0, 06 < x <, 6 < x f (x) x ] ;, [ ]0, 06;, 6[ f (x) > 0 linksgekrümmt x ], ; 0, 06[ ], 6; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Funktionsgraph und Wertetabelle 8 f(x) = ( x+ ) ( x +) Ableitung von f(x)
76 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x f(x) f (x) f (x) 7 0, 58 0, , 09 0, 57 0, 076 0, , 088 0, , 657 0, 09 0, , 06 0, , 8 0, , 0, , 8 0, , 6 0, 0 0, 09 0, , 0 0, 5 0, 0, , 0, , 80 0, , 065 x f(x) f (x) f (x) 0 8 0, , 858 0, , 5 0, , 8 0, , 0 0, , 069 0, 6 0, 0 0, , 0, , 0, , 0 0, , 099 0, , 68 0, 088 0, , 076 0, , 55 0, , , 59 0, 066 0,
77 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgabe (0) Funktion/Faktorisieren f (x) = x x Zaehler faktorisieren: x = 0 x = 0 / + x = x = x = 8 x = 8 ; / : -fache Nullstelle Nenner faktorisieren: x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Faktorisierter Term: (x 8 f (x) = ) (x + )(x ) Definitionsbereich: D = R \ { ; } f (x) = x x. Ableitungen und.ableitung f (x) = (x ) (x ) x (x ) = (x 8) (x x) (x ) = x + x 8 (x ) = x + x 8 (x ) f (x) = ( x + ) (x 8x + 6) ( x + x 8) (x 6x) (x 8x + 6) = ( x5 + x + x x 6x + 8) ( 8x 5 + x 8x + 8x) (x 8x + 6) = x5 x + x + x 9x + 8 (x 8x + 6) = x5 x + x + x 9x + 8 (x 8x + 6) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: 77
78 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad x = 0 x = 8 ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 8 < x < < x f(x) x ] ; [ ]; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse 8 x ] ; [ ] ; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse 8 Grenzwerte und Asymtoten: x ± x( x ) x ( = 0 x ) Horizontale Asymptote: y = 0 (x 8 ) x + (x + )(x ) = (x 8 ) x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = (x 8 ) x + (x + )(x ) = (x 8 ) x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f (x) = x + x 8 x 8x + 6 = 0 x + x 8 = 0 x / = ± ( ) ( 8) ( ) x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f (x) = x + x 8 x 8x + 6 Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x 5 = ; -fache Nullstelle x 6 = ; -fache Nullstelle x < < x < < x f (x)
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................
Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4
Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte
Formelsammlung Analysis
Formelsammlung Analysis http://www.fersch.de Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.............................................. Grenzwert von f(x) für x gegen x0...................................
GF MA Differentialrechnung A2
Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen x i ( i! ) einer Funktion f gilt: Steigen bzw. Fallen: f ( x i ) = 0 f '( x) > 0 im Intervall I f ist streng monoton wachsend in I f '( x) < 0 im Intervall
Zusammenfassung der Kurvendiskussion
Zusammenfassung der Kurvendiskussion Diskussionspunkte 1 Größtmögliche Definitionsmenge D f 2 Symmetrieeigenschaften des Graphen G f 3 Nullstellen, Polstellen, Schnittpunkte mit der y-achse, Vielfachheit
I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen:
I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen: 1. Definitionslücken bestimmen: Nenner wird gleich 0 gesetzt! 2. Prüfung ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Eine hebbare Definitionslücke liegt
5 Gebrochen-rationale Funktionen
5 Gebrochen-rationale Funktionen 5. Definition: Eine Funktion f, deren Term f(x) als Bruch Z(x) N(x) von zwei Polynomfunktion Z(x) und N(x) geschrieben werden kann und deren Nennergrad größer als 0 ist,
Quadratische Funktion Aufgaben und Lösungen
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