LÖSUNGEN Kurvendiskussion
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- Björn Axel Fürst
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1 M. Sc.Petra Clauÿ Wintersemester 2015/16 Mathematische Grundlagen und Analysis 24. November 2015 LÖSUNGEN Kurvendiskussion Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen folgender Funktionen an der angegebenen Stelle: a) f(x) = 2x 2 + 6x 9 an x 0 = 2 T (x) = 2x 1 b) f(x) = x 2x 1 + ex ln x T (x) = 16, 32x 23, 97 an x 0 = 3 c) C(t) = 3 t 4 (6t + 1) 3 t an t 0 = 1, 5 T (t) = 7, 885t + 2, 100 d) h(s) = se 3s an s 0 = 4 T (s) = 0, s + 0, Aufgabe 2. Untersuchen Sie das Steigungsverhalten folgender Funktionen: a) f(x) = 12x 2 + 8x + 4 b) f(t) = t ln t ( ; 1 ) ( ) ; + f (x) + 0 Monotonie steigt fällt 1
2 ( 0; 1 ) ( ) 1 1 e e e ; + f (t) 0 + Monotonie fällt steigt c) f(x) = (x 2 + 4)e (x+3) f (x) = ( x x 4) e (x+3) 1 Der Faktor e ( x + 3) ist immer positiv für alle x D, der Faktor ( x2 +2x 4) ist immer negativ. Also ist f (x) überall fallend. d) u(s) = s 1 s 2 + s + 4 ( ) ; ( ) 1 6; ( ) 1 + 6; + u (s) Monotonie fällt steigt fällt Aufgabe 3. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten folgender Funktionen: a) f(x) = x 3 6x x + 5 b) f(t) = t2 + 1 t 1 ( ; 2) 2 (2; + ) f (x) 0 + Krümmumg rechtsgekrümmt linksgekrümmt ( ; 1) (1; + ) f (t) + Krümmumg rechtsgekrümmt linksgekrümmt 2
3 c) h(z) = z 2 e z ( ) ; (2 2; 2 + 2) ( ) 2 + 2; + h (z) Krümmumg linksgekrümmt rechtsgekrümmt linksgekrümmt d) g(u) = u 2 ln u ( ) 0; e 3 2 e 3 2 ( ) e 3 2 ; + g (u) 0 + Krümmumg rechtsgekrümmt linksgekrümmt Aufgabe 4. Diskutieren Sie an Hand des in der Vorlesung gegebenen Schemas zur Kurvendiskussion die folgenden Funktionen: a) f(x) = e x2 1. Denitionsbereich: D = R 2. Symmetrie: f(x) ist gerade (Symmetrisch zur y-achse) 3. Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse: f(x) besitzt keine Nullstellen Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt (0 1) 4. Pole: f(x) besitzt keine Pole 5. Ableitungen: f (x) = 2xe x2 f (x) = 2(2x 2 1)e x2 f (x) = e x2 (4x(3 2x 2 )) 3
4 6. Extremastellen, Monotonieverhalten: x ( ; 0) 0 (0; + ) f (x) + 0 Monotonie steigt HP fällt 7. Wendepunkte, Krümmungsverhalten: x ( ; 1 ) 2 1 ( ; 2) ( ) 1 2; 2 f (x) Krümmung linksgekrümmt WP rechtsgekrümmt WP linksgekrümmt 8. Verhalten der Funktion für x ± : lim f(x) = lim f(x) = 0 x x f A (x) = 0 ist eine waagrechte Asymptote 9. Wertebereich: 10. Skizze: W f = (0; 1] 4
5 (x 1)(x + 2) b) f(x) = (x + 3) 2 1. Denitionsbereich: 2. Symmetrie: f(x) ist nicht symmetrisch D = R \ { 3} 3. Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse: S 1 ( 2 0) S 2 (1 0) ( Schnittpunkt mit der y-achse: S ) 9 4. Pole: x = 3 ist eine Polstelle und somit eine senkrechte Asymptote bei x = 3 5. Ableitungen: f (x) = 5x + 7 (x + 3) 3 f (x) = 10x + 6 (x + 3) 4 f (x) = 6. Extremastellen, Monotonieverhalten: 6(5x 1) (x + 3) 5 x ( ; 3) ( 3; 1, 4) 1, 4 ( 1, 4; ) f (x) Monotonie steigt fällt TP steigt 7. Wendepunkte, Krümmungsverhalten: x ( ; 3) ( 3; 0, 6) 0, 6 ( 0, 6; ) f (x) Krümmung linksgekrümmt linksgekrümmt WP rechtsgekrümmt 5
6 8. Verhalten der Funktion für x ± : lim f(x) = lim f(x) = 1 x x f A (x) = 1 ist eine waagrechte Asymptote 9. Wertebereich: 10. Skizze: W f = ( 0, 5625; ) c) f(x) = (1 e 2x ) 2 1. Denitionsbereich: 2. Symmetrie: f(x) ist nicht symmetrisch. D = R 3. Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse: f(x) hat bei x 1 = 0 eine Nullstelle Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt (0 0) 4. Pole: f(x) besitzt keine Polstelle 6
7 5. Ableitungen: f (x) = e 4x ( 4e 2x 4 ) f (x) = e 4x ( 8e 2x 16 ) f (x) = e 4x ( 16e 2x 64 ) 6. Extremastellen, Monotonieverhalten: x ( ; 0) 0 (0; ) f (x) 0 + Monotonie fällt TP steigt 7. Wendepunkte, Krümmungsverhalten: x ( ; 0, 347) 0, 347 (0, 347; ) f (x) + 0 Krümmung linksgekrümmt WP rechtsgekrümmt 8. Verhalten der Funktion für x ± : lim f(x) = x lim f(x) = 1 x f(x) hat bei f A (x) = 1 eine waagrechte Asymptote 9. Wertebereich: 10. Skizze: W f = [0; ) 7
8 d) f(x) = x2 + 1 x 3 1. Denitionsbereich: 2. Symmetrie: f(x) ist nicht symmetrisch D = R \ {3} 3. Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt: f(x) besitzt keine Nullstellen ( Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt 0 1 ) 3 4. Pole: x = 3 ist eine Polstelle und somit eine senkrechte Asymptote bei x = 3 5. Ableitungen: f (x) = x2 6x 1 (x 3) 2 f (x) = 20 (x 3) 3 f (x) = 60 (x 3) 4 8
9 6. Extremastellen, Monotonieverhalten: x ( ; 0, 162) 0, 162 ( 0, 162; 3) (3; 6, 162) 6, 162 (6, 162; ) f (x) Monotonie steigt HP fällt fällt TP steigt 7. Wendepunkte, Krümmungsverhalten: x ( ; 3) (3; ) f (x) + Krümmung rechtsgekrümmt linksgekrümmt 8. Verhalten der Funktion für x ± : f A (x) = x + 3 Asymptote im Unendlichen 9. Wertebereich: 10. Skizze: W f = ( ; 0, 325] [12, 325; ) e) f(x) = 1 2 x + 9 x 2 9
10 1. Denitionsbereich: 2. Symmetrie: f(x) ist nicht symmetrisch D = [ 3; 3] 3. Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt: f(x) hat bei x 1 = 2, 683 eine Nullstelle Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt (0 3) 4. Pole: f(x) besitzt keine Polstelle 5. Ableitungen: f (x) = Extremastellen, Monotonieverhalten: x 9 x 2 f 9 (x) = (9 x 2 ) 3 2 f 27 (x) = (9 x 2 ) 5 2 x ( 3; 1, 342) 1, 342 (1, 342; 3) f (x) + 0 Monotonie steigt HP fällt 7. Wendepunkte, Krümmungsverhalten: f(x) ist auf dem gesamten Denitionsbereich rechtsgekrümmt 8. Wertebereich: 9. Skizze: W f = [ 1, 5; 3, 354] 10
11 f) f(x) = ln x x 1. Denitionsbereich: 2. Symmetrie: f(x) ist nicht symmetrisch D = (0; ) 3. Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse im Punkt: f(x) hat bei x 1 = 1 eine Nullstelle Es gibt keinen Schnittpunkt mit der y-achse 4. Pole: x = 0 ist Polstelle 5. Ableitungen: f (x) = 1 ln(x) x 2 f (x) = f (x) = 6. Extremastellen, Monotonieverhalten: ln(x) x ln(x) x 4 11
12 x (0; e) e (e; ) f (x) + 0 Monotonie steigt HP fällt 7. Wendepunkte, Krümmungsverhalten: x ( ) 0; e 3 2 e 3 2 ( ) e 3 2 ; f (x) 0 + Krümmung rechtsgekrümmt WP linksgekrümmt 8. Verhalten der Funktion für x ± : lim f(x) = 0 x f(x) besitzt bei f A (x) = 0 eine waagrechte Asymptote 9. Wertebereich: 10. Skizze: W f = ( ; 0, 368] Aufgabe 5. Gegeben ist die Funktion f a (x) = x 3 3x 2 ax + 24 a) Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Funktion eine Nullstelle für x = 1 hat. 12
13 a = 22 b) Berechnen Sie die Extrema der Funktion f 22 (x). ( ) Hochpunkt ; 48, 11 3 ( ) Tiefpunkt ; 48, 11 3 Aufgabe 6. Besitzen nachstehende Funktionen Asymptoten, wenn ja sind sie zu bestimmen a) f(x) = 2x4 x 3 x 2 1 f(x) hat eine Asymptote f A (x) = 2x 2 x+2 und zwei senkrechte Asymptoten bei x = 1 und x = 1 b) f(x) = x2 2x x f(x) hat eine waagrechte Asymptote bei f A (x) = 1 c) f(x) = x 2 e x f(x) hat die x-achse als Asymptote Aufgabe 7. Gegeben sind die Funktion f durch f(x) = 5 2 x mit 1 4 x 8 und die Gerade g durch y = 1 3 x + 2. Die Gerade g schneidet den Graphen von f in den Punkten A und B. Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte. Schnittpunkte : A(0 2) und B(6 0) 13
)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
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a) Begründen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zum Punkt S 0 2 f) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt B
I. Wendepunkte 1. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung. a) f(x) 1 b) 12 (x + 1) (x 2) (x + 6) f(x) 1 4 x4
streng monoton steigend. streng monoton fallend. Ist f eine in einem Intervall stetige und im Innern des Intervalls differenzierbare Funktion mit
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