3 Funktionen diskutieren
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- Lioba Ursler
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1 3 Funktionen diskutieren 3.1 Polynomfunktionen Siehe dazu die Abschnitte in der Formelsammlung. 1. f x = 1 3 x3 x 2. f x = 1 27 x 3 3 x 2 24 x + 26 mit f 1 = 0 3. f x = 1 4 x4 2 x 2 4. f x = 1 4 x4 x x2 + 3 x mit f 2 = Gebrochenlineare Funktionen Siehe dazu die Abschnitte in der Formelsammlung. 1. f x = 2 x + 4 x 2 2. f x = 3 x 6 x Rationale Funktionen Siehe dazu die Abschnitte in der Formelsammlung. In den Arbeitsblättern zum dritten Semester gibt es sehr ausführliche Lösungen zu neun ähnlichen Aufgaben. 1. f x = x2 + 2 x 8 x 4 3. f x = 1 x f x = 0.5 x2 x x f x = x x 2 5. f x = 8 x 2 4 x f x =? Die Nenner von solchen Ableitungen werden nie ausmultipliziert, da man Summen nicht kürzen kann! DSt / Seite 13 von 56
2 3.1 Polynomfunktionen Lösungen Aufgabe 1 Lösung f x = 1 3 x3 x 1. Wegen f x = 1 x 3 x 2 27 = 1 3 x x x 3 3 = 0 hat f drei Nullstellen mit VZW bei x 1 = 0 x 2,3 = ±3 3 ± Es f 0 = 0, d.h. der Schnittpunkt mit der y-achse sowie die Nullstelle x 1 sind identisch. 3. Es ax = 1 3 x3 für die Asymptote. 4. Weil die Zuordnungsvorschrift der Funktion f ausschliesslich ungerade Potenzen in x aufweist, ist der Graph von f symmetrisch bezüglich dem Koordinatenursprung. 5. Wegen f x = x 2 = x + 3 x 3 = 0 hat f zwei kritische Punkte bei x 4,5 = ±3. Mit f x = 2 x f x n = y n f 3 = 2 3 < 0 f 3 = 18 H 3 ; 18 f 3 = 2 3 > 0 f 3 = 18 T3 ; 18, d.h. die Funktion f hat einen Tiefpunkt T Minimum einen Hochpunkt H Maximum. 6. Wegen f x = 2 x = 0 hat f einen kritischen Punkt bei x 6 = 0. Mit f x = 2 f x n = y n d.h. die Funktion hat einen Wendepunkt. 7. Wegen f 0 = 2 = 0 f 0 = 0 W0 ; 0, f x = x 2 wechselt f x bei x = ±3 das Vorzeichen es 8. Wegen x > 3 x 2 > f x > 0 Graph hat positive Steigung x < 3 x 2 < f x < 0 Graph hat negative Steigung f x = 2 x wechselt f x bei x = 0 das Vorzeichen es bzw. x < 0 f x < 0 Graph ist rechtsgekrümmt x > 0 f x > 0 Graph ist linksgekrümmt, vergleiche die Zeichnung auf der nächsten Seite. DSt / Seite 14 von 56
3 Funktion f sowie 1. Ableitung f 2. Ableitung f Man sieht sehr schön, dass die Extrema die Wendepunkte genau dort liegen, wo die 1. bzw. 2. Ableitung ihre Nullstellen haben Aufgabe 2 Lösung f x = 1 27 x 3 3 x 2 24 x Wegen f 1 = 0 hat f eine Nullstelle bei x 1 = 1 womit der Linearfaktor x 1 abgespalten werden kann. Eine Polynomdivision liefert x 3 3 x 2 24 x + 26 : x 1 = x 2 2 x 26, d.h. es f x = 1 27 x 1 x 2 2 x 26 weil die Diskriminante des quadratischen Ausdrucks x 2 2 x 26 mit D = = = = 4 27 = 4 3 positiv ist, ergeben sich durch x 2,3 = 2 ± = 2 ± = 1 ± 3 3 zwei weitere Nullstellen bei x x Damit kann man f vollständig gemäss f x = 1 27 x 1 x x in Linearfaktoren zerlegen es handelt sich bei allen drei Nullstellen um solche mit VZW. DSt / Seite 15 von 56
4 2. Für den Schnittpunkt mit der y-achse f 0 = Es ax = 1 27 x3 für die Asymptote. 4. Weil die Zuordnungsvorschrift der Funktion f gerade ungerade Potenzen in x aufweist, ist der Graph von f nicht symmetrisch bezüglich der y-achse oder dem Koordinatenursprung. 5. Wegen f x = x 2 6 x 24 = 1 x 2 2 x 8 = 1 x 4 x + 2 = 0 hat f zwei kritische Punkte bei x 4 = 2 x 5 = 4. Mit f x = 1 2 x 2 = 2 x 1 f x n = y n f 2 = < 0 f 2 = 2 H 2 ; 2 f 4 = > 0 f 4 = 2 T4 ; 2, d.h. die Funktion f hat zwei Extrema, davon einen Tiefpunkt T Minimum einen Hochpunkt H Maximum. 6. Wegen hat f einen kritischen Punkt bei x 6 = 1. Mit f x = 2 x 1 = 0 f x = 2 f x n = y n f 0 = 2 = 0 f 1 = 0 W1 ; 0, d.h. die Funktion hat einen Wendepunkt. 7. Wegen f x = 1 x 4 x + 2 wechselt f x bei x = 2 x = 4 das Vorzeichen es x < 2 f x > 0 Graph hat positive Steigung 2 < x < 4 f x < 0 Graph hat negative Steigung x > 4 f x > 0 Graph hat positive Steigung 8. Wegen f x = 2 x 1 wechselt f x bei x = 1 das Vorzeichen es x < 1 f x < 0 Graph ist rechtsgekrümmt bzw. x > 1 f x > 0 Graph ist linksgekrümmt, vergleiche die Zeichnung auf der nächsten Seite. DSt / Seite 16 von 56
5 Funktion f sowie 1. Ableitung f 2. Ableitung f Man sieht sehr schön, dass die Extrema die Wendepunkte genau dort liegen, wo die 1. bzw. 2. Ableitung ihre Nullstellen haben Aufgabe 3 Lösung f x = 1 4 x4 2 x 2 1. Wegen f x = 1 4 x2 x 2 8 = 1 4 x2 x x 2 2 = 0 hat f eine Nullstelle ohne VZW bei x 1 = 0 zwei mit VZW bei x 2,3 = ±2 2 ±2.8. Weil der Graph von f die x-achse bei der Nullstelle ohne VZW nur berührt aber nicht schneidet, muss dort ein Extrema liegen. 2. Es f 0 = 0, d.h. der Schnittpunkt mit der y-achse sowie die Nullstelle x 1 sind identisch. 3. Es ax = 1 4 x4 für die Asymptote. 4. Weil die Zuordnungsvorschrift der Funktion f ausschliesslich gerade Potenzen in x aufweist, ist der Graph von f symmetrisch bezüglich der y-achse. 5. Wegen f x = x 3 4 x = x x 2 4 = x x + 2 x 2 = 0 hat f drei kritische Punkte bei x 4 = 0 x 5,6 = ±2. Mit f x = 3 x 2 4 f x n = y n f 2 = > 0 f 2 = 4 T 1 2 ; 4, f 0 = < 0 f 0 = 0 H0 ; 0 f 2 = > 0 f 2 = 4 T 2 2 ; 4, d.h. die Funktion f hat drei Extrema, davon zwei Tiefpunkte T 1 T 2 Minima sowie einen Hochpunkt H Maximum, wobei jener mit der Nullstelle bei x 1 identisch ist. DSt / Seite 17 von 56
6 6. Wegen f x = 3 x 2 4 = 3 x 2 4 = 3 x + 2 x 2 = hat f zwei kritische Punkte bei x x Mit f x = 6 x f x n = y n f = 0 f W ; 2.2 f = 0 f W ; 2.2, d.h. die Funktion hat zwei Wendepunkte. Funktion f sowie 1. Ableitung f 2. Ableitung f Man sieht sehr schön, dass die Extrema die Wendepunkte genau dort liegen, wo die 1. bzw. 2. Ableitung ihre Nullstellen haben Aufgabe 4 Lösung f x = 1 4 x4 x x2 + 3 x 1. Weil man ein x ausklammern kann wegen f 2 = 0 hat f zwei Nullstellen bei x 1 = 0 x 2 = 2. Eine Polynomdivision liefert 1 4 x3 x x + 3 : x 2 = 1 4 x2 1 2 x 3 2, d.h. es f x = 1 4 x x 2 x2 2 x 6 weil die Diskriminante des quadratischen Ausdrucks x 2 2 x 6 mit D = = 28 = 4 7 positiv ist, ergeben sich durch x 3,4 = 2 ± = 2 ± = 1 ± 7 DSt / Seite 18 von 56
7 zwei weitere Nullstellen bei x x Damit kann man f vollständig gemäss f x = 1 x 4 x x x 1 7 in Linearfaktoren zerlegen es handelt sich bei allen vier Nullstellen um solche mit VZW. 2. Es f 0 = 0, d.h. der Schnittpunkt mit der y-achse sowie die Nullstelle x 1 sind identisch. 3. Es ax = 1 4 x4 für die Asymptote. 4. Weil die Zuordnungsvorschrift der Funktion f gerade ungerade Potenzen in x aufweist, ist der Graph von f nicht symmetrisch bezüglich der y-achse oder dem Koordinatenursprung. 5. Wegen f x = x 3 3 x 2 x + 3 = x 2 x 3 1 x 3 = x 2 1 x 3 = x + 1 x 1 x 3 = 0 f x = x 3 3 x 2 x + 3 = x 2 x 3 1 x 3 = x 2 1 x 3 = x + 1 x 1 x 3 = 0 hat f drei kritische Punkte bei x 5,6 = ±1 sowie x 7 = 3. Mit f x = 3 x 2 6 x 1 f x n = y n f 1 = > 0 f 1 = 2.25 T 1 1 ; 2.25, f 1 = < 0 f 1 = 1.75 H1 ; 1.75 f 3 = > 0 f 3 = 2.25 T 2 3 ; 2.25, d.h. die Funktion f hat drei Extrema, davon zwei Tiefpunkte T 1 T 2 Minima sowie einen Hochpunkt H Maximum. 6. Wegen f x = 3 x 2 6 x 1 = 0 weil die Diskriminante des quadratischen Ausdrucks 3 x 2 6 x 1 mit positiv ist, D = = 48 = 16 3 x 8, = 6 ± = 6 ± 4 3 f hat zwei kritische Punkte bei x x Mit f x = 6 x 1 f x n = y n 6 = 1 ± f = 0 f W ; 0.46 f = 0 f W ; 0.46, d.h. die Funktion hat zwei Wendepunkte. DSt / Seite 1 von 56
8 Funktion f sowie 1. Ableitung f 2. Ableitung f Man sieht sehr schön, dass die Extrema die Wendepunkte genau dort liegen, wo die 1. bzw. 2. Ableitung ihre Nullstellen haben. DSt / Seite 20 von 56
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Analysis Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen Allg. Gymnasien: ab J / Q Berufliche Gymnasien: ab Klasse Berufskolleg Alexander Schwarz August 08 Aufgabe : Untersuche
Kapitel 1:»Rechnen« c 3 c 4 c) b 5 c 4. c 2 ) d) (2x + 3) 2 e) (2x + 0,01)(2x 0,01) f) (19,87) 2
Kapitel :»Rechnen«Übung.: Multiplizieren Sie die Terme so weit wie möglich aus. a /5 a 5 Versuchen Sie, vorteilhaft zu rechnen. Übung.2: Berechnen Sie 9% von 2573. c 3 c 4 b 5 c 4 ( b 2 c 2 ) (2x + 3)
Gleichungen höheren Grades
GS -.08.05 - c_hoeheregl.mcd Definition: Eine Gleichung der Form k = 0 heißt "Gleichung n-ten Grades". Gleichungen höheren Grades n a k k = 0 mit der Definitionsmenge ID IR und a n 0 Schreibweise: n k
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Analysis Funktionentraining Ganzrationale Funktionen. bis. Grades Die wichtigsten Aufgabentypen Alle Methoden ganz ausführlich Datei Nr. 60 Stand. Oktober 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR
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, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n
. Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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