BKO WFH11 - Material Vertretung-Mathematik Übungsaufgaben Differentialrechnung einschließlich Wendepunkte 68

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Ursula Schwarz
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1 Übungsaufgaben Differentialrechnung einschließlich Wendepunkte 68 Aufgabe Terme umformen, Gleichungen lösen und Polynomdivision 1 Gegeben ist f mit f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 5 ) ; x IR. 2 Gegeben ist f mit f ( x ) = ( x + 5) ( x + 2 ) ( x - 5 ) ; x IR. 3 Gegeben ist f mit f ( x ) = -2 ( x + 1) ( x x 4 ) ; x IR. Lösung f ( x ) = x 2 3 x - 10 f ( x ) = x x 2 25 x - 50 f ( x ) = - 2 x 3 6 x x Gegeben ist f mit f ( x ) = -5 ( x + 6 ) ( x 5 ) ( x 7 ); x IR. f ( x ) = - 5 x x x Lösen Sie die Gleichung -6 x² - 54 x 122 = 0. -5; -4 6 Lösen Sie die Gleichung -6 x ( x 5 ) = 0. 0; 5 7 Lösen Sie die Gleichung -2 x x = 0. 0; 3 8 Lösen Sie die Gleichung 5 x² 125 = 0. -5; 5 9 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = -2 x x 2-10 x Welche Zahlen kommen als mögliche ganzzahlige Nullstellen von f in Frage? 10 Führen Sie die folgende Polynomdivision durch x 2 3 x + 2 [oder ermitteln Sie den quadratischen Term, der sich ergibt, wenn man -4 in das Horner- Schema der angegebenen Funktion einsetzt]: ( x 3 + x 2-10 x + 8 ) : ( x + 4 ) 11 Führen Sie die folgende Polynomdivision durch [oder ermitteln Sie den quadratischen Term, der sich ergibt, wenn man 5 in das Horner-Schema der angegebenen Funktion einsetzt]: ( - 2 x x 2-38 x - 60 ) : ( x - 5 ) Nullstellen und Achsenschnittpunkte Die Teiler der 10 und ihre Negativen: 1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, x x Wie viele Nullstellen kann eine kubische Funktion (Grad 3) haben? 1, 2 oder 3 Übungsaufgaben Differentialrechnung einschließlich Wendepunkte 1 von 7

2 13 Geben Sie die Nullstellen von f an mit f ( x ) = - ( x - 6 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) ; x IR. 14 Berechnen Sie die Nullstellen von f mit f ( x ) = - 2 x 3-10 x x; x IR. -5; 5; 6-6; 0; 1 15 Berechnen Sie die Nullstellen von f mit f ( x ) = - 2 x x 2 ; x IR. 0 (doppelt); 6 16 Gegeben ist f mit f ( x ) = 4 ( x+ 3 ) ( x + 5 ) ( x + 1 ) ; x IR. Geben Sie den Schnittpunkt mit der y-achse an. 17 Gegeben ist f mit f ( x ) = -3 x³ - 12 x² - 81 x + 270; x IR. Geben Sie den Schnittpunkt mit der y-achse an. 18 Berechnen Sie die Nullstellen von f mit f ( x ) = - 5 x x x ; x IR Tipp: Eine Nullstelle ist 4 19 Berechnen Sie die Nullstellen von f mit f ( x ) = - 4 x 3-36 x 2-60 x + 296; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 2 Ableitungen, Extrema und Sattelstellen bzw. Sattelpunkte 20 Leiten Sie die Funktion f ab mit f ( x ) = 2 x 3-2 x 2-3 x + 4; x IR. 21 f ( x ) = - 7 x 5-5 x 4-3 x x 2-7 x + 1; x IR. Was ist dann f ( x )? S y ( 0 ; 60 ), da f ( 0 ) = 60 S y ( 0 ; 270 ), da f ( 0 ) = 270-4; 1; 4 2 f ( x ) = 6 x 2-4 x - 3 f ( x ) = - 35 x 4 20 x 3 9 x x 7 22 f ( x ) = - 5 x 2-2 x; x IR. Was ist f ( x )? f ( x ) = - 10 x 2 23 Bilden Sie die Ableitung von f mit f ( x ) = 2 x 4 + x 3-3 x 2-4 x - 2; x IR. f ( x ) = 8 x x 2 6 x Was ist das notwendige Kriterium dafür, dass x eine Extremstelle von f ist? A f ( x ) = 0 FALSCH B f ( x ) = 0 WAHR C f ( x ) = 0 FALSCH D f ( x ) = 0 und f ( x ) 0 FALSCH E f ( x ) = 0 oder f ( x ) 0 FALSCH F f ( x ) = f ( x ) FALSCH 25 f ( x ) = 5 x ,5 x x - 2; x IR. Extremstellen -6; -7 Sattelstellen. 26 f ( x ) = 2 x x x - 3; x IR. Sattelstelle x = -1 Sattelstellen. 27 f ( x ) = x ,5 x x + 6; x IR. Sattelpunkte. Extrempunkte: ( -5 ; -156,5 ) ; ( -6 ; -156 )

3 28 f ( x ) = x 3-21 x x + 4; x IR. Sattelpunkte. 29 Berechnen Sie die Extrem- bzw. Sattelstellen von f mit f ( x ) = - 0,75 x 4-7,5 x 3-18 x 2-16,5 x + 4; x IR. Tipp: bei x = -1 hat f eine waagerechte Tangente. 30 f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d; wobei a, b, c, d beliebige Zahlen sind. Welche Gleichung ergibt sich damit für die Ableitung von f? Wendestellen und punkte Sattelpunkt ( 7 ; 347 ) -5,5; -1 f ( x ) = 3a x 2 + 2b x + c 31 Was ist ein hinreichendes Kriterium dafür, dass x eine Wendestelle von f ist? A f ( x ) = 0 FALSCH B f ( x ) = 0 FALSCH C f ( x ) = 0 FALSCH D f ( x ) = 0 und f wechselt an der Stelle x das WAHR Vorzeichen E f ( x ) = 0 und f wechselt an der Stelle x das FALSCH Vorzeichen F f ( x ) = f ( x ) FALSCH 32 f ( x ) = - 2 x x 2-6 x - 5; x IR. Wendepunkt ( 1 ; -7 ) 33 f ( x ) = - 4 x x x - 5; x IR. 34 f ( x ) = - 6 x x x - 3; x IR. 35 f ( x ) = - 5 x x 2-15 x - 2; x IR. 36 f ( x ) = - 7 x x 2-84 x + 6; x IR. Gemischte Aufgaben Wendepunkt ( 7 ; ) Wendepunkt ( 3,5 ; -244,5 ) Wendepunkt ( 1 ; -7 ) Wendepunkt ( 2 ; -50 ) 37 Berechnen Sie die Nullstellen, Extremstellen und Sattelstellen von f mit f ( x ) = - 6 x x x 3336; x IR. Nullstelle(n): -4; Extremstelle(n): 3; 7; Sattelstelle(n): keine

4 38 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = - 5 x 3-22,5 x x + 247,5; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 3 ( 0 ; 247,5 ); ( -4,9 ; 0 ); ( -3 ; 0 ); ( 3,4 ; 0 ); ( -4 ; -32,5 ); ( 1 ; 280 ); ( -1,5 ; 123,8 ) 39 f ( x ) = -5 x² + 5; x IR. An welcher Stelle hat f die Steigung -50? 40 f ( x ) = - 7 x x + 4; x IR. An welchen Stellen hat f die Steigung -1? 41 f ( x ) = - 6 x x x + 6; x IR. Welche Steigung hat f an der Stelle x = -6? 42 f ( x ) = -x² + 5 x - 3; x IR. t -1 ist die Tangente von f an der Stelle -1. Geben Sie die Gleichung von t -1 an. 43 f ( x ) = x² - 5 x + 3; x IR. t 3 ist die Tangente von f an der Stelle 3. Welche Steigung hat t 3? 44 f ( x ) = 4 x 5-6 x 4-4 x x x - 1; x IR. Welche Steigung hat f an der Stelle x = -1? 45 Achsenschnittpunkte, Extrem- und Sattelpunkte an von f mit f ( x ) = - 6 x x x ; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 4 46 f ( x ) = -6 x² - x; x IR. Welche Steigung hat f an der Stelle 0? 47 f ( x ) = 2 x 4-5 x 3-4 x 2-3 x - 4; x IR. Welche Steigung hat f an der Stelle x = -3? 48 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 3 x ,5 x 2-36 x - 94,5; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 3 5 3; -3 f ( -6 ) = -715 t -1 ( x ) = 7 x 2 f ( 3 ) = 1 f ( -1 ) = 30 ( 0 ; ); ( -12,6 ; -7,2 ); ( -8,9 ; -4,1 ); ( -4 ; 0 ); ( -11 ; -147 ); ( -6 ; 228 ); Sattelpunkt(e): keine f ( 0 ) = -1 f ( -3 ) = -330 ( 0 ; -94,5 ); ( -5,6 ; 3, ); ( -1,9 ; 2, ); ( 3 ; 0 ); ( -4 ; 73,5 ); ( 1 ; -114 ); ( -1,5 ; -20,25 )

5 49 f ( x ) = - 4 x x x; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 0 50 f ( x ) = 3 x x 2 ; x IR Tipp: Eine Nullstelle ist 2 51 f ( x ) = - 5 x 3-75 x x ; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 7 ( 6 ; ); ( 11 ; ); ( 8,5 ; ) ( -2 ; 0 ); ( -1,3 ; 3,549 ); ( -0,7 ; 1,911 ) ( 0 ; 8015 ); ( 7 ; 0 ); keine; Sattelpunkt(e): ( -5 ; 8640 ); ( -5 ; 8640 ) 52 Achsenschnittpunkte, Extrem- und Sattelpunkte ( 0 ; 57,5 ); an von f mit f ( x ) = - 5 x 3-22,5 x 2-30 x + 57,5; x IR. ( 1 ; 0 ); Tipp: Eine Nullstelle ist 1 ( -2 ; 67,5 ); ( -1 ; 70 ); 53 f ( x ) = - 5 x ,5 x x; x IR. Sattelpunkt(e): keine Schnittpunkt(e) mit der x- Achse: ( 3 ; -202,5 ); ( 4 ; -200 ); ( 3,5 ; -201,25 ) 54 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = - x ,5 x 2 72 x + 86; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 2 ( 0 ; 86 ); ( 2 ; 0 ); ( 4,2 ; 0 ); ( 10,3 ; 0 ); ( 3 ; -8,5 ); ( 8 ; 54 ); ( 5,5 ; 22,75 )

6 55 Berechnen Sie die Nullstellen, Extremstellen und Sattelstellen von f mit f ( x ) = - x 3 6 x 2 12 x 8; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 4 x x x 702; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist f ( x ) = - 6 x x 2 ; x IR Tipp: Eine Nullstelle ist f ( x ) = - 2 x x 2-54 x; x IR. 59 Berechnen Sie die Nullstellen, Extremstellen und Sattelstellen von f mit f ( x ) = - 3 x x x ; x IR. Tipp: Eine Nullstelle ist 7. ( 0 ; -8 ); ( -2 ; 0 ); keine; Sattelpunkt(e): ( -2 ; 0 ) ( 0 ; -702 ); ( 3 ; 0 ); ( -6 ; -486 ); ( -1 ; -736 ); ( -3,5 ; -611 ) ( 6 ; 0 ); ( 4 ; 192 ); ( 2 ; 96 ) keine; Sattelpunkt(e): ( 3 ; -54 ); ( 3 ; -54 ) Nullstelle(n): 7; Extremstelle(n): keine; Sattelstelle(n): 7 60 Achsenschnittpunkte, Extrem- und Sattelpunkte ( 0 ; 684 ); an von f mit f ( x ) = - x 3-9 x 2-24 x + 684; x IR. ( 6 ; 0 ); Tipp: Eine Nullstelle ist 6. ( -4 ; 700 ); ( -2 ; 704 ); Sattelpunkt(e): keine

7 61 f ( x ) = - x 3-18 x x; x IR. keine; Sattelpunkt(e): ( -6 ; 216 ); ( -6 ; 216 )

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