Analysis. Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente. Gymnasium Klasse 10

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Analysis. Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente. Gymnasium Klasse 10"

Sofia Egger
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Analysis Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente Gymnasium Klasse 1 Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner Alexander Schwarz März 18 1

2 Aufgabe 1: f(x) x x. Aufgabe : Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen der Funktion f(x) (x )(x 1). Aufgabe : Untersuche den Graphen der Funktion f mit für x. f(x) 8 x x auf sein Verhalten Aufgabe : Bestimme die Schnittpunkte mit der x-achse des Graphen der Funktion f(x) x x 8. Aufgabe 5: Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion Stelle x =. f(x) x 5 an der Aufgabe 6: Untersuche den Graphen der Funktion f(x) (x ) auf Monotonie. Aufgabe 7: f(x) x x 1. Aufgabe 8: Berechne die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) x x x mit der x-achse. Aufgabe 9: Untersuche den Graphen der Funktion f(x) x x auf Monotonie. Aufgabe 1: Bestimme die Stellen, an denen der Graph der Funktion Tangenten hat. f(x) x x x waagrechte Aufgabe 11: Bestimme die gemeinsamen Punkte des Graphen der Funktion Koordinatenachsen. f(x) x 7x 1x mit den Aufgabe 1: f(x) (x ) x

3 Lösungen Aufgabe 1: Ableitungen: f(x) x x f (x) x x x x x (x ) Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung II): x x,75 Hinreichende Bedingung: Kontrolle mit Vorzeichenwechsel: x = : f ( 1) 7 und f (,5),5 Es existiert kein VZW, also existiert bei x = kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt. x =,75: f (,5),5 und f (1) 1 Es existiert ein VZW von nach +, also liegt bei x =,75 ein Tiefpunkt vor. 7 T(,75 f(,75)) T(,75 ) 56 Aufgabe : f(x) (x )(x 1). Schnittpunkt mit y-achse: f() 1 S ( ) y Schnittpunkt mit x-achse: f(x) (x )(x 1) Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): x x Gleichung II): x 1 x 1 Schnittpunkte: S 1( ), S ( ), S ( 1 ) Aufgabe : f(x) 8 x x Für x strebt f(x) (der Term Für x strebt f(x) (der Term x ist entscheidend) x ist entscheidend)

4 Aufgabe : f(x) x x 8. Bedingung: f(x) x x 8 Substitution: u x 1 ( 8) 6 u u 8 u1, u1 und u Rücksubstitution: x x x ist nicht lösbar Schnittpunkte S 1( ), S ( ) Aufgabe 5: f(x) x 5 Es gilt f (x) x Ansatz für die Tangentengleichung: y mx c Steigung der Tangente: m f () 1 Es gilt f() 8 5, also berührt die Tangente den Graphen im Punkt P(/-). Einsetzen von P und m in die Geradengleichung: 1 c c 1 Tangentengleichung: y 1x 1 Aufgabe 6: f(x) (x ) Um die Monotonie zu untersuchen, werden zunächst die Extremstellen des Graphen berechnet. f(x) x 6x 9 f(x) x 6x 1 f (x) x 6 x 6 x Hinreichende Bedingung: Kontrolle mit Vorzeichenwechsel x = -: f ( ) und f ( ) Es existiert ein VZW von nach +, also existiert bei x = - ein Tiefpunkt. Im Intervall ( ; ] ist die Funktion (streng) monoton fallend. Im Intervall [; ) ist die Funktion (streng) monoton wachsend.

5 Aufgabe 7: f(x) x x 1. f (x) x 6x x 6x x (x 6) Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung II): x 6 x Hinreichende Bedingung: Kontrolle mit Vorzeichenwechsel: x = : f ( 1) 9 und f (1) Es existiert ein VZW von + nach -, also liegt bei x = ein Hochpunkt vor: H( f()) H( 1) x = : f (1) und f () 9 Es existiert ein VZW von nach +, also liegt bei x = ein Tiefpunkt vor. T( f()) T( 5) Aufgabe 8: f(x) x x x Bedingung: f(x) x x x x (x x ) Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung II): x x 16 1 x1, x1, Schnittpunkte S 1( ), S ( ) Aufgabe 9: f(x) x x Um die Monotonie zu untersuchen, werden zunächst die Extremstellen des Graphen berechnet. f(x) x x f (x) x x x Hinreichende Bedingung: Kontrolle mit Vorzeichenwechsel x = : f (1) und f () Es existiert ein VZW von + nach -, also existiert bei x = ein Hochpunkt. 5

6 Im Intervall ( ;] ist die Funktion (streng) monoton wachsend. Im Intervall [; ) ist die Funktion (streng) monoton fallend. Aufgabe 1: Bestimme die Stellen, an denen der Graph der Funktion Tangenten hat. f(x) x x x waagrechte f(x) x x x f (x) x 6x Bedingung für waagrechte Tangenten: f (x) x 6x x1, x1, An der Stelle x = 1 existiert eine waagrechte Tangente. Aufgabe 11: f(x) x 7x 1x Schnittpunkt mit der y-achse: Schnittpunkt mit der x-achse: f(x) f() S y( ) x 7x 1x x (x 7x 1) Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung II): x 7x x1, x1 und x Schnittpunkte S 1( ), S ( ), S ( ) Aufgabe 1: f(x) x x x f(x) x 8x. f (x) x 8 x 8 x Hinreichende Bedingung: Kontrolle mit Vorzeichenwechsel: x =: f () und f (5) Es existiert ein VZW von - nach +, also liegt bei x = ein Tiefpunkt vor: T( f()) T( 1) f(x) (x ) x 6

Ähnliche Dokumente

Analysis. Kurvenuntersuchung ganzrationale Funktionen. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen

Analysis. Kurvenuntersuchung ganzrationale Funktionen. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen Analysis Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen Allg. Gymnasien: ab J / Q Berufliche Gymnasien: ab Klasse Berufskolleg Alexander Schwarz August 08 Aufgabe : Untersuche