Satz: Eine Funktion f ist monoton wachsend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) < 0 x ]a, b[

Transkript

1 Monotonie und erste Ableitung: Satz: Eine Funktion f ist monoton wachsend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) 0 x ]a, b[ Eine Funktion f ist monoton fallend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) 0 x ]a, b[ Eine Funktion f ist streng monoton wachsend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) > 0 x ]a, b[ Eine Funktion f ist streng monoton fallend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) < 0 x ]a, b[

2 Krümmung und 2. Ableitung Defnition: Eine Kurve f heiÿt konvex (linksgekrümmt) auf einem Intervall [a; b], wenn die Tangente an die Kurve f an jeder Stelle x 0 [a; b] unterhalb der Kurve liegt. Eine Kurve f heiÿt konkav (rechtsgekrümmt) auf einem Intervall [a; b], wenn die Tangente an die Kurve f an jeder Stelle x 0 [a; b] oberhalb der Kurve liegt. Folgerungen: Bei einer konvexen Kurve werden die Tangentensteigungen von links nach rechts gröÿer. D.h.: die erste Ableitung f ist monoton wachsend (f ) = f > 0 Bei einer konkaven Kurve werden die Tangentensteigungen von links nach rechts kleiner. D.h.: die erste Ableitung f ist monoton fallend (f ) = f < 0 Satz: Wenn die Funktion f auf einem Intervall ]a, b[ zweimal dierenzierbar und stetig auf [a, b] ist, so ist f auf [a, b] konvex, wenn f (x) 0 für alle x ]a, b[ konkav, wenn f (x) 0 für alle x ]a, b[

3 Extrempunkte: Denitionen: Globales Minimum: Ein Wert y = f(x ), mit y f(x) für alle x D f heiÿt globales Minimum von f. Das Argument x heiÿt globaler Minimizer Globales Maximum: Ein Wert y = f(x ), mit y f(x) für alle x D f heiÿt globales Maximum von f. Das Argument x heiÿt globaler Maximizer Lokales Minimum: Falls y = f(x ) f(x) für alle x ]a, b[ mit x ]a, b[, so heiÿt y lokales Minimum der Funktion f. Das Argument x ist ein lokaler Minimizer der Funktion f. Lokales Maximum: Falls y = f(x ) f(x) für alle x ]a, b[ mit x ]a, b[, so heiÿt y lokales Maximum der Funktion f. Das Argument x ist ein lokaler Maximizer der Funktion f. Lokale Extrempunkte liegen dann vor, wenn der Funktionswert der kleinste bzw. der gröÿte in seiner Umgebung ist. Die Umgebung kann beliebig klein sein. Sobald irgendein Intervall ]a, b[ existiert, auf dem der entsprechende Wert der gröÿte bzw. kleinste Wert ist, so ist die Denition erfüllt.

4 Kritische Punkte, Wendepunkte: Denition: f sei auf einem Intervall [a, b] stetig und differenzierbar. Ein Punkt K(x 0 f(x 0 )) mit x 0 [a; b] und f (x 0 ) = 0 (ein Punkt mit waagrechter Tangente) heiÿt kritischer Punkt der Funktion f. Satz: f sei auf einem Intervall [a, b] stetig und dierenzierbar, x [a; b], dann gilt: } f (x ) = 0 x ist Maximizer f (x ) < 0 H(x f(x ))... Hochpunkt } f (x ) = 0 x ist Minimizer f (x ) > 0 T (x f(x ))... Tiefpunkt f (x ) = 0 f (x ) = 0 S(x f(x )) ist Sattelpunkt f (x ) 0 Wendepunkt: Ein Punkt in dem eine Kurve f ihre Krümmung ändert, heiÿt Wendepunkt W (x w f(x w )) Satz: Sei f auf einem Intervall [a; b] zweimal stetig differenzierbar, x 0 [a; b] dann gilt: } f (x 0 ) = 0 W (x f 0 f(x 0 )) ist Wendepunkt (x 0 ) 0

5 Intervalle für Monotonie und Krümmung: Monotonie: Der Denitionsbereich wird in disjunkte Intervalle zerlegt. Die Intervallgrenzen sind die x-werte der Extrempunkte. Auf einem solchen Intervall ist die Kurve entweder überall monoton wachsend oder überall monoton fallend. Krümmung: Der Denitionsbereich wird in disjunkte Intervalle zerlegt. Die Intervallgrenzen sind die x-werte der Wendepunkte. Auf einem solchen Intervall ist die Kurve entweder überall konvex oder überall konkav.

6 Asymptoten Senkrechte Asymptoten: Senkrechte Asymptoten be- nden sich an Stellen, für die ein Nenner 0 wird. z.b.: f(x) = ln x + 1 ln x senkrechte Asymptote. hat an der Stelle x = 1 eine Schiefe Asymptoten: Schiefe Asymptoten geben das Verhalten der Kurve für x ± an. Gebrochen rationale Funktionen: Ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners, so ist die x-achse schiefe Asymptote. Sonst wird die schiefe Asymptote durch Polynomdivision ermittelt. Dabei wird der Funktionsterm zerlegt. z.b.:f(x) = x2 3x + 1 = 1 2x 10 2 x x 10 Der Graph nähert sich für x ± der Gerade y = 1 2 x + 1. Betrachtung des Funktionsterms: z.b.:f(x) = x 2 2x + e x2 Für x ± geht e x2 gegen 0 und die Funktionswerte nähern sich für x ± dem Wert der Parabel y = x 2 2x