Wendepunkte. Jutta Schlumberger

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1 Wendepunkte Jutta Schlumberger Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser Ausarbeitung wird ein wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion behandelt, nämlich die Wendepunkte. Der Hauptteil der Arbeit widmet sich der Begrisklärung, d.h. es werden verschiedene Denitionen von Wendepunkten vorgestellt und erläutert. Hierbei gewinnen wir überraschende Erkenntnisse über Wendepunkte, nämlich dass es Funktionen gibt, die einen Wendepunkt besitzen, an dem die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt nicht erfüllt ist. D.h. dass am Wendepunkt x 0 nicht f (x 0 ) = 0 gilt. Auÿerdem lernen wir Funktionen kennen, die an einer Stelle x 0 nur einige Denitionen für Wendepunkte erfüllen aber nach anderen Denitionen keinen Wendepunkt an dieser Stelle haben. Dabei werden Zusammenhänge zwischen einzelnen Denitionen hergestellt. Es werden Fälle dargestellt, in denen die verschiedenen Denitionen äquivalent sind, aber es werden auch Beispiele aufgeführt, bei denen diese Äquivalenz nicht gegeben ist. Anschlieÿend befasst sich ein kleiner Teil der Ausarbeitung mit der Vorgehensweise zur Bestimmung von Wendepunkten. Diese wird anhand zwei einfachen Beispielen erläutert. Ein kurzes Resümee bildet den Abschluss der Arbeit. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Denitionen: Was sind Wendepunkte? Denition 1: geometrisch Denition 2: analytisch Denition 3: geometrisch-analytisch Denition Theorem Theorem Theorem Wie bestimmt man Wendepunkte? 13 4 Resümee 15

2 Abbildungsverzeichnis 1.1 Kurvendiskussion Tangente am Wendepunkt Tangente an einem beliebigen anderen Punkt zu a): Graph der Funktion f zu b): Graph der Funktion f(x) = x Konkav und Konvex f 0 auf einer Seite von x f 0 auf der anderen Seite von x Theorem 1 (i): Fall Theorem 1 (i): Fall Theorem 2 (i): Skizze der Funktion f Theorem 2 (ii): Skizze der Funktion h Theorem 3: Fall Theorem 3: Fall Graph der Funktion f aus Beispiel Graph der Funktion f aus Beispiel

3 1 Einleitung Wendepunkte bestimmt man oft im Rahmen der Kurvendiskussion. Dabei werden verschiedene Eigenschaften einer Funktion untersucht, die sich auch im Graphen der Funktion wiedernden. Diese Eigenschaften sind unter anderem: Nullstellen (N 1, N 2, N 3), Hoch-(H) und Tiefpunkte(T), Polstellen, Symmetrie, Verhalten für x ± und Wendepunkte(W). Die Untersuchung dieser Eigenschaften erleichtert die graphische Darstellung, wie hier in Abbildung 1.1, und die Auswertung der Funktion. Abbildung 1.1: Kurvendiskussion 2 Denitionen: Was sind Wendepunkte? 2.1 Denition 1: geometrisch Denition 2.1 Ein Wendepunkt ist ein Punkt einer glatte Kurve C, an dem die Tangente die Kurve C nicht nur berührt, sondern auch schneidet. Die Tangente an einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt. Spezialfall: ein Wendepunkt, an dem die Wendetangente die Steigung 0 hat, also parallel zur x-achse ist, heiÿt Sattelpunkt. geometrische Erläuterung: Wenn man die Tangente am Wendepunkt zeichnet, dann wechselt diese in einer Umgebung um den Wendepunkt von der einen Seite auf die andere Seite der Kurve. Wenn man das rein geometrisch betrachtet, muss die Tangente die Kurve der stetigen Funktion überqueren, also schneiden. Ein Beispiel für eine Wendetangente ist in Abbildung 2.1 dargestellt. Die Abbildung zeigt den Spezialfall einer waagrechten Wendetangente, der Wendepunkt in diesem Beispiel ist also ein Sattelpunkt. Wenn man die Tangente an einem beliebigen anderen Punkt betrachtet, dann bendet sich diese - zumindest in einer bestimmten Umgebung um den Punkt - immer auf der gleichen Seite der Kurve, also schneidet sie die Kurve der Funktion nicht, wie man in Abbildung 2.2 sehen kann. 3

4 Abbildung 2.1: Tangente am Wendepunkt Abbildung 2.2: Tangente an einem beliebigen anderen Punkt 2.2 Denition 2: analytisch Denition 2.2 Ein Wendepunkt ist ein Übergangspunkt zwischen zwei Kurvenabschnitten, einem Abschnitt, in dem f 0 und einem, in dem f 0. Ausgehend von Denition 2.2 könnte man annehmen, dass am Wendepunkt x 0 die Bedingung f (x 0 ) = 0 gelten müsste. Diese Annahme ist aber falsch, was man durch Gegenbeispiele beweisen kann. Wir werden im Folgenden zwei Fälle betrachten, bei denen an der Stelle x 0 ein Wendepunkt vorliegt, aber die zweite Ableitung an der Stelle x 0 nicht deniert ist: a) die zweite Ableitung hat eine Unstetigkeitsstelle am Wendepunkt x 0. b) die Wendetangente ist parallel zur y-achse. Zu a): Sei siehe Abbildung 2.3 f(x) = { 3 8 x2 4x für 2 x < x2 + 17x für 6 x 10 (2.1) 4

5 Abbildung 2.3: zu a): Graph der Funktion f f (x) = { 3 4 für 2 x < 6 5x für 6 x 10 (2.2) Die Kurve der Funktion ist aus zwei parabolischen Segmenten zusammengesetzt. Die Funktion ist oensichtlich stetig dierenzierbar, aber f (x) = { 3 4 für 2 x < für 6 x 10 (2.3) Wie man aus Gleichung 2.3 sofort sehen kann, ist der Punkt (6 4) ein Übergangspunkt zwischen zwei Kurvenabschnitten, einem Abschnitt, in dem f 0 und einem Abschnitt, in dem f 0. D.h. der Punkt (6 4) ist nach Denition 2.2 ein Wendepunkt, aber an dieser Stelle ist f 0 und eine Unstetigkeitsstelle. Zu b): Sei Die Kurve der Funktion f(x) = x 1 3 f(x) = x 1 3 (2.4) ist in Abbildung 2.4 dargestellt. Nach zweimaligem Ableiten der Funktion f erhält man f (x) = 2 9 x 5 3. Es gilt also f (x) 0 für x > x 0 = 0 und f (x) 0 für x < x 0 = 0. D.h. an der Stelle x 0 = 0 ist ein Wendepunkt nach Denition 2.2, aber die zweite Ableitung ist am Wendepunkt nicht deniert. Der Grund dafür ist die Tatsache, dass für x 0 gilt, dass f (x) + und für x 0 + gilt, dass f (x). D.h. f ist am Wendepunkt nicht deniert. Man sieht, dass die Wendetangente parallel zur y-achse, also senkrecht ist. 5

6 Abbildung 2.4: zu b): Graph der Funktion f(x) = x Denition 3: geometrisch-analytisch Denition 2.3 Der Punkt x 0 ist ein Wendepunkt der Funktion f, falls genügend nah an x 0 die Funktion auf einer Seite von x 0 linksgekrümmt und auf der anderen Seite von x 0 rechtsgekrümmt ist. D.h. die Kurve der Funktion f wechselt am Wendepunkt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung oder umgekehrt. Eine linksgekrümmte Kurve ist konvex und es ist f 0. Ein Beispiel für eine linksgekrümmte Kurve sieht man in Abbildung 2.5 (rechts). Die Kurve der Funktion g ist konvex, sie ist nach oben oen und jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten der Kurve (Q 1 und Q 2) liegt an keiner Stelle unterhalb der Kurve. Eine rechtsgekrümmte Kurve ist konkav und es ist f 0. Die Kurve der Funktion f in Abbildung 2.5 (links) ist konkav. Sie ist nach unten oen und jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten der Kurve (P 1 und P 2) liegt an keiner Stelle oberhalb der Kurve. Abbildung 2.5: Konkav und Konvex 6

7 Mit diesem Vorwissen wollen wir nun, ausgehend von Denition 2.2, auf eine weitere Denition hinführen. Nach Denition 2.2 soll für die zweite Ableitung an einem Wendepunkt x 0 gelten, dass f 0 auf einer Seite von x 0 und f 0 auf der anderen Seite von x 0 ist. Zunächst betrachten wir die Seite, auf der f 0 ist. f 0 bedeutet, dass die erste Ableitung f monoton steigend ist. Die Steigung der Funktion f wird in diesem Fall mit zunehmendem x gröÿer. D.h. die Tangenten an f an der Stelle x werden für zunehmende x steiler, wie in Abbildung 2.6 ersichtlich ist. Folglich ist die Kurve der Funktion linksgekrümmt. Abbildung 2.6: f 0 auf einer Seite von x 0 Auf der anderen Seite des Wendepunkts x 0 ist f 0, also ist die erste Ableitung monoton fallend. Die Steigung der Funktion wird also mit zunehmendem x kleiner und die Tangenten an f an der Stelle x werden in x-richtung acher. In diesem Fall ist die Kurve der Funktion rechtsgekrümmt wie in Abbildung 2.7. Voraussetzung ist in beiden Fällen, dass f dierenzierbar ist, also dass die Ableitungen existieren. Abbildung 2.7: f 0 auf der anderen Seite von x 0 Die bisherigen Denitionen haben die zweite Ableitung benutzt, um Wendepunkte zu charakterisieren. 7

8 2.4 Denition 4 Die folgende Denition umfasst drei Bedingungen für Wendepunkte, die nur eine erste Ableitung von f brauchen, aber nicht notwendig eine zweite Ableitung. Diese Denitionen sind nicht zwangsläug äquivalent. Denition 2.4 Der Punkt x 0 ist ein Wendepunkt der Funktion f, die auf dem Intervall (a,b) gegeben ist, wenn gilt: A) Es existiert ein oenes Intervall I (a, b), x 0 I, so dass auf I f auf einer Seite von x 0 zunimmt und auf der anderen Seite von x 0 abnimmt. B) Es existiert ein oenes Intervall I (a, b), x 0 I, so dass auf I f an der Stelle x 0 ein Maximum oder Minimum annimmt. C)Es existiert ein oenes Intervall I (a, b), x 0 I, so dass für T (Tangente an f an der Stelle x 0 ) gilt: T f auf einer Seite von x 0 und T f auf der anderen Seite von x 0. Im Folgenden stellen wir einen Zusammenhang zwischen den drei Bedingungen her. Die Beziehungen zwischen den Bedingungen werden durch drei Theoreme aufgezeigt Theorem 1 Sei f dierenzierbar auf (a,b) und sei x 0 (a, b), dann gilt: (i): A) B) (ii): B) C) Beweis zu (i): Fall 1: x x 0 f (x) f (x 0 ), für x < x 0 nimmt f in x-richtung ab. x x + 0 f (x) f (x 0 ), für x > x 0 nimmt f in x-richtung zu. aus der Monotonie folgt, dass f (x 0 ) f (x) x in einer Umgebung um x 0. f nimmt also auf I an der Stelle x 0 ein Minimum an. Abbildung 2.8: Theorem 1 (i): Fall 1 Fall 2: x x 0 f (x) f (x 0 ), für x < x 0 nimmt f in x-richtung zu. x x + 0 f (x) f (x 0 ), für x > x 0 nimmt f in x-richtung ab. aus der Monotonie folgt, dass f (x 0 ) f (x) x in einer Umgebung um x 0. In diesem 8

9 Fall nimmt f auf I an der Stelle x 0 ein Maximum an. q.e.d. Abbildung 2.9: Theorem 1 (i): Fall 2 Beweis zu (ii): o.b.d.a. sei f maximal an der Stelle x 0. Der Beweis geht für f minimal an der Stelle x 0 völlig analog. o.b.d.a. sei T 0, d.h. die Funktion wird so gedreht, dass T (die Tangente an f an der Stelle x 0 ) parallel zur x-achse ist. Es gilt also, dass f (x) f (x 0 ) = T (x 0 ) = 0 x aus einer Umgebung um x 0. für x > x 0 : f f(x) f(x (x) = lim 0 ) x 0 x x x 0 0 (zentraler Dierenzenquotient) da x > x 0 f(x) f(x 0 ) = T (x 0 ) = T (x). D.h., dass f(x) T (x) für x > x 0, also auf einer Seite von x 0. für x < x 0 : f f(x) f(x (x) = lim 0 ) x 0 x + x x 0 0 (zentraler Dierenzenquotient) da x < x 0 f(x) f(x 0 ) = T (x 0 ) = T (x). D.h., dass f(x) T (x) für x < x 0, also auf der anderen Seite von x 0. q.e.d Theorem 2 (i): Es existieren unendlich oft dierenzierbare Funktionen, die in einer Umgebung von x 0 C) erfüllen, aber nicht B). (ii): Es existieren unendlich oft dierenzierbare Funktionen, die in einer Umgebung von x 0 B) erfüllen, aber nicht A) Beweis: Zu (i): deniere eine Funktion f mit (e x 2 sin( 1 x ))2 für x > 0 f(x) = 0 für x 0 = 0 (e x 2 sin( 1 x ))2 für x < 0 (2.5) 9

10 Abbildung 2.10: Theorem 2 (i): Skizze der Funktion f Skizze siehe Abbildung f ist unendlich oft dierenzierbar, da f aus Sinus- und e-funktion zusammengesetzt ist. Die Voraussetzung von Theorem 2 ist also erfüllt. Alle Ableitungen verschwinden an der Stelle x 0 = 0. Daraus folgt, dass T (Tangente an f an der Stelle x 0 ) identisch mit der x-achse ist, also an allen Stellen den Wert 0 hat (T 0). Auÿerdem ist f(x) 0 für x < x 0 und f(x) 0 für x > x 0. Es gilt also T f für x < x 0 und T f für x > x 0, folglich ist C) erfüllt. Aber B) ist nicht erfüllt, denn die Funktion f oszilliert stark, und zwar so stark, dass sie in jedem Intervall mit x 0 als Endpunkt sowohl zu- als abnimmt. Daraus kann man ableiten, dass f in jedem Intervall mit x 0 als Endpunkt sowohl positive als auch negative Werte annimmt, f (x 0 ) = 0 kann also nur zwischen lokalen Maxima und Minima liegen. Demzufolge kann f an der Stelle x 0 kein lokales Maximum oder Minimum annehmen so dass B) nicht erfüllt sein kann. q.e.d. Zu (ii): nehme eine Funktion g mit g(x) = x 0 h(t)dt (2.6) und h(x) = { (e x 2 sin( 1 x ))2 für x 0 0 für x 0 = 0 (2.7) Skizze von h siehe Abbildung Die Funktion g ist in einer Umgebung um den Ursprung unendlich oft dierenzierbar, da g aus Sinus- und e-funktion zusammengesetzt ist. g erfüllt also die Voraussetzung von Theorem 2. Auÿerdem ist g (x) 0 x in der Umgebung um x 0 = 0 und es ist g (x 0 ) = 0. 10

11 Abbildung 2.11: Theorem 2 (ii): Skizze der Funktion h Daraus folgt, dass g an der Stelle x 0 = 0 ein lokales Minimum annimmt und somit B) erfüllt ist. Aber A) ist nicht erfüllt, denn g nimmt in jedem Intervall mit x 0 = 0 als Endpunkt sowohl zu als auch ab (siehe (i)). Das sieht man auch wenn man g betrachtet, denn g nimmt in jedem Intervall mit x 0 = 0 als Endpunkt sowohl positive als auch negative Werte an. Das ist ein Widerspruch zu A). q.e.d. Funktionen wie die in unserem Beispiel sind überraschend, da sie nach einer Denition einen Wendepunkt haben, der aber nach einer anderen Denition kein Wendepunkt ist. Wie wir gesehen haben, macht auch die beliebig häuge Dierenzierbarkeit die Denitionen nicht äquivalent. Das Problem ist, dass sich in diesem Fall schwer Aussagen über die Existenz von Wendepunkten machen lassen. Es gibt aber eine Klasse von Funktionen, für welche die Denitionen äquivalent sind, nämlich die analytischen Funktionen, also diejenigen Funktionen, die an allen Stellen durch eine konvergente Potenzreihe angenähert werden können. Mit diesen Funktionen befasst sich nun Theorem Theorem 3 Sei f analytisch auf einem Intervall (a,b), das x 0 enthält. Dann sind die Bedingungen A), B) und C) äquivalent. z.z. ist also, dass unter dieser Voraussetzung gilt: C) A). Bemerkung: Wenn die Funktion f analytisch ist, dann kann man sie in jedem Punkt durch eine konvergente Potenzreihe annähern. D.h. es gibt in jedem Punkt x eine Potenzreihe, die gegen f(x) konvergiert. Wenn f analytisch ist, dann ist auch f analytisch, denn wenn man eine Potenzreihe ableitet, dann erhält man wieder eine Potenzreihe. f kann also auf einer Menge von Punkten, die x 0 als Häufungspunkt haben, nicht verschwinden (auÿer wenn f linear ist), da es durch seine Werte auf so einer Menge bestimmt ist. Aus dieser Tatsache kann man schlieÿen, dass für x 0 (a, b) ein oenes Intervall 11

12 I (a, b) existiert, so dass auf I, f auf beiden Seiten von x 0 monoton ist. (Genaueres in Funktionentheorie) Um Theorem 3 zu beweisen, nehmen wir an, dass die Funktion f Denition C) erfüllt. Dann ist T f auf einer Seite von x 0 und T f auf der anderen Seite von x 0. Wir müssen nun zeigen, dass f dann Denition A) erfüllt, d.h. dass f auf einer Seite von x 0 monoton steigend, auf der anderen Seite monoton fallend ist. Aufgrund der Bemerkung braucht man nur noch die Art der Monotonie zu untersuchen (fallend oder steigend). Beweis: Sei o.b.d.a. T f auf einer Seite von x 0. Der Beweis für T f geht analog. Sei o.b.d.a. T 0. Fall 1: T f für x > x 0. Dieser Fall ist in Abbildung 2.12 dargestellt. Es gilt f (x 0 ) = T (x 0 ) = 0 und f(x 0 ) = T (x 0 ). Für x > x 0 gilt f(x) T (x) = T (x 0 ) = f(x 0 ). Steigung an Stellen x > x 0 : f f(x) f(x (x) = lim 0 ) x 0 x x x 0 0 f (x 0 ) f (x) für x 0 < x. Da f monoton ist, ist f monoton steigend. Abbildung 2.12: Theorem 3: Fall 1 Fall 2: T f für x < x 0. Diesen Fall zeigt Abbildung Es gilt f (x 0 ) = T (x 0 ) = 0 und f(x 0 ) = T (x 0 ). Für x < x 0 gilt f(x) T (x) = T (x 0 ) = f(x 0 ). Steigung an Stellen x < x 0 : f f(x) f(x (x) = lim 0 ) x 0 x + x x 0 0. f (x) f (x 0 ) für x < x 0. Da f monoton ist, ist f monoton steigend. q.e.d. analog gilt für T f, dass f monoton fallend ist. 12

13 Abbildung 2.13: Theorem 3: Fall 2 3 Wie bestimmt man Wendepunkte? gegeben ist eine Funktion f. Um die Wendepunkte zu bestimmen, geht man nach folgendem Schema vor: 1. Identiziere die Punkte, an denen f = 0 oder an denen f undeniert ist. 2. Bestimme die Vorzeichen von f über die Intervalle, welche die bei 1. bestimmten Punkte trennen. 3. Man hat einen Wendepunkt gefunden, wenn an dem bestimmten Punkt ein Vorzeichenwechsel von f vorliegt. Beispiel 1: Ganzrational Abbildung 3.1: Graph der Funktion f aus Beispiel 1 f(x) = x 4 + 2x 3 12x 2 (3.1) f (x) = 4x 3 + 6x 2 24x (3.2) f (x) = 12x x 24 (3.3) 13

14 zu 1. f ist an allen Stellen deniert. Die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt man, indem man 12x x 24 = 0 setzt. Das gilt genau dann, wenn x 2 + x 2 = 0 ist. So kann man nun die Kandidaten für Wendepunkte mithilfe der Mitternachtsformel berechnen: x 1/2 = 1± 1+8 = 1±3 x = 1, x 2 = 2. zu 2. Als Intervalle kann man z.b. I 1 = [0, 2] und I 2 = [ 3, 1] wählen. Es bleibt das Bestimmen der Vorzeichen der zweiten Ableitung über diese Intervalle. I 1 = [0, 2] f (0) = 24, f (2) = 48. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vor. I 2 = [ 3, 1] f ( 3) = 48, f ( 1) = 24. Über das Intervall I 2 wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen. zu 3. Die Funktion hat also zwei Wendepunkte, nämlich W 1 (1 9) und W 2 ( 2 48). Beispiel 2: Gebrochenrational Abbildung 3.2: Graph der Funktion f aus Beispiel 2 f(x) = x3 4x 2 + 4x 4x 2 8x + 4 = x(x 2)2 4(x 1) 2 (3.4) f (x) = (x 2)(x2 x + 2) 4(x 1) 3 (3.5) f (x) = 4 x 2(x 1) 4 (3.6) zu 1. f ist an allen Stellen auÿer x = 1 deniert. x = 1 ist also ein Kandidat für einen Wendepunkt. x 1 = 1 14

15 Weitere Kandidaten für Wendepunkte sind Nullstellen der zweiten Ableitung, also Lösungen der Gleichung = 0 bzw. der Gleichung 4 x = 0. Diese Gleichungen 4 x 2(x 1) 4 werden genau durch x = 4 gelöst. x 2 = 4 zu 2. Als geeignete Intervalle kann man z.b. I 1 = [0, 2] und I 2 = [3, 5] wählen, und über diese Intervalle die Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. I 1 = [0, 2] f (0) = 2, f (2) = 1. D.h. für diesen Kandidaten erhalten wir keinen Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung, der Kandidat ist also kein Wendepunkt. I 2 = [3, 5] f (3) = 1, f (5) = 1. Die zweite Ableitung wechselt also das Vorzeichen zu 3. Die Funktion hat einen Wendepunkt: W (4 4 9 ) 4 Resümee Im Rückblick auf die Arbeit ergeben sich einige überraschende und interessante Ergebnisse. Zum Einen stellt sich die Bedingung, die in der Schule als notwendige Bedingung für einen Wendepunkt gelehrt wird, nämlich dass am Wendepunkt x 0 gilt: f (x 0 ) = 0, als gar nicht notwendig heraus. Tatsächlich muss diese Bedingung am Wendepunkt nämlich nicht erfüllt sein. Es kann sein, dass die zweite Ableitung am Wendepunkt nicht deniert ist. In den zwei vorgeführten Beispielen war am Wendepunkt eine Unstetigkeitsstelle der zweiten Ableitung, bzw. die zweite Ableitung war am Wendepunkt nicht deniert und die Wendetangente war parallel zur y-achse. Ein weiteres überraschendes Resultat ist die Tatsache, dass ein Punkt einer bestimmten Funktion nach einer Denition ein Wendepunkt sein kann, eine andere Denition für Wendepunkte aber nicht erfüllt. Dies resultiert daraus, dass die entsprechenden Denitionen nicht äquivalent sind. Der Grund dafür liegt in der Eigenschaft der Funktion, dass die Ableitung f an allen Punkten, an denen sie nicht verschwindet, unstetig ist. Literatur [1] A.R. Rajwade und A.K. Bhandari: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory, Kapitel 5.5, , Hindustan Book Agency (2008) [2] A.A. Ball, Identifying points of inection, Math.Gaz., 63 (1979), [3] A.M. Bruckner, some nonequivalent denitions of inection points, Amer.Math.Monthly, 69 (1962), [4] A.W. Walker, What is a point of inection?, Amer.Math.Monthly, 63 (1956), [5] Graphiken: MatheGrax.de 15