Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015

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1 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt. a fx, y = x + y Wir definieren die Hilfsfunktion g : R R: gx, y = x + y. Es gilt x gx, y =. y In jeder Teilaufgabe ist das Gleichungssystem zu lösen. Das Gleichungssystem wird zu f x f y Gleichung - Gleichung ergibt x, y = λx x, y = λy x + y = = λx = λy x + y =. λx y = 0 und wir folgern x = y, da in den ersten zwei Gleichungen λ 0 sein muss. Die Extrema liegen also in x, y =, und in x, y =,. Man sieht schnell, dass in, ein lokales Maximum und in, ein lokales Minimum ist, denn wir können diese Punkte einfach einsetzen und erhalten f, = + =, f, = =. Man sieht in der Skizze, dass die Extrema genau dort liegen, wo die Höhenlinen von f die Höhenline gx, y = aus der Nebenbedingung berühren. Anders ausgedrückt: In den Extrema sind f und g linear abhängig.

2 b fx, y = xy Das Gleichungssystem wird zu y = λx x = λy x + y =. Wir setzen die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein: x = 4λ x x 4λ = 0 x = 0 oder λ = ±. Falls x = 0 folgt y = 0, was ein Widerspruch zur dritten Gleichung ist. Falls λ = / folgt x = y, also gilt x, y =,

3 oder x, y =,. Falls λ = / folgt x = y, also gilt oder x, y = x, y =,,. Auch hier sehen wir schnell, dass sich die lokalen Minima in, und die lokalen Maxima in, und und, befinden, indem wir diese Punkte einsetzen: f, f, = f = f,, =, = In den Extrema sind f und g wiederum linear abhängig.

4 c fx, y = x + y Das Gleichungssystem wird zu 4x = λx 6y = λy x + y =. Aus der ersten Gleichung erhalten wir x = 0 oder λ =. Falls x = 0 folgt y = ±, was der zweiten Gleichung nicht widerspricht wähle λ =. Falls λ =, folgt y = 0 und daher x = ±. Wir finden also lokale Minima in ±, 0 und lokale Maxima in 0, ±, wie wir durch Einsetzen sehen: f±, 0 =, f0, ± = Die roten Höhenlinien beschreiben gegen aussen hin immer grössere Höhenniveaus. Von innen nach aussen berühren die Höhenlinien zuerst die Minima und am Schluss die Maxima auf dem Einheitskreis.. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren auf der durch die Gleichung gx, y = x 6 + y 6 = definierten Kurve die Punkte mit minimalem und die Punkte mit maximalem Abstand zum Ursprung. 4

5 Die Aufgabenstellung lautet: Finde die Extrema von fx, y = x + y unter der Nebenbedingung gx, y = x 6 + y 6 =. fx, y = Das Gleichungssystem lautet also x, gx, y = y x = 6λx 5 y = 6λy 5 x 6 + y 6 =. 6x 5 Falls x, y 0 gilt, folgt aus den ersten beiden Gleichungen λ 0 und xy = 6λx 5 } y xy = 6λxy 5 x 5 y = xy 5 x 4 = y 4 x = y und weiter wegen der Nebenbedingung = x 6 + y = x 6 + x = x 6 x = ± 6 ±0.89, y = ± 6 6y 5 und f ± 6, ± 6 =.59. Falls x = 0 gilt, so folgt y = ± und f0, ± =. Wähle λ =. Falls y = 0 gilt, so folgt x = ± und f±, 0 =. Wähle λ =. 5

6 Zusammengefasst erhalten wir also die vier Maxima ± 6, ± 6 und die vier Minima 0, ± und ±, 0. Wenn wir uns nochmals die Skizze anschauen, dann sind die Minima die Schnitte der Kurve mit den Achsen und die Maxima liegen in den abgerundeten Ecken.. Prüfungsaufgabe 5, Winter 05. Wir betrachten die Schnittkurve S = {x, y, z R z = x + y } {x, y, z R x + y z = }. Bestimmen Sie den höchsten Punkt auf S. Lagrange: Wir maximieren die Funktion fx, y, z = z unter den Nebenbedingungen g x, y, z = x + y z = 0 und g x, y, z = x + y z =. Zu lösen ist das Gleichungssystem f = λ g + λ g unter den Nebenbedingungen, also 0 = λ x + λ 0 = λ y + λ = λ λ z = x + y z = x + y +. Die dritte Gleichung liefert λ = λ. Eingesetzt in die ersten beiden Gleichungen erhalten wir λ x = + λ λ y = + λ Nun sieht man aus der ersten Gleichung, dass λ 0 gelten muss, die Gleichungen können somit nach x und y aufgelöst werden und es gilt x = + λ λ = y. Mit den Nebenbedingungen erhalten wir x x = 0. Diese quadratische Gleichung hat die en x = ± = ±. Die Höhe in diesen Punkten ist z = ±. Das Maximum wird also im Punkt +, +, + angenommen. 6

7 Direkt: Die Schnittkurve S erfüllt die Gleichung Quadratisches Ergänzen ergibt z = x + y = + x + y x + y x y =. x + y =. Wir sehen, dass S, projiziert auf die x y-ebene, der Kreis mit Mittelpunkt M =, und Radius r = ist. Da insbesondere z = x + y gilt, ist der höchste Punkt auf S jener, welcher am weitesten vom Ursprung entfernt liegt. Dieser liegt auf der Geraden, welche durch den Ursprung und M geht. Mit dem Satz von Pythagoras berechnen wir nun die Länge a siehe Skizze, also a = r = a =. Der höchste Punkt liegt also über dem Punkt +, + auf der Höhe z = x + y + = +. 7

8 y a r 0.5 M a 0.0 x Prüfungsaufgabe 6, Sommer 0. Berechne Maximum und Minimum der Funktion fx, y, z = x + y z auf der Menge S = {x, y, z R : x + y =, 4x = z}. Die Menge S ist gegeben durch gx, y, z = x + y =, und hx, y, z = 4x z = 0. Nach dem Satz von Lagrange erfüllen die Extremalstellen folgende Gleichung. fx, y, z + λ gx, y, z + µ hx, y, z = 0, also x 4 + λ 6y + µ 0 = 0. 0 Aus der. Zeile folgt µ = und aus der. Zeile erhalten wir λ = 6y. Eingesetz in die. Zeile folgt schliesslich x = y. Da die Punkte in S liegen, muss zudem = x + y = 4x und z = 4 x gelten. Folglich sind die Extremas in,, und,,. Sie haben die Werte f,, = f,, = Minimum, Maximum. 8

9 5. Bestimmen Sie die Extrema der Funktion fx, y, z = 4x + y + z auf dem Schnitt der Einheitssphäre g x, y, z = x + y + z = mit dem elliptischen Zylinder um die z-achse g x, y, z = x + y =. a Mit der Methode von Lagrange. Als erstes setzen wir g in g ein und erhalten das äquivalente System Mit fx, y, z = x 4y 4z erhalten wir das Gleichungssystem x + y = x = ±z., g x, y, z = x y z, g x, y, z = 4x y 0 x = λ x + 4λ x 4y = λ y + λ y 4z = λ z x + y = 4 x = ±z. 5 Die dritte Gleichung impliziert z = 0 oder λ =. Fall : z = 0: Dann gilt x = 0, y = ± und λ = λ, wobei λ beliebig. Einsetzen liefert f0, ±, 0 =. Fall : λ = : Die zweite Gleichung wird zu 4y = 4y + λ y, es folgt somit y = 0 oder λ = 0. Fall.: y = 0: Dann gilt x = ±, z = ± und aus Gleichung folgt λ = ± Einsetzen liefert f f, 0, ± = 4 + = +, 0, ± = 4 + =.. 9

10 Fall.: λ = 0: Die erste Gleichung wird zu x = 4x, es folgt somit x = 0 oder x =. Fall..: x = 0: Dann gilt y = ±, z = 0 wie im Fall. Fall..: x = : Dann gilt y = ± 9 = ± 7 z = ±. Einsetzen liefert f, ± 7, ± = = 5 7. Zusammenfassend finden wir das globale Maximum +, es wird an den Stellen, 0, ± angenommen, und das globale Minimum, es wird an den Stellen, 0, ± angenommen. b Durch Parametrisierung der Nebenbedingungen. Der Schnitt besteht aus den zwei Grosskreisen auf der Einheitssphäre, die in den Ebenen {x = ±z} liegen. In der Skizze sehen wir die Einheitssphäre g x, y, z = rot und die en der Gleichung x = ±z blau, welche wir zu Beginn bereits hergeleitet hatten. Dies enspricht zwei Ebenen mit Normalenvektoren, 0, ±, welche durch den Ursprung gehen. Dieser Schnitt entspricht jeweils einem Grosskreis, analog zum Äquator Schnitt der Einheitssphäre mit der Ebene z = 0. 0

11 Wir parametrisieren die zwei Grosskreise: cos t φ: π, π] R : t, sin t, cos t cos t ψ : π, π] R : t, sin t, cos t, setzen ein und leiten ab f φt = cos t + sin t + cos t f ψt = cos t + sin t + cos t df φ df ψ t = t dt dt = cos t sint + 4 sint cost + cost sint = cost sint cost +. In einem Extremum muss die Ableitung gleich 0 sein. Das führt zu den drei Fällen cost = 0, sint = 0 und cost = : i. cost = 0: Dann ist t = π/ oder t = π/ und Einsetzen liefert f φ ± π = sin ± π =. ii. sint = 0: Dann ist t = 0 oder t = π und Einsetzen liefert : f φ0 = + f φπ =. iii. cost = Dann ist sin t = cos t = 7 9 und Einsetzen liefert f φ ±t = = 5 7. Zusammenfassend finden wir das globale Maximum +, es wird mit t = 0 an den Stellen, 0, ± angenommen, und das globale Minimum, es wird mit t = π an den Stellen, 0, ± angenommen. Bemerkung: Eigentlich sind φ und ψ keine richtigen Parametrisierungen, weil sie auf einem halboffenen Intervall definiert sind und keine stetige Umkehrabbildung haben. Genau genommen bräuchten wir für jeden Grosskreis zwei Funktionen, um ihn richtig zu parametrisieren, eine z.b. auf dem offenen Intervall π, π und die andere z.b. auf dem Intervall 0, π definiert. Deren Formeln würden aber beide genau gleich aussehen wie die obigen Formeln für φ und ψ, so dass wir obige verkürzte Schreibweise verwenden können.

12 6. Prüfungsaufgabe 6, Winter 06. Bestimmen Sie die globalen Extrema der Funktion fx, y = xy auf dem Gebiet G = {x, y R x } 5 + y. Wir bestimmen zuerst die kritischen Punkte im Innern von G. Es gilt y fx, y = = 0 xy genau dann, wenn y = 0. In diesen Fällen haben wir fx, 0 = 0. Um die Extremalstellen auf dem Rand von G zu bestimmen, verwenden wir die Methode von Lagrange mit der Nebenbedingung gx, y = 9x + 5y = 5. In den kritischen Punkten muss fx, y = λ gx, y gelten, also y = λ xy 8x 50y Falls y 0 folgt aus der zweiten Gleichung λ = x 5 und mit der ersten Gleichung y = 8 5 x. Eingesetzt in die Nebenbedingung ergibt dies 7x = 5, also x = ± 5. Wir erhalten also die kritischen Punkte ± 5, ± 6. Für diese gilt f 5, ± 6 = 0, f 5, ± 6 = 0. Folglich nimmt f jeweils in 5, ± 6 das Maximum 0 und in 5, ± 6 das Minimum 0 an.