Institut für Analysis und Scientific Computing Dr. E. Weinmüller SS 2015

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Sara Elke Flater
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1 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien Dr. E. Weinmüller SS 205 A N A L Y S I S I I F Ü R T P H, (0.09) Test 2 Gruppe (DI, ) (mit Lösung ) Sie können den Taschenrechner verwenden. Unterlagen: eigenes VO-Skriptum. Arbeitszeit: 90 min. FAMILIENNAME Vorname Studium / Matr.Nr gesamt Punkte maximal 8 Tragen Sie bitte oben Ihre persönlichen Daten ein. Als Grundlage für die Beurteilung dienen ausschließlich die in die entsprechenden Kästchen eingetragenen Antworten. Machen Sie sich zunächst Notizen, und tragen Sie dann erst Ihre Lösung samt ausführlicher Zusammenfassung des Lösungweges ein! Die Größe der Kästchen ist auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt.

2 Aufgabe. Die Bahn eines Asteroiden sei durch die Gleichungen x 2 z 2 = 4 x y 2 + z = 0 beschrieben, wobei y 0 gelten soll. Gesucht ist in dieser Aufgabe jene Position des Asteroiden, an der er der Erde am nächsten kommt. Nehmen Sie die Erde als Kugel im Ursprung mit Radius 2 an. a ) Stellen Sie das entsprechende Extremwertproblem auf, sowie das Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Koordinaten (x, y, z) liefert. a): 2 P. Zu minimieren ist die Größe x 2 + y 2 + z 2 2. Das ist jedoch äquivalent dazu, die Zielfunktion zu minimieren. Die Nebenbedingungen lauten f(x, y, z) := x 2 + y 2 + z 2 ϕ (x, y, z) := x 2 z 2 4 = 0 ϕ 2 (x, y, z) := x 2 y + z = 0. Es müssen daher zwei Lagrange-Multiplikatoren λ, λ 2 eingeführt werden, die Lagrange-Funktion ergibt sich zu: F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + λ (x 2 z 2 4) + λ 2 (x 2 y + z). Als notwendige Bedingung für eine Extremalstelle muss F = 0 gelten, damit lautet das Gleichungssystem: 2x + 2λ x + λ 2 2y λ 2 2 2z 2λ z + λ 2 x 2 z 2 4 = 0 x y + z 2 b ) Drücken Sie mithilfe des Gleichungssystems die gesuchten Koordinaten nur durch die (noch unbekannten) Lagrange-Multiplikatoren aus. b): P. Aus der ersten Gleichung folgt: x = λ 2 2(+λ ). Aus der zweiten Gleichung folgt: y = λ 2 4. Aus der dritten Gleichung folgt: z = λ 2 2( λ ).

3 c ) Bestimmen Sie die Werte der Lagrange-Multiplikatoren und der Koordinaten (x, y, z) der Lösung. Die Minimalitätseigenschaft muss dabei nicht explizit nachgewiesen werden. c): P. Einsetzen der in b) gefundenen Darstellungen von (x, y, z) führt auf die zwei Gleichungen ( λ 2 2( + λ ) + ) 8 + = 0 2( λ ) ( ) λ ( + λ ) = 4 2 ( λ ) 2 für die zwei Unbekannten λ, λ 2. Die erste Gleichung ist entweder für λ 2 = 0 oder ( + + 2(+λ ) 8 2( λ ) ) = 0 erfüllt. λ 2 = 0 kann aufgrund der 2. Gleichung ausgeschlossen werden. Es muss daher (nach Multiplikation mit ( + λ )( λ ) = λ 2 auf beiden Seiten) 2 ( λ ) + 8 ( λ2 ) + 2 ( + λ ) = λ2 = 0 λ = ± gelten. Um die zweite Gleichung aufzulösen, wird auf beiden Seiten mit 4( + λ ) 2 ( λ ) 2 = 4( λ 2 ) 2 multipliziert und man erhält λ 2 2(( λ ) 2 (+λ ) 2 ) = 6( λ 2 ) 2 λ 2 2( 2λ +λ 2 2λ λ 2 ) = 024 4λ 2 2λ = 024. Damit das möglich ist, muss 0 > = λ gelten. Daraus ergibt sich λ 2 = ± 6 λ = ± 6, wobei λ 2 = 4y nicht-negativ sein soll und daher λ 2 = 6 gilt. Einsetzen ergibt für die Koordinaten x = 6 2( 2) = 4, y = 4, z = 6 24 = 2.

4 d ) Zusatzpunkt: Wie lauten die Koordinaten des Punktes auf der Erde, dem der Asteroid am nächsten kommt? c): + P. Die Koordinaten erhält man einfach durch Normieren des Ortsvektors P = auf Norm 2. Die Norm berechnet sich zu P = 6/. Der auf den Radius normierte Vektor und damit der gesuchte Ortsvektor lauten damit X =

6 Aufgabe 2. Sei U jener linearer Unterraum des L 2 (0, 4) mit dem Skalarprodukt (f, g) := 4 f(x) g(x) dx und Norm 0 f := (f, f), der von den Funktionen M = {ϕ, ϕ 2, ϕ } aufgespannt wird, ϕ (x) ϕ 2(x) ϕ (x) wobei 0 x < n x n + n x < n ϕ n (x) := x + n + n x < n + 0 n + x x gelte. Hinweis: Erkennen Sie anhand der Skizze Ähnlichkeiten der drei Funktionen, um den Aufwand beim Integrieren zu reduzieren. a ) Zeigen Sie, dass ϕ, ϕ 2, ϕ linear unabhängig sind und finden Sie jene zwei Funktionen aus M, die bereits orthogonal aufeinander stehen. a): 2 P. Wir zeigen, dass aus aϕ + bϕ 2 + cϕ 0 a = b = c = 0 folgt. Auf den Intervallen [0, ] und [, 4] sind genau ϕ bzw. ϕ ungleich 0, somit muss a = c = 0 gelten. Daraus muss schließlich aber b = 0 folgen. Es gilt (ϕ, ϕ ) = 0, da ϕ (x) ϕ (x) = 0 x gilt. ϕ und ϕ stehen also bereits orthogonal aufeinander. b ) Geben Sie eine Orthogonalbasis von U an. b): P. Es fehlt noch, ϕ 2 auf die bereits gefundenen (orthogonalen) Basisfunktionen zu orthogonalisieren: w 2 := ϕ 2 (ϕ 2, ϕ ) (ϕ, ϕ ) ϕ (ϕ 2, ϕ ) (ϕ, ϕ ) ϕ, mit und (ϕ, ϕ 2 ) = 2 ( x + 2) (x ) dx = 0 (ϕ, ϕ ) = (ϕ, ϕ ) = ϕ n 2 = 2 ( x) x dx = 2 = 6 = (ϕ 2, ϕ ) 0 x 2 dx = 2

7 Insgesamt gilt w 2 = ϕ ϕ 6 2 ϕ = ϕ 2 4 (ϕ + ϕ ) 0 x < 0 0 x < 0 x 0 x < x 0 x < 4 4 x + x 4 = x < 2 5x 2 x + x + = x < x < 5x x < x 4 x < x x 4 x < x c ) Normieren Sie die in a) gefundenen, aufeinander orthogonal stehenden Basisfunktionen und skizzieren diese gemeinsam mit der dritten, in b) orthogonalisierten Funktion. c): P. Die Norm wurde bereits in b) berechnet: ϕ n 2 = 2 und erhalten damit als orthonomierte Funktionen b := 2 ϕ, b := 2 ϕ. 2 b (x) w 2 (x) b (x) x

8 Aufgabe. a ) Ermitteln Sie mit einem Separationsansatz die allgemeine Lösung des Problems : a): P. u xx (x, t) + 4u t (x, t) u(x, t) = 0 u(x, t), x [0, π], t 0 Hinweis: Die allgemeinen Lösungen folgender Differentialgleichungen können als bekannt vorausgesetzt werden: φ (x) + a 2 φ(x) = 0 φ(x) = A cos(ax) + B sin(ax) (a, A, B R) φ (x) = a φ(x) φ(x) = C e a x (a, C R) u(x, t) = φ(x) ψ(t) u xx = φ xx ψ u t = φ ψ t φ xx φ ψt = 4 + = λ ψ λ R λ < 0 µ 2 < 0 φ xx + µ 2 φ = 0 φ(x) = A cos(µx) + B sin(µx) ψ t = λ+ 4 ψ ψ(t) = e λ+ 4 t C A, B, C R

9 b ) Benutzen Sie folgende Zusatzbedingungen, um die konstanten Faktoren zu bestimmen. b): P. u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = 4 sin(x) + 4 sin(x) Schreiben Sie die vollständige Lösung u(x, t) an. Hinweis: Anfangsbedingung Koeffizientenvergleich! φ(0) = 0 = A A = 0 φ(π) = 0 = B sin(µπ) B 0 sin(µπ) = 0 µ π = k π k = 0,, 2... µ = k λ = k 2 φ k (x) = k=0 B sin(kx) u(x, t) = φ(x) ψ(t) = k=0 C k sin(kx) e λ+ 4 t C k = B C u(x, 0) = 4 sin(x) + 4 sin(x) = k=0 C k sin(kx) C = 4 C = 4 C i = 0, i, N u(x, t) = 4 et sin(x) + 4 et sin(x)

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