Gruppenarbeit Federn, Kräfte und Vektoren
|
|
- Eugen Amsel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1 Gruppenarbeit Federn, Kräfte und Vektoren Abzugeben bis Woche 10. Oktober Der geschätzte Zeitaufwand wird bei jeder Teilaufgabe mit Sternen angegeben. Je mehr Sterne eine Aufgabe besitzt, desto grösser ist der geschätzte Zeitaufwand. Dabei wird angenommen, dass man die früheren Aufgaben gelöst hat und die dort erhaltenen Programme resp. Methoden beherrscht. 1. Federkonstante ( ) Bestimmen sie die Verlängerung Ihrer Feder unter der Belastung durch verschiedene Gewichtssteine. Tragen sie die Daten grafisch auf und bestimmen sie die Federkonstante grafisch. Benutzen sie dazu das Federgesetz F = D(x x 0 ). Skizzieren sie dazu die Situation und zeichnen sie alle auftretenden Kräfte in die Skizze ein. 2. Bestimmen des Rollwiderstandes ( ) Betrachten sie einen Körper der sich auf einem Tisch unter dem Einfluss der Schwerkraft fortbewegt. Im Experiment lassen wir einen von links einfahrenden Wagen der Masse (m 1 ) durch verschiedene Lichtschranken fahren und messen die Geschwindigkeit des Wagens. Berechnen sie den Rollwiderstandskoeffizienten und die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens indem sie v gegen t aufträgst 3. Vektoren Benutzen sie das Internet um die Addition von Vektoren und das Skalarprodukt zu studieren. (a) Addition von Vektoren ( ) BerechnensiedieSummederVektoren u = ( ux u y ) ( vx und v = v y ) Zeichnen sie in einer Skizze die Addition von u+ v und die Addition von v + u ein. Holen sie sich beim Dozenten für die nummerische Rechnung ein Beispiel. (b) Parallele Vektoren ( ) Ein Vektor w wird parallel zu s genannt, falls eine reelle Zahl t existiert, so dass w = t s gilt (t R). Skizzieren sie die Situation und geben sie die Komponenten des Vektors w explizit in Abhängigkeit des Vektors s in allgemeiner Form an.
2 2 (c) Skalarprodukt von 2 Vektoren Es existieren noch 2 verschiedene Multiplikationen von Vektoren. Es existiert das Skalarprodukt, welches wie der Name schon sagt, ein Skalar ergibt und das Vektorprodukt, welches auf einen Vektor führt. Wobei bei der Vektormultiplikation auch die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle spielt. Das Skalarprodukt von 2 Vektoren u und v, oft mit u v oder auch ( u, v) geschrieben, berechnet sich zu ( u, v) = u x v x +u y v y. Die Länge eines Vektors wird Betrag genannt. Man bezeichnet den Betrag mit und berechnet ihn nach Pythagoras u = u 2 x +u 2 y. Für einen 3 dimensionalen Raum besitzen die Vektoren 3 Komponenten und der Betrag errechnet sich analog zu der obigen Formel. i. Betrag eines Vektors ( ) Berechne das Skalarprodukt des Vektors u mit sich selber allgemein und stelle eine Beziehung zwischen dem Skalarprodukt und dem Betrag des Vektors u auf. ii. Linearität ( ) Zeige,dass die folgende Relation gilt: (α u+β v, w) = α( u, w)+β( v, w) iii. Winkel zwischen Vektoren ( ) Das Skalarprodukt kann geometrisch interpretiert werden und man erhält dabei, dass das Skalarprodukt gleich dem Produkt der beiden Beträge der beiden Vektoren multipliziert mit dem des Zwischenwinkels α zwischen diesen beiden Vektoren ist. ( u, v) = u v cos(α) Berechne mit Hilfe des Skalarproduktes die Winkel zwischen den Vektoren u, v und w. Hole dir dazu die Vektoren vom Dozenten. (d) Betrag der Summe von Vektoren ( ) Betrachten sie die Addition 2 beliebiger Vektoren c und d in einem 2dimensionalen Raum, was können sie über den Betrag der Summe c+ d aussagen? Tipp: Zeichnen sie die Vektoren auf ein Papier. (e) Betrag vom skalaren Produkt ( ) Berechnen sie allgemein den Betrag von t s. Geben sie das Resultat in Abhängigkeit des Betrages des Vektors s an.
3 3 (f) Bewegung( ) ( cos(ωt) Betrachte den Vektor c = 1 (1+t 2 ) sin(ωt) ) ( ) Zeichne als erstes für ein bestimmtes t diesen Vektor in ein 2D- Koordinatensystem und berechne den Winkel φ zwischen der positiven x Achse und dem Vektor. Zeichne als zweites die Bahn auf, was ist das in diesem Fall für eine Bewegung? Tipp: Berechne den Betrag des Vektors c. (g) Schwimmer ( ) Alle Berechnungen müssen hier mithilfe von Vektoren durchgeführt werden. Selbstverständlich muss man bei gewissen Zwischenschritten mit den Komponenten des Vektors rechnen. Zwei Personen Schwimmer machen ein Wettrennen resp. Wettschwimmen. Sie starten ( am) Ursprung des Koordinatensystems und möchten 90 den Punkt erreichen. Sie müssen dazu 2 Flüsse durchqueren. Das linke Ufer des ersten Flusses ist genau die y Achse und das 30 rechte Ufer dieses Flusses ist parallel zur y Achse und geht durch den Punkt x = 20 und y = 0. Das linke Ufer ( des 2. Flusses ) ist 60 1 in parametrischer Form (Parameter u 1 ) durch 100 u2 1 und u 1 80 das rechte Ufer (Parameter u 2 ) durch gegeben. Das Wasser fliesst im ersten Fluss in positiver y Richtung mit v F1 = 4m/s und im zweiten Fluss fliesst das Wasser in negativer y Richtung mit v F2 = 3m/s. Die beiden Wettkämpfer schwimmen mit einer Geschwindigkeit von 5m/s und rennen mit einer Geschwindigkeit von 10m/s. Wettkämpfer A wählt den Weg so, dass er bis nach dem 2. Fluss sich immer parallel zur x Achse bewegt. Danach rennt er auf dem schnellsten Weg in Richtung Ziel. Der Wettkämpfer B wählt seinen Weg hingegen so, dass er in den Flüssen immer genau in Richtung der x Achse schwimmt (Abtrieb nicht vergessen) und auf dem Land rennt er immer in Richtung vom Ziel. Wie lange benötigen die Wettkämpfer und welcher gewinnt? Anmerkung: Berechnet alles mit Hilfe von Vektoren. u 2 (h) Wie sie alle wissen beträgt die Gravitationskraft auf der Erde F G = m g, mit g = 9.81m/s 2. i. Beschleunigung( ) Wie gross ist die Beschleunigung auf dem Mond Phobos (m = kg, d = 20km)?
4 4 ii. Kräfte addieren( ) Berechne die Kraft auf einen Körper der Masse m = 3kg auf der Oberfläche von Phobos. Berücksichtige dabei die Gravitationskraft des Phobos (siehe Aufgabe oben) und von Mars (m = kg). Der Abstand (MMP zu MMP) beträgt 9378km. Vergleiche dazu die dem Mars zugewandte Seite mit dem Punkt auf dem Nordpol des Mondes. Bemerkung: Die Gravitationskraft von einem Körper 1 mit der Masse m 1 auf einen Körper 2 mit der Masse m 2 auf den Positionen r 1 und r 2 wird durch F m1 m2 = G ( r r 1 r r 2 ) gegeben. (i) Massenmittelpunkt ( ) Man betrachte nun das System Mars, Phobos ( und ) Deimos. Die Mars 6.6 befinde sich bei der Koordinate r M = m, der Phobos bei r P = m und der Deimos bei r D = m. Die Massen betragen m M = kg, m P = kg und diejenige von Deimos m D = kg. Berechne den Massenmittelpunkt r MMP! Ist dieser innerhalb oder ausserhalb von Mars? (Radius Mars= 6792km) r MMP = mm rm+md rd+mp rp m M+m D+m P 4. Federkombinationen (parallel)( ) Es wird vorausgesetzt, dass es sich hier um Federn handelt, die dem Federgesetz F = Dx mit D=konstant gehorchen. Ein Federsystem besteht aus n seriellen verschiedenen Federn mit den Federkonstanten D. Wie gross ist die Federkonstante des Systems? Zeichnen sie eine Skizze mit den Kraftvektoren und berechnen sie die Summe. Machen zum Abschluss das Experiment mit 2 Federn vergleichen sie ob das Resultat stimmt.
5 5 5. Kräfte Hängen sie die Masse mittels einer Schnur an die zwei Federn im Abstand s. (a) Hängen sie die Masse so an die Federn, dass beide Federn gleich stark belastet werden. Bestimmen sie nun mittels der Kräfte auf den Federn, der Höhe h und dem Abstand der beiden Aufhängepunkte s, die Masse des Klotzes m. Messt dazu die Kräfte auf die Federn, die Höhe h und s. Skizziert auch hier das Experiment und zeichnet die auftretenden Kräfte in die Skizze ein. ( ) (b) Hängt nun 2 verschiedene Massen an verschiedenen Punkten an die Schnur und messen sie mithilfe der Federn die Kräfte auf die Aufhängung. Berechnen sie die Kräfte auf die Verbindungsschnur. ( ) Hinweis: Hier müsst ihr alle grössen, wie Abstand, Höhe messen!
Physikpraktikum. Gruppenarbeit zum Thema: Federn, Kräfte und Vektoren. Von Michael Fellmann Manuel Mazenauer Claudio Weltert
Physikpraktikum Gruppenarbeit zum Thema: Federn, Kräfte und Vektoren Von Michael Fellmann Manuel Mazenauer Claudio Weltert Dozent: Dr. O. Merlo Studiengang: SBCH 10_01 Abgabedatum: 19.10.2010 Inhaltsverzeichnis
MehrStellen Sie diese Operation grafisch durch Pfeile in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar. + R n R n R n. + R R R
Vektoren Aufgabe Berechnen Sie 2 + 0 Aufgabe 2 Beweisen Sie das ausführlich das Assoziativgesetz der Vektoraddition + R n R n R n Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Addition + R R R verwenden machen
Mehr2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrExperimentalphysik 1
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 16/17 Lösung 1 Ronja Berg (ronja.berg@tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) Aufgabe 1: Superposition
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrVektoren - Die Basis
Vektoren - Die Basis Motivation (Als Vereinfachung - der Schreibarbeit - wählen wir meistens Vektoren in R 2.) Eigentlich ist ja Alles klar! Für einen Vektor a gilt a = ( a x a y )! Am Ende werden wir
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
MehrÜbungen zu Experimentalphysik 1 für MSE
Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 2017/18 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Dr. Neelima Paul, Sebastian Grott, Lucas Kreuzer,
MehrEinführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007
Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.
MehrLernunterlagen Vektoren in R 2
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet
MehrVektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5
Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
Mehr& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
MehrDidaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra
A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische
MehrVektorrechnung. Beispiele: (4 8) 2-Tupel (Zahlenpaar) (4 8 9) 3-Tupel (Zahlentrippel)
Vektorrechnung Oftmals möchte man in der Mathematik mit mehreren Zahlen auf einmal rechnen. Dafür werde geordnete Listen verwendet. Eine Liste besteht aus n reellen Zahlen und wird n-tupel genannt. Beispiele:
MehrMechanik 1. Übungsaufgaben
Mechanik 1 Übungsaufgaben Universitätsprofessor Dr.-Ing. habil. Jörg Schröder Universität Duisburg-Essen, Standort Essen Fachbereich 10 - Bauwesen Institut für Mechanik Übung zu Mechanik 1 Seite 1 Aufgabe
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrGruppenarbeit 2. Vektoren und Reibung. Physik, O.Merlo. Autoren. Simon Grünig und Fabian Real
Gruppenarbeit 2 Physik, O.Merlo Vektoren und Reibung Autoren Simon Grünig und Fabian Real Wädenswil, November 2010 Inhalt Vektorrechnung... 3 Aufgabe a... 3 Aufgabe b... 4 Aufgabe c... 5 Aufgabe d... 6
MehrLineare Algebra II. Bonusaufgabe B. 1. Betrachten Sie das Standard-Skalarprodukt im R 3 : R 3 R 3 R
Bonusaufgabe B 1. Betrachten Sie das Standard-Skalarprodukt im R 3 : R 3 R 3 R a 1 a 2, b 1 3 b 2 := a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. a 3 b 3 i=1 Rufen Sie sich die folgenden Zusammenhänge in Erinnerung:
MehrVektoren. Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen. Vektoren. Stefan Keppeler. 21. November 2007.
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Vektoren 21. November 2007 Vektoren Vektoren werden zur Darstellung gerichteter Größen verwendet. Man stelle sich also einen Pfeil in eine
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
MehrVektor-Multiplikation Vektor- Multiplikation
Vektor- Multiplikation a d c b Thema: Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer: Vektor-Multiplikation: Vektorprodukt Mittelschule, Berufsschule, Fachhochschule Elementare Programmierkenntnisse, Geometrie,
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
MehrÜbungsaufgabe z. Th. Coulombfeld
Übungsaufgabe z. Th. Coulombfeld Aufgabe In einem zweidimensionalen Koordinatensystem sind die beiden gleich großen positiven Punktladungen und mit gegeben. 2 0 9 C Die Ladung befindet sich auf der negativen
MehrGrundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 1
Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 1 Daniel Weiss 16. Oktober 29 Aufgabe 1 Angaben: Geschwindigkeiten von Peter und Rolf: v = 1 m s Breite des Flusses: b = 1m Flieÿgeschwindigkeit des Wassers:
MehrReflexion - Teil Formel unter Verwendung von Vektoren
Reflexion - Teil 1 1. Formel unter Verwendung von Vektoren (1. - 7. in R 2 ) 2. Fallunterscheidung: Beispiele zu 1. 3. Beispiel - Reflexionspunkt bekannt 4. Muss zur Berechnung von r der Reflexionspunkt
MehrÜbungsblatt
Übungsblatt 6..7 ) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:
MehrVektoren im R 2 und R 3
Vektoren im R und R Orientierung Vektoren Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Basis, Linearkombination Länge eines Vektors Winkel zwischen
MehrVektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen
MehrVektorrechnung Raumgeometrie
Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen
MehrPrüfungsteil B, Aufgabengruppe 2: Geometrie
Bundesabitur Mathematik: Bayern 01 Aufgabe 1 a) 1. SCHRITT: VEKTOR CH BESTIMMEN CH = ( 8 108 ) ( 10) = ( 0 ). 3. SCHRITT: LÄNGE DES VEKTORS BERECHNEN CH = ( ) + 3 =. 3. SCHRITT: BERECHNUNG DES FLÄCHENINHALTS
Mehr2. Vorlesung Wintersemester
2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
MehrLineare Funktionen. Aufgabe 1. Sei f R 2 R definiert durch. x 1 + 3x Beweisen Sie ausführlich, dass f linear ist.
Lineare Funktionen Aufgabe. Sei f R R definiert durch x f = x x + 3x. Beweisen Sie ausführlich, dass f linear ist. Aufgabe. Die Funktionen (nicht erschrecken sind definiert durch + ( (R n R m (R n R m
MehrÜbung (5) 2x 2y +2u 3v =1 3x 2u + v =0 2x +3y u +2v =0
Übung (5) 1. Lösen Sie folgendes lineare Gleichungssystem - sagen Sie zuvor, wie die Lösungsmenge aussehen sollte bzw. geometrisch zu interpretieren wäre: x y +u v =1 x u + v =0 x +y u +v =0. Sagen Sie
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
Mehrc) Am Punkt R( ) ändert das U-Boot seine Fahrtrichtung und fährt in Richtung des Vektors w = 13
Lineare Algebra / Analytische Geometrie Grundkurs Aufgabe 9 U-Boot Während einer Forschungsfahrt tritt ein U-Boot am Punkt P(100 0 540) alle Angaben in m in den Überwachungsbereich seines Begleitschiffes
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 24. November 2016 HSD. Physik. Rotation
Physik Rotation Schwerpunkt Schwerpunkt Bewegungen, Beschleunigungen und Kräfte können so berechnet werden, als würden Sie an einem einzigen Punkt des Objektes angreifen. Bei einem Körper mit homogener
MehrErmitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes dieser beiden Geraden und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!
Aufgabe 2 Lagebeziehungen von Geraden im Raum Gegeben sind zwei Geraden g und h in 3. =( 3 Die Gerade g ist durch eine Parameterdarstellung X 4 2 Die Gerade h verläuft durch die Punkte A = (0 8 0 und B
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
MehrVEKTOREN. Allgemeines. Vektoren in der Ebene (2D)
VEKTOREN Allgemeines Man unterscheidet im Schulgebrauch zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Vektoren (es kann aber auch Vektoren geben, die mehr als 3 Komponenten haben). Während zweidimensionale
Mehr2.2. Skalarprodukt. Geschwindigkeitsvektoren ergeben sich bei allen Bewegungen. Sie zeigen jeweils in Richtung der Bahnkurve.
.. Skalarprodukt Kraftvektoren treten bei vielen physikalisch-technischen Problemen auf; sie greifen an einem Punkt in verschiedenen Richtungen an. Die bekannte Formel Arbeit = Kraft mal Weg muß man dann
MehrDas Wichtigste auf einen Blick
Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 27. Oktober 2016 HSD. Physik. Vektoren Bewegung in drei Dimensionen
Physik Vektoren Bewegung in drei Dimensionen y (px) ~x x (px) Spiele-Copyright: http://www.andreasilliger.com/index.php Richtung a b b ~x = a Einheiten in Richtung x, b Einheiten in Richtung y y (px) ~x
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II
Mathematik für Naturwissenschaftler II Dr Peter J Bauer Institut für Mathematik Universität Frankfurt am Main Sommersemester 27 Lineare Algebra Der mehrdimensionale Raum Vektoren Im Teil I dieser Vorlesung
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1
MehrLineare Algebra: Theorie und Anwendungen
Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und
MehrLineare Algebra. Inhalt. Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik 2 Literatur: Teschl/Teschl, Band 1, Kap. 9-14
Lineare Algebra Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik Literatur: Teschl/Teschl, Band, Kap. 9-4 Inhalt Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare
MehrD-MAVT Lineare Algebra I HS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen 7
D-MAVT Lineare Algebra I HS 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen 7. Gegeben seien: A := ( ), A := 5 ( ) 3 4. 4 3 Welche der folgenden Aussagen gelten? (a) A ist orthogonal. (b) A ist orthogonal. Lösung.
MehrProbeklausur Modul P1a: Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre 8. Januar 2010
WS 2009/2010 Probeklausur Modul P1a: Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre 8. Januar 2010 Nachname, Vorname... Matrikel-Nr.:... Studiengang:... Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Summe maximale 5
MehrLänge, Skalarprodukt, Geradengleichungen
Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Jörn Loviscach Versionsstand: 9. April 2010, 18:48 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrTransformation - 3. Für "übliche" Anwendungen in der Geometrie ist es sinnvoll, bei Transformationen eine gleiche
Transformation - 3 Wiederholung und spezielle Angaben im Zusammenhang mit Kreis-Berechnungen 1. Problemstellung Im Zusammenhang mit der Berechnung von Schnittflächen kann es sinnvoll sein, die Berechnung
MehrLösung II Veröffentlicht:
1 Momentane Bewegung I Die Position eines Teilchens auf der x-achse, ist gegeben durch x = 3m 30(m/s)t + 2(m/s 3 )t 3, wobei x in Metern und t in Sekunden angeben wird (a) Die Position des Teilchens bei
MehrSerie 8 - Parametrisierte Kurven
Analysis D-BAUG Dr Meike Akveld HS 05 Serie 8 - Parametrisierte Kurven Geben Sie für die folgenden Bewegungen eines Punktes jeweils eine parametrisierte Darstellung I [0, ] R xt, t yt an Lösung a Geradlinige
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrName: Gruppe: Matrikel-Nummer:
Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober
MehrVektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ
Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts
Mehr2. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 20. Oktober 2009
2. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 20. Oktober 2009 Aufgabe 2.1: Wintersport Ein Rennschlitten hat vom Start an die gleich bleibende Beschleunigung
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrVektoren - Basiswechsel
Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug
MehrAlgebra 2.
Algebra 2 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(10 0 0), B(0 4 0) und C(0 0 6) sowie die Ebenenschar E t : 3y + tz 3t = 0 (t R) gegeben. Die Punkte
MehrLösungen Übungsblatt 3 (Vektorgeometrie)
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik- und Naturwissenschaft Lösungen Übungsblatt (Vektorgeometrie Roger Burkhardt Mathematik. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren
Mehrn n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 )
IX. Normalformen ================================================================== 9.1 Die Normalenform einer Geradengleichung im 2-dimensionalen Punktraum ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrAlgebra Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale
Algebra 1 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale Lösung? x + y + mz = 0 mx y + z = 0 x + y + z = 0. Welche Punkte P z der z-achse
MehrIlja Repin Die Wolgatreidler (1873) Das Skalarprodukt. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Ilja Repin Die Wolgatreidler (1873) Das Skalarprodukt 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Treideln http://www.rheinschifffahrtsgeschichte.de/mainzer%20pano%20dateien/tierer%20treideln.jpg Treideln heißt eine
MehrAbitur 2011 G8 Abitur Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Abitur Mathematik Geometrie V In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 6 ), B( 8 6 6) und C( 8 6) gegeben. Teilaufgabe 1a (8
MehrVektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,
Mehr1 Die drei Bewegungsgleichungen
1 Die drei Bewegungsgleichungen Unbeschleunigte Bewegung, a = 0: Hier gibt es nur eine Formel, nämlich die für den Weg, s. (i) s = s 0 + v t s ist der zurückgelegte Weg, s 0 der Ort, an dem sich der Körper
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de c 018 Steven Köhler Wintersemester 018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil Teil
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
Mehr3.6 Einführung in die Vektorrechnung
3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................
MehrD-MAVT/D-MATL FS 2017 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie18
D-MAVT/D-MATL FS 7 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie8. Klicken Sie die falsche Aussage an. a) Der Operator div ) ordnet einem Vektorfeld v ein Skalarfeld div v zu. v b) div v = x, v y, v )
MehrSolutions I Publication:
WS 215/16 Solutions I Publication: 28.1.15 1 Vektor I 4 2 Ein Objekt A befindet sich bei a = 5. Das zweite Objekt B befindet sich bei b = 4. 2 3 (a) Die Entfernung von Objekt A zum Ursprung ist die Länge
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
MehrAnalytische Geometrie des Raumes
Analytische Geometrie des Raumes Als Begründer der analytischen Geometrie gilt René Descartes (Discours de la méthode). Seine grundliegende Idee bestand darin, geometrische Gebilde (Gerade, Kreis, Ellipse
MehrZusammenfassung der Analytischen Geometrie
Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren
MehrStiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 2017/2018
6 Skalarprodukt Bisher haben wir die Addition und Subtraktion von Vektoren definiert. Zudem haben wir Vektoren mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man Vektoren
MehrTECHNISCHE MECHANIK III (DYNAMIK)
Klausur im Fach TECHNISCHE MECHANIK III (DYNAMIK) WS 2014 / 2015 Matrikelnummer: Vorname: Nachname: Ergebnis Klausur Aufgabe: 1 2 3 4 Summe Punkte: 15 7 23 15 60 Davon erreicht Bearbeitungszeit: Hilfsmittel:
MehrLineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
Mehrc) y = ln( 2x + 5) d) y = 2) Verwandeln Sie die gegebene implizite Funktion in die explizite Form y(x):
Übungen zur Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I (Mathematische Grundlagen für das Physikstudium I) WS /, 6 VO+UE Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago ) Finden Sie die Umkehrung von folgenden
MehrElektro- und Informationstechnik SS Mathematik I - Übungsblatt 05 Lösungsvorschläge
- Übungsblatt 05 Lösungsvorschläge Aufgabe 1 Gegeben sind die beiden Spaltenvektoren im x-y-koordinatensystem a=[1, 2] T und b=[ 3, 1] T. a) Skizzieren Sie a und b im x-y-koordinatensystem. Dabei auf vollständige
MehrSerie 3 Musterlösung
Lineare Algebra wwwadams-scienceorg Serie Musterlösung Klasse: Ea, Eb, Sb Datum: HS 7 Norm, Betrag und Normierung Y4 Berechne die fehlenden Grössen Die Vektoren werden in darauf folgenden Unteraufgaben
Mehr