Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen

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1 Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008

2 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen Koordinaten

3 Addition von Vektoren Addition von Vektoren wird komponentenweiße durchgeführt Beispiel k 1 k 2 k res Berechnung k1 + k 2 = = x 1 y 1 z 1 + x 1 + x 2 y 1 + y 2 z 1 + z 2 x 2 y 2 z 2 = k res

4 Beispiel Beispiel: Flug mit Gegenwind siehe Übungen, Aufgabe 7 Beispiel: Bootsfahrt quer zur Strömung Berechnung sin(α) = v F v B und v g = v g = v B 2 v F 2

5 Komponentenzerlegung Komponentenzerlegung von Vektoren v = v x v y v z = v x v y v z = v x + v y + v z Beispiel in 2 Dimensionen y Zerlegung y v v y v x v x x

6 Beispiel Beispiel: schiefer Wurf im Schwerefeld vy v 0 vx g Startbedingungen Kräfte Beschleunigungen v x,0 = v 0 cos(α) v y,0 = v 0 sin(α) F x = 0 F y = m g a x = 0 a y = g

7 Beispiel: schiefer Wurf im Schwerefeld Startbedingungen Kräfte Beschleunigungen v x,0 = v 0 cos(α) v y,0 = v 0 sin(α) F x = 0 F y = m g a x = 0 a y = g Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze Weg-Zeit-Gesetze v x (t) = v x,0 v y (t) = v y,0 g t s x (t) = v x,0 t s y (t) = v y,0 t 0, 5 g t 2 Parameter-Darstellung: s y (s x ) s y (s x ) = v y,0 v x,0 s x 0, 5 g v 2 x,0 s 2 x

8 Beispiel Beispiel: Abrutschen auf der schiefen Ebene F H F N F G Berechnung F H = F G sin α F N = F G cos α F R = µ F N Abrutschbedingung: F H > F R F G sin α = µ F G cos α tan α = µ

9 Skalarmultiplikation Multiplikation mit einem Skalar s v x s v = s v y = v z s v x s v y s v z Darstellung k 2 k -1 k Resultat a) Betrag (also die Pfeillänge) wird um den Faktor s vergrößert b) Orientierung bleibt unverändert

10 Vektormultiplikation Multiplikation von zwei Vektoren Arten von Vektormultiplikation a) Skalarprodukt b) Kreuzprodukt

11 Skalarprodukt Berechnung a 1 a 2 = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 grafische Bedeutung insbesondere a 1 a 2 = a 1 a 2 cos α a 1 a 2 a 1 a 2 = 0 a 1 a 2 a 1 a 2 = a 1 a 2 a 1 = a 2 a 1 a 1 = a 1 2 a 1 a 2 Betrag eines Vektors a = a a = x 2 + y 2 + z 2

12 Beispiel Beispiel: mechanische Arbeit W anschaulich W = F s = F s cos α F s Projektion: nur die x-komponente verrichtet Arbeit F x x W = 0 F z 0 = F x x 0

13 Beispiel Beispiel: Anheben einer Masse m um die Strecke z 0 0 W = 0 m g 0 = m g z z Aber: Eine Masse m die Strecke x tragen 0 x W = 0 m g 0 0 Oder: einfach nur festhalten 0 W = 0 m g = 0 = 0

14 mechanische Arbeit verallgemeinert im Allgemeinen kann... die Kraft eine Funktion der Ortsvariablen x, y und z sein! Dann ist W = s2 s 1 F d s Beispiel: Dehnen einer Feder in x-richtung D x F = 0 d s = 0 dx 0 0 dazu notwendige Arbeit W = x2 x 1 D x dx = 1 2 D (x2 2 x 2 1)

15 Kreuzprodukt Berechnung a 1 a 2 = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = y 1 z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2 = a 3 grafische Bedeutung Rechte-Hand-Regel

16 Kreuzprodukt Berechnung a 1 a 2 = Also: Richtung Und: Betrag x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = a 3 a 1 und a 3 a 2 a 3 = a 1 a 2 sin α y 1 z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2 = a 3

17 Beispiel Beispiel: Corioliskraft F c = m 2 ( v ω) }{{} a c = 2 v ω = 2 v ω für v ω a c

18 Beispiel Beispiel: Zentripetalkraft F z = m ω ( r ω) }{{} a z a z = r ω 2 = v2 r für r ω r

19 Drehbewegungen Drehbewegungen

20 Drehimpuls Definition L = r p = m r v L = m v r für r v L r v Drehimpulserhaltung Wenn kein resultierendes Drehmoment D wirkt, dann bleibt der Drehimpuls L zeitlich konstant, also erhalten!

21 Drehimpulserhaltung und Drehmoment Beweis Achtung! dl ( d r dt = }{{} dt v ) ( p + r d p dt }{{} F ) = r F = D Es ist der Drehimpulsvektor erhalten also sowohl Betrag als auch Richtung des Drehimpulses sind zeitlich konstant, wenn kein Drehmoment wirkt!

22 Drehimpulserhaltung Erhaltung des Betrages: L = L = m v r Erhaltung der Richtung: L = r p

23 Balkenwaage Prinzip der Balkenwaage Austarieren System ist in Ruhe es wirkt kein resultierendes Drehmoment (D ges = 0) d1 d2 Berechnung: einfach, da d F D 1 = D 1 = d 1 m 1 g D 2 = D 2 = d 2 m 2 g m 1g m 2g D ges = D 1 + D 2 = g (d 1 m 1 d 2 m 2 )! = 0 Also: d 1 m 1 = d 2 m 2 Hebelgesetz

24 Schwerpunkt Konzept ausgedehnter, starrer Körper Gesamtdrehmoment auf Körper der Masse m tot im Erdschwerefeld ist Summe aus den Drehmomenten auf kleine Masseelemente m i D = ( N N ) r i ( m i g) = m i r i g = m tot r S g i=1 i=1 Schwerpunkt r S r S = N i=1 m i r i N i=1 m i = N i=1 m i r i m tot Resultat Die Schwerkraft wirkt, als wäre die gesamte Masse des Körpers im Schwerpunkt konzentriert!

25 Schwerpunkt Beispiel: Gleichgewichtslage des physikalischen Pendels zum experimentellen Auffinden des Schwerpunktes!

26 Schwerpunkt Beispiel: im Schwerpunkt gelagert wirkt kein resultierendes Drehmoment!

27 Schwerpunkt Beispiel: Umkippen, wenn der Schwerpunkt über die Auflagefläche gedreht wird!

28 Schwerpunkt Beispiel: Umkippen ohne ESP!

29 Kraftwirkung auf starre Körper Eine Kraft F bewirkt im allgemeinen sowohl dessen translatorische Beschleunigung F = d p dt... als auch eine Änderung seines Drehimpulses D = r F = d L dt Für letztere ist der Angriffspunkt der Kraft am Körper entscheident!

30 Kraftwirkung auf starre Körper Beispiel: Translation und Rotation SP r A F

31 Kraftwirkung auf starre Körper Beispiel: nur Translation SP r A F

32 Rotationsenergie E rot Frage: welche Energie steckt in der Rotation eines starren Körpers? Wieder betrachen wir den Körper zusammengesetzt aus vielen kleinen Massen m i am Ort r i mit der Geschwindigkeit v i. Dann ist v i = ω r i v 2 i = ω 2 ρ 2 i i m i r i

33 Rotationsenergie E rot Frage: welche Energie steckt in der Rotation eines starren Körpers? Wieder betrachen wir den Körper zusammengesetzt aus vielen kleinen Massen m i am Ort r i mit der Geschwindigkeit v i. Wegen v i = ω r i v 2 i = ω 2 ρ 2 i ist die kinetische Energie dann gegeben durch E kin = 1 2 N m i vi 2 = 1 2 i=1 N m i ρ 2 i ω 2 = 1 2 I ω2 = E rot i=1 } {{ } I mit dem Trägheitsmoment I = N i=1 m i ρ 2 i.

34 Trägheitsmoment I Bedeutung Das Trägheitsmoment I ist die physikalische Größe, die die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung angibt! Nicht vergessen! In I = N 2 m i ρ i i=1 bezeichnet ρ i den senkrechten Abstand des Masseelementes m i zur betrachteten Rotationsachse. Deshalb hängt I auch entscheident von der Drehachse ab!

35 Trägheitsmoment I Beispiel: Ändern des Trägheitsmomentes und Energieerhaltung

36 Volumenintegrale Summation Integration m i N, m i 0 dm = ϱ( r) dv mit der lokalen Dichte ϱ( r). Die diskrete Summation geht dann über in eine kontinuierliche Integration N m i i=1 N, m i 0 V ϱ( r) dv Trägheitsmoment I I = V ρ 2 ϱ( r) dv

37 Volumenintegrale Kartesische Koordinaten dv = Zylinderkoordinaten V dx dy dz V dv = ρ dφ dρ dz wobei x = ρ cos(φ) y = ρ sin(φ) z = z

38 Volumenintegrale und Trägheitsmomente Beispiel: homogener Zylinder, Masse M, Radius R, Höhe H I = V = ϱ R 2π H ρ 2 ϱ dv = ϱ ρ 3 dρ dφ [ ] 1 R 4 ρ4 [φ] 2π 0 [z]h 0 0 = 1 2 ϱ π R2 H }{{} M = 1 2 M R2 R 2 dz Beispiel: Zylindermantel, Masse M, Radius R, Höhe H trivialerweiße I = M R 2

39 Beispiele für Trägheitsmomente

40 Trägheitsmoment I Beispiel: Wettrennen gleicher Massen und Energieerhaltung

41 punktachse, der Vektor r i von der Drehachse zum Massenelement m i und der Vektor s i von der Schwerpunktachse Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen zum Massenelement. Es gilt also Satz von Steiner Bedeutung 1214-Sel ri = a+ s i (II), i das Trägheitsmoment des K se. Im mittleren Summanden mi s i = 0, i da die Vektoren s i von der Sc Aus (IV) folgt somit der Satz v 2 JA = M a + JS Dieser Satz wird im Versuch scheibe verifiziert. Deren Trä achse mit dem Abstand a z aus der Schwingungsdauer Kreisscheibe befestigt wird. E 2 T JA = D 2π D: Winkelrichtgröße der Drilla I A = N m i ( a + s i ) 2 i=1 1 Fig. 1 Schematische Darstellun Steiner (Parallelachsenth

42 Satz von Steiner Herleitung I A = N m i ( a + s i ) 2 i=1 N = a 2 m i +2 a i=1 } {{ } M = I S + M a 2 N N m i s i + m i s 2 i i=1 } {{ } 0 i=1 } {{ } I S

43 Vergleich: Translation Rotation