Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel

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1 1 Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel Versuchsziel Quantitative Untersuchung des Zusammenhangs von Präzessionsfrequenz, Rotationsfrequenz und dem auf die Kreiselachse ausgeübten Kippmoment Literatur /1/ Bergmann/Schäfer Band 1, Mechanik /2/ P. Tipler/G. Mosca Physik Grundlagen 1. Rotationsbewegung starrer Körper Für die Rotationsbewegung eines Massenpunktes lautet Newtons zweites Gesetz: M = dl dt = r F (1) M heißt Drehmoment und L = r p ist der Drehimpuls des Massenpunkts. Der Drehimpuls L ges eines starren Körpers setzt sich additiv aus den Drehimpulsen L i seiner Bestandteile zusammen, L ges = i L i = i r i p i = i r i (m i v i ) (2)

2 2 Abb. 1: Die bei der Verschiebung des Bezugspunktes auftretenden Vektoren Bezeichnen wir den Vektor vom Ursprung O des Koordinatensystems zum Schwerpunkt des Systems mit R und den Vektor vom Schwerpunkt zum i-ten Massenpunkt mit r i mit V = dr dt und v i = dr i dt. r i = r i + R v i = v i + V Damit lässt sich (2) schreiben als: L ges = i R m i V + r i i m i v i + ( i m i r i ) V + R d m dt i i r i Die letzten beiden Terme verschwinden, da sie beide die Summe i m i r i enthalten. Dies ist aber die Definition des Schwerpunkts in einem Koordinatensystem dessen Ursprung im Schwerpunkt liegt (für den Schwerpunkt eines Systems gilt: R = i m i r i i m i ); folglich ist dieser Term gleich null. Somit erhalten wir für den Gesamtdrehimpuls des Systems um O: mit M = i m i L ges = R MV + r i i p i = L B + L E (3) Der Gesamtdrehimpuls lässt sich also in zwei Teile aufspalten. L E = i r i p i beschreibt die Bewegung um den Schwerpunkt und wird Eigendrehimpuls genannt. Der Eigendrehimpuls enthält nur die gestrichenen Größen des Schwerpunktsystems und ist damit unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems.

3 3 Dagegen ist der zweite Teil L B = R MV, der die Bewegung des Schwerpunktes im Laborsystem beschreibt, von der Wahl des Bezugspunktes O abhängig; er heißt Bahndrehimpuls. Die Drehimpulsänderung L für einen Massenpunkt ist nach Glg. (1) gleich dem am Massenpunkt angreifenden Drehmoment, das durch eine äußere Kraft F (e) hervorgerufen wird. Bei einem starren Körper üben auch seine Bestandteile gegenseitig Kräfte aufeinander aus, zum Beispiel solche, die ihn zusammenhalten. Solche inneren Kräfte können im Prinzip ebenfalls Drehmomente erzeugen. Ist F ji die Kraft die der Massenpunkt j auf den Massenpunkt i ausübt, ergibt sich für die Drehimpulsänderung eines starren Körpers: L ges = L B + L E = i r i F (e) i + i j r i F ji (4) Mit dem 3.Newtonschen Axiom (Wechselwirkungsprinzip F ji = F ij ), können wir den letzten Term auf der rechten Seite als Summe von Paaren der Form: r i F ji + r j F ij = (r j r i ) F ji = r ij F ji schreiben, wobei r ij = r j r i der Vektor von j nach i ist. Wenn die entgegengesetzt gleichen Kräfte zwischen zwei Teilchen entlang der Verbindungslinie der beiden Teilchen wirken - eine Bedingung, die unter der Bezeichnung starkes Wechselwirkungsprinzip bekannt ist - dann verschwinden alle diese Vektorprodukte. Die Summe der Paare ist dann null und wir können Glg. (4) in der Form L ges = L B + L E = i r i F (e) i = M (e) (5) schreiben: Die zeitliche Ableitung des Gesamtdrehimpulses ist gleich dem Moment der äußeren Kraft an dem betrachteten Drehpunkt. Aus (5) folgt sofort: Erhaltung des Gesamtdrehimpulses: L ges ist zeitlich konstant, wenn das angewendete (äußere) Drehmoment null ist. 2. Rotation um eine feste Achse Rotiert der Körper um eine raumfeste Achse, dann lässt sich (2), mithilfe der Beziehung v i = ω r i, schreiben als: L ges = i L i = i r i p i = i r i (m i v i ) = i r i m i (ω r i ) (6)

4 4 Der Drehimpuls L i eines Massepunkts m i ist in der Regel nicht parallel zu ω. Besonders einfach werden die Verhältnisse bei der Rotation eines starren Körpers um eine raumfeste Symmetrieachse. Abb. 2: Vektoren bei der Rotation um eine raumfeste Achse Dann gibt es zu jedem m i mit Drehimpuls L i ein m j mit Drehimpuls L j, sodass L i + L j parallel zu ω ist. Für die Rotation um raumfeste Symmetrieachsen reicht es also aus, die Komponenten des Drehimpulses L i in Richtung der Drehachse zu betrachten, denn die übrigen Komponenten ergeben in der Summe null. Das erreicht man, indem man anstatt des Vektors r i den Vektor r i betrachtet, der die kürzeste Verbindung zwischen dem Massenpunkt m i und der Drehachse herstellt (Abb. 2). Dann wird der Gesamtdrehimpuls, da ω und r i senkrecht aufeinander stehen: L ges = r i i m i (ω r i ) = ω m i r i 2 i = Iω (7) Mit dem Trägheitsmoment I = m i r i 2 i (8) Der Gesamtdrehimpuls zeigt bei Rotation um eine durch den Schwerpunkt gehende Symmetrieachse also in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit, das Trägheitsmoment ist alleine durch den Abstand der Massenpunkte von der Rotationsachse bestimmt. Da bei Rotation um eine raumfeste Achse I eine feste Größe ist, gilt für das Drehmoment: M (e) = L ges = Iω (9) Das äußere Drehmoment zeigt in die gleiche Richtung wie die Winkelbeschleunigung.

5 5 Die beiden Beziehungen (7) und (9) stellen zusammen mit der Definition (8) die dynamischen Grundgleichungen für die Rotation eines starren Körpers um eine feste Symmetrieachse dar. Sie gelten jedoch nicht für die freie Rotation um zeitlich veränderliche Achsenrichtungen. Dann sind L und ω im Allgemeinen nicht mehr parallel zueinander und an die Stelle des Trägheitsmoments tritt eine 3x3-Matrix. 3. Kreiselbewegung Ein Kreisel im physikalischen Sinn ist ein Körper, der sich um eine freie Achse dreht und dessen Achse in einem Punkt unterstützt wird. Wir betrachten hier nur Kreisel, die bezüglich ihrer Drehachse symmetrisch sind, so genannte symmetrische Kreisel. Ist der Schwerpunkt des Kreisels der Punkt, in dem die Drehachse unterstützt wird, spricht man von einem kräftefreien Kreisel, sonst von einem schweren Kreisel. Bei einem kräftefreien Kreisel wirken keine Kräfte und Drehmomente auf den Kreisel. Der rotierende Kreisel behält dann die Richtung seiner Drehachse bei, auch wenn man ihn im Raum bewegt. Der Drehimpuls bleibt erhalten. Bei einem schweren Kreisel wird durch die Schwerkraft ein äußeres Drehmoment erzeugt. Der rotierende Kreisel kippt nicht weg, sondern weicht dem Drehmoment seitlich aus. Diese Bewegung bezeichnet man als Präzession. Sie erfolgt mit der Präzessions-Winkelgeschwindigkeit Ω, die klein ist gegen die Winkelgeschwindigkeit ω der Kreiselrotation. Um Ω zu berechnen betrachten wir (Abb. 3) einen schweren Kreisel, der unter einem beliebigen konstanten Winkel gegenüber der Vertikalen unter dem Einfluss der Schwerkraft präzediert. Abb. 3: Zur Berechnung der Präzessions-Winkelgeschwindigkeit Ω eines Kreisels /1/

6 6 Eine kleine Änderung L des Drehimpulses L ist gegeben durch seine horizontale Komponente L sin φ, multipliziert mit θ (Abb. 3). Die zeitliche Änderung von L beträgt dann: L t = (L sin φ) θ t e θ (10) Dabei ist e θ der Einheitsvektor in θ-richtung, der stets tangential zum Kreis liegt, welchen der Endpunkt von L beschreibt. Im Grenzfall t 0 ist θ/ t = dθ/dt gleich dem Betrag Ω der Präzessionsfrequenz, und die obige Gleichung lautet in Vektorschreibweise: M (e) = dl dt = Ω L (11) Für das Drehmoment der Schwerkraft gilt nach Abb. 3 M (e) = b mg und mit Gl. (11) folgt damit für die Beträge bmg sin φ = ΩL sin φ. Und somit ergibt sich für Ω wenn man den Drehimpuls um die Figurenachse gleich Iω setzt: Ω = bmg L = bmg Iω (12) Durchführung und Auswertung Untersuchung des Zusammenhangs von Ω, ω und M Abb. 4 Versuchsaufbau Kreisel mit drei Achsen

7 7 Es soll die Rotationsfrequenz f des Kreisels als Funktion der Dauer T P eines Präzessionsumlaufs für zwei verschiedene Drehmomente ermittelt werden. Die Messpunkte nimmt man wie folgt auf: - Kräftefrei austarierten Kreisel kräftig aufziehen - Rotationsfrequenz f (Dauer für eine Umdrehung) messen, wie oben beschrieben - Masse von 10 g in die Nut an dem der Scheibe gegenüberliegenden Ende der Kreiselachse einhängen. - Dauer T P 2 für einen halben Präzessionsumlauf messen (Wert muss mit 2 multipliziert werden!). - Masse abnehmen, damit die Kreiselachse zum Stillstand kommt und sofort nochmals die Rotationsfrequenz f des Kreisels messen. Der Mittelwert f aus beiden Messungen wird über der gemessenen Präzessionsdauer T P in ein Diagramm eingetragen. - In dieser Weise mindestens fünf Messpunkte mit unterschiedlicher Rotationsfrequenz f aufnehmen. - Anschließend die Messreihe mit der zweiten Masse angehängten Masse von 50 g wiederholen und Werte in das Diagramm eintragen. Aus der Steigung = f T P der Geraden kann das Trägheitsmoment I des Kreisels bestimmt werden. Mit Ω = 2π T P und ω = 2πf folgt aus Gl. (12): I = bmg Ωω = bmg 2π = bmg 2πf 4π 2 T P (13) Dabei ist b der Abstand des Angriffspunktes der Masse m vom Lagerpunkt der Kreiselachse. Bestimmen Sie für beide Massen aus Ihrem Diagramm das Trägheitsmoment. Fragen (zur Versuchsvorbereitung) 1) Richtig oder falsch? a) Wenn zwei Vektoren parallel sind, muss ihr Kreuzprodukt null sein. b) Wenn eine Scheibe um ihre Symmetrieachse rotiert, ist ω parallel zu dieser Achse. c) Das von einer Kraft ausgeübte Drehmoment ist immer senkrecht zu der Kraft. 2) Ein Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer schnurgeraden Bahn. Wie verändert sich der Drehimpuls bezüglich eines beliebigen festen Punkts mit der Zeit? 3) In einem System bleibt der Drehimpuls konstant. Welche der folgenden Aussagen ist dann richtig? a) Auf kein Teil des Systems wirkt ein Drehmoment. b) Auf jeden Teil des

8 8 Systems wirkt ein konstantes Drehmoment. c) Auf jeden Teil des Systems wirkt ein resultierendes äußeres Drehmoment von Null. d) Auf das System wirkt ein konstantes äußeres Drehmoment. e) Auf das System wirkt ein resultierendes äußeres Drehmoment von Null. 4) Der Drehimpulsvektor eines sich drehenden Rads verläuft entlang von dessen Achse und zeigt nach Osten. Um den Vektor nach Süden zeigen zu lasse, lässt man eine Kraft am östlichen Ende der Achse wirken. In welche Richtung muss die Kraft wirken? a) Aufwärts, b) abwärts, c) nach Norden, d) nach Süden, e) nach Osten.