Kreisbewegung Ein Bild sagt mehr als tausend Worte.

Transkript

1 Kreisbewegung Ex (3. Gebot) Du sollst Dir keine Bilder machen von Dingen, die im Himmel, auf der Erde, im Wasser oder unter der Erde sind. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte. 1

2 Einführung Die Erde dreht sich und alles, was auf der Erde steht oder liegt, dreht sich mit. Wir alle drehen auf einer riesigen Kreisbahn in einem Tag einmal rundum. Kreisbewegungen in überaus vielfältiger Art können wir auf dem Prater beobachten und erleben. Im Riesenrad, auf dem Karussell und beim Looping der Achterbahn bewegen wir uns auf einer Kreisbahn. Aber auch auf der Strasse begegnen wir dieser Bewegung. Auch wenn wir mit dem Auto, Motorrad oder Fahrrad einen Kreisel nur bis zur nächsten Abzweigung befahren, gelten dabei doch die Gesetze der Kreisbewegung. Quelle: (FAZ , Seite T5) Aufgrund der unterschiedlichen Trägheitsmomente unterscheidet sich die Fahrphysik von Bus und PKW vor allem bei Drehbewegungen. Bei geradliniger Fahrt verhalten sich beide annähernd gleich. 2

3 Bewegung auf einer Kreisbahn Es variiert die Richtung der Geschwindigkeit Zeit und überstrichener Winkel Vom Vektor zum Mittelpunkt * überstrichener Winkel φ 0 2π *Johannes Kepler (*1571) nannte diesen Vektor Fahrstrahl 5s Zeit t 3

4 Die Winkelgeschwindigkeit Einheit ϕ t ϖ = ϕ t 1 (oder 1 rad) Überstrichener Winkel 1 s Zeit zum Überstreichen des Winkels 1 1/s Winkelgeschwindigkeit Periode und Winkelgeschwindigkeit T ϖ = 2π T Einheit 1 s Periode, Zeit einen Umlauf, Winkel 2π 1 1/s Winkelgeschwindigkeit 4

5 Formulierung von Drehungen in einer Ebene Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant Die Komponenten des Fahrstrahls sind Funktionen von Radius und Winkel Komponenten des Fahrstrahls x r ϕ y x = r cosϕ y = r sinϕ r ϕ Einheit 1 m Komponenten des 1m Vektors 1 m Betrag, Radius 1rad Winkel 5

6 Versuch Drehimpulserhaltung auf dem Drehschemel Auf dem Drehschemel mit Drehimpuls null bezüglich der Schemel-Drehachse wird ein rotierendes Rad gebracht, Achse senkrecht zum Schemel Auf dem Schemel wird die Achse des Rads parallel zur Achse des Schemels gebracht die Bewegung des Schemels erhält Drehimpuls null bezüglich der Schemelachse aufrecht Zum Versuch Drehimpulserhaltung auf der Drehbühne 6

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8 Erläuterung zum Versuch Drehimpulserhaltung im abgeschlossenen System Unterlage, Drehteller, Rad und Personen bilden das abgeschlossene System, Drehimpuls Null. Beim Andrehen des Rads erscheint am Rad der Drehimpuls (rot) der durch den Drehimpuls auf den Rest des Systems (blau) kompensiert wird. Das Trägheitsmoment des restlichen Systems um die horizontale Achse ist so groß, dass die Winkelgeschwindigkeit minimal bleibt Ein Experimentator hat die Bühne verlassen, was für das weitere ohne Belang ist. Die Achse der rotierenden Scheibe wird vom Experimentator auf dem Drehteller von der horizontalen in die vertikale Lage gebracht. Der kompensierende Drehimpuls folgt. Die Achse der Scheibe steht senkrecht, der kompensierende Drehimpuls ebenso: Das Trägheitsmoment von Experimentator und Drehteller ist vergleichbar mit dem des Rads, der Drehimpuls ist als Rotation des Drehtellers mit dem Experimentator zu erkennen, Drehsinn umgekehrt zu dem des Rads. Die Winkelgeschwindigkeiten von Rad und Experimentator samt Drehteller verhalten sich wie die Kehrwerte der Trägheitsmomente dieser Komponenten. 8

9 "Wie kann man eine Bewegung auf einer Kreisbahn am besten beschreiben?" Der Winkel ϕ wird im Bogenmaß als Verhältnis der zu ihm gehörenden Größen von Kreisbogen b und Kreisradius r angegeben: ϕ = b/r Die Länge des Kreisbogens kann man mit einem einfachen Dreisatz berechnen. Der Bogen über einem 60 Winkel z.b. ist des vollen Umfanges U, α α da 6 60 = 360. b = U = 2πr Eine Kreisbewegung heißt gleichförmig, falls in gleichen Zeitabschnitten gleiche Winkel überstrichen werden. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist das Verhältnis des überstrichenen Winkels ϕ zur dabei verflossenen Zeit t: ω = ϕ/ t. Die Winkelgeschwindigkeit ω ("omega") nennt man auch Kreisfrequenz. Eine Kreisbewegung heißt gleichförmig, falls die Winkelgeschwindigkeit ω konstant ist. Die Zeit für einen Umlauf auf einer Kreisbahn nennt man Umlaufszeit oder Periode. Man verwendet für sie das Formelzeichen T. Die Einheit von T ist die Sekunde. ϕ = 2π / T t Translation und Rotation 9

10 Die Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ t v = ω r Einheit 1 1/s=1Hz Farbe in der Abbildung Vektor in Richtung der Drehachse, grün 1 1m/s Bahngeschwindigkeit, orange Trägheitsmoment Zwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder langsamer. Der Hohlzylinder speichert bei gleicher Drehgeschindigkeit mehr Rotationsenergie als der Vollzylinder. Bei gleicher Abnahme der potenzieller Energie bleibt für die lineare kinetische Energie ein geringerer Anteil 10

11 Trägheitsmoment Während die Masse m eines Körpers eine unveränderliche Größe darstellt, ist dies für das Trägheitsmoment des Körpers nicht der Fall, denn dieses hängt von der Form des Körpers und der Wahl der Drehachse ab. Im Fall der Vollscheibe werden viele einzelne Massenstückchen m n definiert und die dazugehörigen Abstände r n bestimmt, um die einzelnen Trägheitsmomente m n r n 2 aufzusummieren. Trägheitsmoment Winkelbeschleunigung: α = ω t Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung von der wirkenden Kraft: α = const M I = m r Trägheitsmoment: 2 Drehmoment: M = I α 11

12 Der Drehimpuls L = I ω I = m r 2 Einheit 1 m 2 kg/s 1 m 2 kg Vektor in Richtung der Drehachse, grün Trägheitsmoment für einen Massenpunkt m Abstand r von der Achse Der Drehimpuls und Bahnimpuls L = r p p = m v v = r ω Einheit 1 m 2 kg/s Drehimpuls 1 m kg/s Bahnimpuls p, orange 1 m/s Bahngeschwindigkeit 12

13 Drehimpulse bei beschleunigter Drehung L = I ω Einheit 1 m 2 kg/s Farbe in der Abbildung Vektor in Richtung der Drehachse, grün Drehmoment bei beschleunigter Bewegung M = I α α = ω t Einheit 1 1/s 2 Drehmoment, Vektor in Richtung der Drehachse, 1 1/s 2 Winkelbeschleunigung 13

14 Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment auf der Kreisbahn ϕ ω = t ω α = t I = m r 2 L = I ω ω M = I t Einheit Begriff 1 1/s Winkelgeschwindigkeit 1 1/s 2 Winkelbeschleunigung 1 m 2 kg 1 m 2 kg/s Trägheitsmoment für einen Massenpunkt m Abstand r von der Achse Drehimpuls für einen Massenpunkt 1 m 2 kg/s 2 Drehmoment Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitsmoment sind bezüglich der Drehachse definiert: Diese Größen ändern sich bei Änderung von Ort und Richtung der Achse Der Satz von der Drehimpulserhaltung Wirken auf ein abgeschlossenes System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte, dann bleibt die Summe der Drehimpulse zeitlich konstant N r r Li = LS = const Einheit 1kg m i= 1 s Die Summe der Impulse ist konstant Die Gesetze zur Energie- Impuls- und Drehimpulserhaltung bleiben bei allen Vorgängen in der Natur erfüllt Weitere Erhaltungssätze gibt es nur noch für Teilchenzahlen 14

15 Drehmoment Drehmomentschlüssel r=0,4m F=50N r=0,2m F=100N Achtung: M darf nicht mit der Arbeit verwechselt werden Dimension: [Nm] Beim Drehmoment wirkt nur die Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm Im nicht abgeschlossenen System wirkt ein Drehmoment Wenn du mit dem Fuß eine Kraft auf das Pedal ausübst, so erzeugt diese Kraft eine Drehwirkung an der Kurbel. Man sagt, diese Kraft erzeugt ein Drehmoment. Kraft Wovon ist dieses Drehmoment abhängig? 15

16 Wovon ist dieses Drehmoment abhängig? Kraftarm r Wirkungslinie Kraft Das Drehmoment ist abhängig - vom Betrag der Kraft F - von der Kraftrichtung - vom Abstand r der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft (Kraftarm) Wie hängen Kraft, Kraftarm und Drehwirkung zusammen? Wirkungslinie r Kleinerer Kraftarm r kleineres Drehmoment Kleinerer Kraftarm r und kleinere Kraft F kleineres Drehmoment 16

17 Kraftarm r Wirkungslinie Kraft F Das Drehmoment M = Fr einer Kraft F ist das Produkt aus ihrem Betrag F und dem Kraftarm r. Einheit: 1Nm Welche Kraft wirkt nun in der Kette? Kraft F P Was wäre zu beobachten, wenn nur die Kraft F P ein Drehmoment im Uhrzeigersinn erzeugen würde? Die Drehfrequenz von Kurbel, Kette und Zahnkranz nähme zu. 17

18 Welche Kraft wirkt nun in der Kette? Kraft F K r K r P Kraft F P Die Kraft F K erzeugt am Kettenblatt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn. Sind beide Drehmomente gleich groß, bleibt die Drehfrequenz konstant man spricht vom Drehmomentgleichgewicht. Somit gilt also: r F PrP = FK rk bzw. FK = r P K F P Mit welcher Kraft wirkt ein Bremsklotz auf die Felge? 40 N Bremszug 10 cm 160 N 2,5 cm Drehachse 18

19 Welche Kraft wird mit dem Bremszug übertragen? 40 N 3 cm 20 N Drehachse 6 cm Drehmoment Die Drehwirkung hängt nicht nur vom Betrag der Kraft F ab, sondern auch von ihrer Richtung. F Dreh = F sin α Die Drehwirkung ist zusätzlich abhängig von der Länge des Hebelarms r. M r M = FDreh r = F r sin α r r r r F M = F sin γ = (Vektorprodukt) 19

20 Kraft zur Änderung der Bewegungsrichtung Kräftefrei Zentripetalkraft wirkt Zentripetalkraft 20

21 Zentripetalkraft und Beschleunigung auf der Kreisbahn Vektoren für Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft Zentripetal- und Trägheitskraft auf der Kreisbahn Zentripetalbeschleunigung Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Den Eintritt in die Kreisbahn erzwingt eine reale Kraft, die Zentripetalkraft Gleichzeitig erscheint die der Zentripetalkraft entgegengesetzte, aber gleichgroße Trägheitskraft, die Zentrifugalkraft 21

22 Bewegung auf einer Kreisbahn mit Winkelgeschwindigkeit ω: Die zur Zentripetalbeschleunigung erforderliche Haltekraft heißt Zentripetalkraft Die dieser Kraft entgegengesetzt gleichgroße Trägheitskraft heißt Zentrifugalkraft Betrag beider Kräfte: F = m r ω 2 [N] 22

23 Das Bild kann zurzeit nicht angezeigt werden I a = I b I a > I c I a < I c I a = I c Der auf der Spitze stehende und am Faden hängende Kreisel 23

24 Laborsystem: Schwerer Kreisel x l r L r z r M O z ϑ L r S r r = l F r α ω r L r L r r r L M = t y Der Aufstehkreisel (Tippy-Top) und das rotierende Frühstücksei < S < 24

25 r,ω r L ϑ e r z' r M r = l r F R l r F r R Gleitreibung Weitere Beispiele Kreisel - Erde Gewehrlauf - Drehimpuls Katze Turmspringen Rohes Ei gekochtes Ei 25

26 Beispiel: Hurricane Beispiel: Raumfahrt Schwerelosigkeit im Orbit F G = mg Σ ~ Künstliche Schwerkraft Unten = radial ω F = 0 F z F r z F r z F r z F r z 26

27 Beispiel: Geodit (Erdform) Rotationsellipsoid definiert NN (Normal-Null), R Äquator R Pol + 20 km Beispiel: Gezeiten Σ ~ ω r Mond Erde Schwerpunkt: Σ Flutberg Flutberg Mond F r Z F r Grav F r Z F r Grav F r Grav F r Z F r Grav F r Z Gravitationskraft des Mondes Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt Experiment: Rolle mit Faden Kein Drehmoment 27

28 iv) Erdpräzession M r 1 zur Sonne F r 1 S 1 ω r p S 2 ω r E Erde (Rotationsellipsoid) Ekliptik (Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne) F r 2 Zusätzlich: Rotationsachse Figurenachse Nutation M r 2 F r Sonnenanziehung > Zentrifugalkraft 1 F r Sonnenanziehung < Zentrifugalkraft 2 2π ω p = Jahre 2π ω N = 305Tage iii) Kreiselkompass L r Drehmoment durch Erddrehung M r Nord Süd Ausrichtung West Erddrehung ω E Ost 28

29 Rotationsenergie Translation: kinetische Energie: E=mv²/2 Bei der Rotation ist: v=rω, eingesetzt in E ergibt das: E rot =m ω²r²/2 und I=mr² (Trägheitsmoment) Insgesamt: E rot =I ω²/2 (Beispiele: Schwungräder, Spin) 29