Drehbewegungen (Rotation)

Transkript

1 Drehbewegungen (Rotation)

2 Drehungen (Rotation) Die allgemeine Bewegung eines Systems von Massepunkten lässt sich immer zerlegen in: und Translation Rotation

3 Drehungen - Rotation Die kinematischen Variablen der Rotationsbewegung Für starre Körper gilt: Definition: (Neuer Vektor) Geschwindigkeit: Allgemein:

4 Kinetische Energie der Rotationsbewegung und das Trägheitsmoment Die kinetische Energie eines starren Körpers: Definitionen: (Massen-) Trägheitsmoment und kinetische Energie der Rotation bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt

5 Kinetische Energie der Rotationsbewegung und das Trägheitsmoment (Massen-) Trägheitsmoment und kinetische Energie der Rotation bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt (S) Für kontinuierliche Massenverteilungen ist das Trägheitsmoment: Massen -Trägheitsmoment

6 Beispiele zum Trägheitsmoment (Massen-) Trägheitsmoment einer Hantel mit zwei gleichen Massen

7 Beispiele zum Trägheitsmoment Homogene Kugel Volumenintegral Volumenelement Stehende Hantel

8 Beispiele zum Trägheitsmoment

9 Kinetische Energie der Rotation - Energiesatz der Mechanik Energiesatz der Mechanik für Rotation Versuch: Allgemein: Für Translation und Rotation

10 Rollender Zylinder auf einer schiefer Ebene Trägheitsmomente: Voller Zylinder Hohler Zylinder Energie der Rotationsbewegung Anteil der Energie geht in die Drehbewegung (abhängig vom Trägheitsmoment)

11 Rotation und Arbeit Für die Arbeit gilt: Arbeit nicht Gleich null! Änderung der kinetischen Energie der Rotation!

12 Drehimpuls, Drehmoment und Drallsatz für den Massenpunkt 2. Newton sches Prinzip Impulssatz * Definition: Drehimpuls Definition: Drehmoment Mit diesen Definitionen lässt sich die Gleichung * schreiben als Das ist der Drallsatz für den Massenpunkt Drehimpulssatz Für die linke Seite gilt: Geschw. und Impuls haben die gleiche Richtung! qed.

13 Bewegung in zentralen Kraftfeldern Drehmoment ist gleich Null! Bei Zentralbewegungen ist der Drehimpuls konstant! 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeiten dt überstreicht der Radiusvektor immer dieselbe Fläche da.

14 Beispiel - Kreisbewegung Bezugspunkt 0 Bezugspunkt 0 Merke: Nur z-komponente unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes! Es gilt:

15 Beispiel - Kreisbewegung Bezugspunkt 0 Bezugspunkt 0 Merke: Nur z-komponente unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes! Es gilt:

16 Translation und Rotation Äquivalente Grössen bei Translation und Rotation

17 Drehimpuls, Drehmoment und Drallsatz für Systeme Innere Drehmomente heben sich auf! Drallsatz für Systeme Totaler Drall Totales Drehmoment

18 Erhaltungssatz des Drehimpulses Drehimpulserhaltung: Für ein abgeschlossenes System ohne äussere Kräfte ist der Drehimpuls erhalten. Der totale Drehimpuls ist eine Konstante der Bewegung. Nicht vergessen: Drehimpuls und Drehmoment werden immer auf denselben Punkt 0 bezogen! (Schwerpunkt oder raumfester Punkt)

19 Erhaltungssatz des Drehimpulses Hanteln auf dem Drehstuhl

20 Erhaltungssatz des Drehimpulses Hanteln auf dem Drehstuhl Wir wissen:

21 Erhaltungssatz des Drehimpulses Velorad auf dem Drehstuhl Drehimpulserhaltung: Drehimpuls am Anfang (initial) Drehimpuls am Ende (final)

22 Drehimpuls am Beispiel einer drehenden Scheibe - Lagerkräfte verhindern Translation - Lagerkräfte führen zu resultierendem Drehmoment von aussen in z-richtung bezüglich der Achse (0) z-komponente des Drehimpulses

23 Drehimpuls der Scheibe und Drallsatz Drehimpuls der Scheibe Drallsatz für die Drehbewegung eines starren Körpers (um eine raumfeste Achse mit Bezugspunkt 0) Resultierendes Drehmoment für mehrere Kräfte

24 Drehimpuls der Scheibe und Drallsatz Drehimpuls der Scheibe Drallsatz für die Drehbewegung eines starren Körpers (um eine raumfeste Achse mit Bezugspunkt 0) Vergleichen mit Bewegungsgleichung der Translation Resultierendes Drehmoment für mehrere Kräfte

25 Translation und Rotation (zur Erinnerung) Äquivalente Grössen bei Translation und Rotation

26 Das physische Pendel (physikalisches Pendel) Anwendung des Drallsatzes Lösung: (vgl. auch Versuch Resonanz)

27 Translation und Rotation - Roll- und Kreiselbewegungen Translation in der Ebene (x- und y-richtung) Keine Kräfte in z-richtung Schwerpunkts- Satz: Rotation um Achse senkrecht zur xy-ebene (z-richtung) Drallsatz:

28 Rollen eines Reifens auf ebener Unterlage Rollender Reifen (oder Zylinder) wird auf horizontale Unterlage aufgesetzt Schwerpunktsatz Drallsatz Geometrische Rollbedingung Zeitpunkt für Rollen Ruhender Reifen auf schiefe Unterlage

29 Rollen eines Reifens auf ebener Unterlage Rollender Reifen (oder Zylinder) wird auf horizontale Unterlage aufgesetzt Schwerpunktsatz Drallsatz Massen-Träheitsmoment eines dünnen Reifens Geometrische Rollbedingung Zeitpunkt für Rollen Ruhender Reifen auf schiefe Unterlage

30 Kreiselbewegungen Physik-Nobelpreisträger Wolfgang Pauli und Niels Bohr bewundern einen Wendekreisel

31 Kreiselbewegungen - Das hängende Velorad Rad dreht sich nicht! Drallsatz Drehimpulsänderung in der Richtung vom Drehmoment!

32 Kreiselbewegungen - Das hängende Velorad Rad dreht sich! Drallsatz Drehimpulsänderung in der Richtung vom Drehmoment!

33 Kreiselbewegungen - Das hängende Velorad Drallsatz Drehimpulsänderung in der Richtung vom Drehmoment!

34 Kreiselbewegungen - Das kräftefreie Velorad Massen um das System im Gleichgewicht zu halten! Drallsatz Masse erzeugt Drehmoment! Drehimpulsänderung in der Richtung vom Drehmoment!

35 Kreiselbewegungen - Der Stehaufkreisel (Kipp- oder Wendekreisel) Der Drehsinn des Stehaufkreisel beim Aufrichten. Der Schwerpunkt ist mit einem weissen Punkt markiert Acht Kreiseltypen mit unterschiedlichen Stabilitätseigenschaften. Wenn diese Kreisel mit einer der Geschwindigkeit proportionalen Reibung über den Boden rutschen, ist (1, links oben) stets instabil, (5) stets stabil, (3), (6), (7) sind nur bei langsamer Drehung, (2), (4) und (8, rechts unten) nur bei schneller Drehung stabil.

36 Kreiselbewegungen - Der Spielzeugkreisel (i)

37 Kreiselbewegungen - Der Spielzeugkreisel (ii)

38 Gleichgewicht von ausgedehnten Objekten Gleichgewichtsbedingungen Äussere Kräfte müssen verschwinden Drehmomente müssen verschwinden 0 ist ein raumfester Bezugspunkt oder der Schwerpunkt

39 Gleichgewicht von ausgedehnten Objekten Klotz 1 Aufeinandergelegte Holzklötze auf einer horizontalen Unterlage Klotz 2

40 Gleichgewicht von ausgedehnten Objekten Bestimmung des Schwerpunkts eines starren Körpers Schwerpunkt ist Schnittpunkt der Lotlinien

41 Gleichgewicht einer schräg an die Wand gestellten Leiter Gleichgewichtsbedingungen Kritischer Anstellwinkel Richtung für die Drehmomente! Aus (1) und (2) und mit (3) Bezugspunkt

42 Zusammenfassung Drehungen, Drehimpuls, Drehmoment (1)

43 Zusammenfassung Drehungen, Drehimpuls, Drehmoment (2)

44 Zusammenfassung Drehungen, Drehimpuls, Drehmoment (3)

45 Zusammenfassung Drehungen, Drehimpuls, Drehmoment (4)