4.9 Der starre Körper

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1 4.9 Der starre Körper Unter einem starren Körper versteht man ein physikalische Modell von einem Körper der nicht verformbar ist. Es erfolgt eine Idealisierung durch die Annahme, das zwei beliebig Punkte des Körpers unabhängig von äußeren Kräften immer den gleichen Abstand zueinander besitzen Physik

2 4.9. reiheitsgrade eines starren Körpers Die reiheitsgrade eine Körpers sind die Anzahl der Parameter (Lagekoordinaten, Winkel bei Drehbewegungen usw.), die zur eindeutigen Angabe der Lage aller Teilchen eines Systems erforderlich ist. Eine Punktmasse, die sich auf einer Geraden bewegt: reiheitsgrad Eine Punktmasse, die sich in einer läche frei bewegt: reiheitsgrade Eine Punktmasse, die sich in einem Raum frei bewegt: 3 reiheitsgrade Physik

3 4.9. reiheitsgrade eines starren Körpers Ein Starrer Körper hat insgesamt 6 reiheitsgrade. Dies sind 3 reiheitsgrade der Translation und 3 reiheitsgrade der Rotation Physik 3

4 4.9. Kräfte am starren Körper Es sei: Es ist egal, in welchen Punkten die beiden Kräfte angreifen. Es gilt in jedem all 0 Kräfte, die an einem starren Körper angreifen, können in ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden Physik 4

5 4.9. Kräfte am starren Körper Ein starrer Körper befindet sich im statisches Gleichgewicht, wenn sich die Wirkungslinien, der angreifenden Kräfte in einem Punkt schneiden und die Resultierende der Kräfte verschwindet. Das Krafteck ist geschlossen Physik 5

6 4.9. Kräfte am starren Körper Weitere Bedingungen für ein statisches Gleichgewicht, wenn Wirkungslinien sich nicht in einem Punkt schneiden. Die Resultierende der angreifenden Kräfte ist Null ; l l l l l a l a Physik

7 4.9. Kräfte am starren Körper Die Resultierende zweier paralleler Kräfte ist zu diesen ebenfalls parallel und teilt deren Abstand im umgekehrten Verhältnis der Beträge der Kräfte Physik 7

8 4.9.3 Das Drehmoment Das Drehmoment (auch Kraftarm) eines Körpers ist das Produkt aus dem Betrag der Kraft und des senkrechten Abstandes l des Drehpunktes von Wirkungslinie der Kraft M l M Nm mit l senkrechter Abstand des Drehpunktes von der Wirkungslinie der Kraft Physik 8

9 4.9.3 Das Drehmoment Bildet der Radiusvektor vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft keinen rechten Winkel mehr bleibt der Betrag des Drehmomentes erhalten. Mit l r sin Gilt für das Drehmoment nun M r sin Die durch die angreifenden Kräfte und erzeugten Drehmomente unterscheiden sich hinsichtlich des Drehsinnes M l M l Ist ein linksdrehendes Moment und hat ein positives Vorzeichen Ist ein rechtsdrehendes Moment und hat ein negatives Vorzeichen Physik 9

10 4.9.3 Das Drehmoment Das Drehmoment kann als Vektor aufgefasst werden. Es gilt M r Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Körper 0 i 0; M i Ein starrer Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn sowohl die Vektorsumme aller angreifenden Kräfte als auch aller Drehmomente in bezug auf einen beliebig gewählten Drehpunkt verschwindet Physik 0

11 4.9.4 Das Kräftepaar Ein Kräftepaar bilden Kräfte, die den gleichen Betrag haben, aber entgegengesetzt gerichtet sind und deren Wirkungslinien nicht zusammenfallen. Betrachtung des resultierenden Drehmomentes im Punkt 0: M r r r r r r l r r sin; Es gilt: Daraus folgt: M r r sin l l Physik

12 4.9.5 Der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) Betrachtung eines einfachen Modellkörpers zur Bestimmung der Lage des Schwerpunktes: Es gelte: mg und mg ür die Beträge ihrer Drehmomente gilt, wenn der Körper im Gleichgewicht ist m gl m l mgl oder m l Physik

13 4.9.5 Der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) ührt man ein Koordinatensystem ein, im welchen x und x die Koordinaten der Massen m und m sind, so gilt x x m x x oder x S s m x m mx m S m Obige ormel stimmt mit der zur Bestimmung der Massenmittelpunkte überein. Daraus folgt, dass Schwerpunkt und Massenmittelpunkt identisch sind Physik 3

14 4.9.5 Der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) Erweitert man die Betrachtung auf N Teilchen, so gilt x x s S mx mx m m mi x m i i... m... m N N x N Entsprechend erhält man die y- und z-koordinaten des Schwerpunktes, wenn die Massen nicht auf einer Geraden, sondern im Raum verteilt sind. y s m y i i ; m i z s m z m i i i Der Schwerpunkt eines Vielteilchensystems ist derjenige Punkt, auf den bezogen die Vektorsumme aller Drehmomente, welche an den Teilchen angreifenden Gewichtskräfte bewirken, Null ist Physik 4

15 4.9.6 Schwerpunktsberechnung für einen starren Körper Grenzwertbetrachtungen: ür eine konstante Dichte und der Masse m eines starren Körper können die Schwerpunktskoordinaten berechnet werden über x y z s s s V V V xdv ydv zdv lim V 0 lim V 0 V x i V i i xdv dv V m Physik 5

16 4.9.7 Arten des Gleichgewichts Es wird ein Körper aus seiner Gleichgewichtslage verschoben. Gegen die am Schwerpunkt des Körpers angreifende Schwerkraft ist Arbeit zu verrichten. Dies führt zu einer Veränderung der potentiellen Energie. E pot W Physik 6

17 4.9.7 Arten des Gleichgewichts. all: W > 0: Stabiles Gleichgewicht Der Körper wird durch Erhöhung seiner potentiellen Energie aus der Gleichgewichtslage gebracht. Wird er sich selbst überlassen, so nimmt er unter Abgabe von Energie wieder seine Gleichgewichtslage an.. all: W = 0: Indifferntes Gleichgewicht Der Körper kann ohne Energiezufuhr in eine andere Lage gebracht werden. Dies ist wieder seine Gleichgewichtslage. 3. all: W < 0: Labiles Gleichgewicht Bei einer kleinen Störung entfernt sich der Körper unter Energieabgabe noch Weiter von seiner Gleichgewichtslage. Er kann nicht ohne Energiezufuhr in die Gleichgewichtslage zurück Physik 7

18 4.0. Dynamik des starren Körpers An Körper greift eine Kraft an. und M r Betrag : M Am Schwerpunkt greifen gleiche, aber entgegengesetzte Kräfte an, die den gleichen Betrag wie haben. bilden ein Kräftepaar mit dem Drehmoment l Die Bewegung eines Körpers kann durch die Überlagerung einer Rotation um den Schwerpunkt und einer Translation beschrieben werden Physik 8

19 4.0. Dynamik des starren Körpers Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an, so gilt analog für die angreifenden Kräfte i i ür das resultierende Drehmoment um eine durch den Schwerpunkt gehende Achse gilt M r i i Physik 9

20 4.0. Das Massenträgheitsmoment Eine Punktmasse bewege sich im Abstand r mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste Achse A, so gilt für die kinetische Energie E kin mv m r mr J Physik 0

21 4.0. Das Massenträgheitsmoment Das Massenträgheitsmoment einer umlaufenden Masse ist: J mr J kg Einheit : m Physik

22 4.0. Das Massenträgheitsmoment Berechnung für starren Körper Körper bestehe aus vielen kleinen Masseelememtem m i J m r i i ür kontinuierliche Massenverteilung gilt dm dv J r dm Physik

23 4.0. Das Massenträgheitsmoment Das Trägheitsmoment spielt bei der Drehbewegung eines Körpers eine analoge Rolle wie die Masse bei der fortschreitenden Bewegung. Das Trägheitsmoment ist von der Masse und den Abmessungen des Körpers, sowie von der Massenverteilung und der Lage der Drehachse abhängig Physik 3

24 4.0. Das Massenträgheitsmoment Berechnung des Massenträgheitsmomentes für einen Zylinder R - Radius des Zylinders h Höhe des Zylinders J R 3 4 m R h r dr hr 0 Berechnung des Massenträgheitsmomentes für einen Hohzlylinder R äußerer Radius des Hohlzylinders r innerer Radius des Hohlzylinders h Höhe des Zylinders J 4 4 m R r R R 3 h r dr h r r Physik 4

25 4.0. Das Massenträgheitsmoment - Beispiel - Betrachtet wird das Vorlesungsbeispiel. Es soll die Geschwindigkeit eines Zylinders und eines Hohlzylinders beim Herunterrollen von der schiefen Ebene betrachtet werden. Beide Körper sollen eine Masse von 0,8 kg haben und einen äußeren Radius von R = 5 cm. Der innere Radius des Hohlzylinders betrage r = 4 cm. Die Höhe der schiefen Ebene betrage 5 cm. Lösung: Vollzylinder: v = 0,8 m/s Hohlzylinder: v = 0,53 m/s Physik 5

26 4.0.. Der Satz von Steiner - Körper rotiere mit Winkelgeschwindigkeit um die Achse A - S führt eine Translationsbewegung auf einer Kreisbahn mit v = s um A aus - Gleichzeitige Drehbewegung durch Achse durch S, die parallel zu A verläuft mit Die kinetische Energie der Bewegung ist die Summe aus Translationsund Rotationsenergie E kin mv J S ( ms J S ) Physik 6

27 4.0.. Der Satz von Steiner Der Satz von Steiner J A J S ms Das Trägheitsmoment eines Körpers setzt sich additiv zusammen aus dem Trägheitsmoment J S bezüglich des Schwerpunktachse und dem Trägheitsmoment ms der im Schwerpunkt vereinigt gedachten Gesamtmasse des Körpers bezüglich der zur Schwerpunktachse parallelen Drehachse Physik 7

28 4.0.. Der Satz von Steiner - Beispiel Wie groß ist das Trägheitsmoment eines m langen Stabes mit der Masse von 4,5 kg und dem Trägheitsmoment J S =ml /, wenn er sich um seinen Endpunkt dreht? Lösung: l = 6 kgm Physik 8

29 4.0.3 Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung; Bewegungsgleichung Drehung eines Körper um eine mit ihm fest verbundene Achse - Drehwinkel gibt die Lage des Körpers gegenüber einer willkürlich gewählten Anfangslage an - Alle Teilchen des Körpers haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung - r sei der Abstand zwischen jeweiligen Teilchen und Drehachse, so gilt s v a r r r Physik 9

30 4.0.3 Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung; Bewegungsgleichung ür die Arbeit bei der Drehbewegung gilt unter Verwendung des Drehmomentes M = r dw ds r d W M d M d ür die Leistung folgt: P dw dt M d M dt Physik 30

31 4.0.3 Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung; Bewegungsgleichung ehlen Reibungswiderstände, so entspricht der verrichteten Arbeit ein gleich großer Zuwachs an kinetischer Energie bezogen auf die Zeit. Dieser muss gleich der Leistung sein: dekin d P J J dt dt M Hieraus entnimmt man die Bewegungsgleichung eines rotierenden Körpers M J J J Gleichung entspricht dem Grundgesetz der Mechanik Physik 3

32 4.0.3 Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung - Beispiel - Eine Schwungscheibe (J = 000 kg m ) wird durch ein konstantes Drehmoment vom Betrag M = 000Nm für die Dauer von 0 s in Rotation versetzt. Wie groß ist die kinetische Energie und die aufgebrachte Leistung am Ende des Beschleunigungsvorganges? Lösung: E kin = Nm P = W Physik 3

33 4.0.4 Vergleich Rotation und Translation Translation Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Impuls Kraft Arbeit Leistung Kinetische Energie s v a m p s v mv ma W s P v E kin m v Rotation Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment Drehimpuls Drehmoment Arbeit Leistung Kinetische Energie J L J M J W M P M E kin Physik 33 J

34 4.0.5 Der Drehimpuls Bewegungsgleichung für die Drehbewegung eines starren Körpers für ein konstantes Trägheitsmoment J M J d dt Drehimpuls: d J dt dl dt L J L Einheit : Nms Grundgesetz der Drehbewegung Die zeitliche Änderung des Drehimpulses eines um eine feste Achse drehbaren Körpers ist gleich dem resultierenden Drehmoment aller am Körper angreifenden äußeren Kräfte Physik 34

35 4.0.6 Der Drehimpulserhaltungssatz ür M dl 0 ist 0 dt Daraus folgt: L const. Somit gilt der Drehimpulserhaltungszeit. Drehimpulserhaltungssatz: Wirken auf einen drehbaren Körper von außen keine Kräfte (abgeschlossenes System), so bleibt sein Drehimpuls nach Größe und Richtung konstant Physik 35

36 4.0.7 Der Drehimpuls für eine Punktmasse ür die Bewegung einer Punktmasse auf einer beliebig gekrümmten Bahn um ein Drehzentrum gilt, wenn diese sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt: L L mr mrv r p mr v rp p Impuls der Punktmasse: p mv Physik 36

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