Repetitorium Theoretische Mechanik, SS 2008
|
|
- Samuel Gärtner
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Physik Departement Technische Universität München Dominik Fauser Blatt Repetitorium Theoretische Mechanik, SS 8 Aufgaben zum selbständigen Lösen. Ring mit Kugel Ein Ring, auf dem eine Kugel angebracht ist, rotiert um die z-achse. Der Ring selbst besteht aus einem Draht mit der Längendichte λ. Die (homogene) Kugel hat die Masse m K. (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Kugel. (b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Rings mithilfe eines Linienintegrals. (c) Geben Sie einen Ausdruck für das gesamte Trägheitsmoment an. dx sin x x sin x + C 4 dx sin x cosx 4 cosx + C Lösung Im Folgenden bezeichnet r den senkrechten Abstand von der Drehachse. Außerdem benötigt man folgende Integrale: dx sin x x 4 sinx + C dx sin x cosx 4 cosx + C (a) Berechnung des Trägheitsmoments einer homogenen Kugel: (Da die Kugel rotationssymmetrisch bezüglich jeder beliebigen Drehachse ist, sind alle Trägheitsmomente gleich und der Trägheitstensor ist immer diagonal) I K dm r V d r ρ(r)r V RK πρ πρ dr RK 4 R Kπρ 5 m KR K π dθ π π dr r 4 dθ sin θ 5 R K R K dφ r sin θ ρ r sin θ
2 (b) Zunächst muß man den Ring R über den Winkel θ parametrisieren: r : [, π] R R, θ r(θ) (R R cosθ, R R sinθ) Das Trägheitsmoment lautet Für das Wegelement ds gilt: I R dm x ds λx R R Für die Norm der Ableitung erhält man: ds dr r(θ + dθ) r(θ) dr dθ dθ dr dθ ( R R sinθ, R R cosθ) Aus x R R sin θ folgt schließlich: R R sin θ + R R cos θ R R I R π λπr R m R R R dθ λr R sin θ (c) Aus dem Satz von Steiner und der Summe der eben berechneten Trägheitsmomente erhält man schließlich das gesamte Trägheitsmoment I ges I R + I K + m K R R. Zwei Kugeln Berechnen Sie den Trägheitstensor von zwei identischen Kugeln, die am Ursprung zusammengeklebt sind und jeweils den Radius R sowie die Masse M haben. Lösung Das Trägheitsmoment jeder Kugel ist I 5 MR
3 Aus Symmetriegründen ist der Trägheitstensor offensichtlich diagonal. Da die Schwerpunkte der Kugeln bei y R und y R liegen, muss man den Satz von Steiner anwenden. Es ergeben sich folgende Hauptträgheitsmomente: I I ( 5 MR + MR ) 7 5 MR, I 5 MR In Matrixschreibweise lautet der Trägheitstensor folglich: I 7 5 MR I diag(7,, 7) 7. Rollender Zylinder in einem Zylinder Ein homogener Zylinder mit der Masse M und dem Radius a rollt, ohne zu gleiten und unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft, auf einer festen Zylinderoberfläche mit dem Radius R. (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Zylinders. (b) Geben Sie die Lagrange-Funktion in Abhängigkeit von φ und φ an und berechnen Sie daraus die Bewegungsgleichung. (c) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen um die Gleichgewichtslage und zeigen Sie, dass man eine Schwingung mit der Frequenz g ω R a erhält. Lösung (a) Wir nehmen die z-achse des Zylinders als Symmetrieachse an, ausserdem benutzen wir natürlich Zylinderkoordinaten:
4 I Z Z a d r ρ( r) (x + y ) d r ρ( r) (r cos(φ) + r sin(φ) ) dr π dφ L 4 a4 π Lρ Ma dz r ρ (b) Das problematische an dieser Aufgabe ist das Aufstellen der korrekten Beziehung zwischen φ und der Rotationsgeschwindigkeit des Zylinders ω. Aus der Rollbedingung v rω folgt mit r a: ω v a R a a Die kinetische Energie ist die Summe der Rotations- und der Translationsenergie T Iω + Mv 4 Ma ω + M(R a) φ (R a) Ma 4 a φ + M(R a) φ 4 M(R a) φ Bei der potentiellen Energie ist das Minuszeichen zu beachten. Setzt man U(φ ), kann man sich diese Tatsache nochmal folgendermassen klarmachen: U Mgh Mg(R a)( cosφ) Mg(R a)cosφ + const. Die Lagrange-Funktion lautet also Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt dann die Bewegungsgleichung L(φ, φ) 4 M(R a) φ + Mg(R a)cosφ d dt φ L L φ φ M(R a) φ + Mg(R a)sin φ φ + g R a sin φ (c) Unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung (sinφ φ) wird die Bewegungsgleichung zu φ + g R a φ Als Lösung erhält man also φ(t) φ cos(ωt + ψ), mit g ω R a φ und ψ ergeben sich dabei aus den Anfangsbedingungen. 4
5 .4 Schwingung Ein homogener Körper, der aus zwei Kegeln und einem Zylinder zusammengesetzt ist, hängt in einem Seil, das an der Decke befestigt und zusätzlich mit einer Feder versehen ist. Unter dem Einfluss der Gravitation kann dieser Körper auf- und abhüpfen wobei er sich gleichzeitig dreht, da wir annehmen, dass das Seil nicht gleitet. Die Masse der Kegel beträgt jeweils M, die des Zylinders /5 M. Die Feder hat die Federkonstante k. (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Kegels und geben Sie damit einen Ausdruck für das Trägheitsmoment des zusammengesetzten Körpers an. (b) Geben Sie die Lagrange-Funktion in Abhängigkeit von z und ż an und bestimmen Sie daraus die Bewegungsgleichung. (c) Zeigen Sie, dass die Lösung der Bewegungsgleichung eine Schwingung ist und geben Sie deren Frequenz an. Lösung (a) Man betrachte einen Kegel K mit der Höhe L und dem Radius R. Integriert wird im Folgenden von der Spitze (z ) zur Grundfläche (z L) in Zylinderkoordinaten. Es gilt R L r z wobei r und z die Integrationsvariablen sind. Das Trägheitsmoment lautet folglich: I K L ρ dz d r ρ( r) (x + y ) π R dφ L πρ dz R 4 4 L 4 z4 R πlρ R MR Für das gesamte Trägheitsmoment erhält man schließlich (b) Unter Verwendung von ω ż R L z dr r I I ges M(R) + 5 MR 5 MR ergibt sich für die kinetische Energie T Iω + 5 M ż ż MR 5 R Mż 5 Mż Bei der potentiellen Energie muss man beachten, dass sich die Feder doppelt so schnell dehnt wie der Körper sich bewegt und dass die Gewichtskraft in positiver z-richtung angreift. Dann ergibt 5
6 sich U 5 Mgz + k(z) Die Lagrange-Funktion lautet also Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt dann die Bewegungsgleichung L(z, ż) 5 Mż + Mgz kz 5 d L dt ż L z 5M z + 4kz 5 Mg z + 4k 5M z 5 g Es handelt sich also um eine Schwingung mit der Frequenz 4k ω 5M Hauptachsensystem und Richtung des Drehimpulses Ein starrer Körper dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω ωê z um die z-achse, die mit der körperfesten z-achse zusammenfällt. Der Körper hat folgende Massenverteilung in der x-y-ebene senkrecht zur Drehachse. Alle Massen befinden sich im Abstand r vom Ursprung. (a) Berechnen Sie den Trägheitstensor dieses Systems. Ist er diagonal? Stellen Sie eine Vermutung über die Hauptträgheitsachsen an. Bestätigen Sie diese Annahme. (b) Welche Richtung hat der Drehimpuls L im ursprünglichen System? 6
7 Lösung (a) Wir berechnen wiedermal den Trägheitstensor mit der Formel I ij d r ρ( r)(r δ ij x i x j ) Zunächst stellen wir die Massendichte des Punktsystems in kartesischen Koordinaten auf: ρ( r) m δ(z)[δ(x)δ(y r )+δ(x r )δ(y r )+δ(x+ r )δ(y+ r )+δ(x r )δ(y+ r )] Damit ergibt sich: I I d r ρ( r)(y + z ) z d r ρ( r)(x + z ) z I d r ρ( r)(x + y ) d r ρ( r)y m(r + r 4 + r 4 + r 4 ) mr d r ρ( r)x m( 4 r + 4 r + 4 r ) mr d r ρ( r)x m(r + r 4 + r 4 + r r + 4 r + 4 r ) 5mr Man sieht, dass gilt: I I + I - dies ist generell für Massenverteilungen mit z m i so! I d r ρ( r)xy m(+ r + r r ) mr I da I symmetrisch I I I I Also haben wir folgenden Trägheitstensor I mr d r ρ( r)yz z d r ρ( r)xz z 5 Der Trägheitstensor ist nicht diagonal, das x-y-system ist also nicht das Hauptachsensystem. Um dieses zu finden, setzen wir das Eigenwertproblem an (Der Einfachheit halber lassen wir den Vorfaktor weg): I v i λ v i λ λ 5 λ v i Das charakteristische Polynom ergibt die Eigenwerte der Matrix: (5 λ) [( λ)( λ) 4 ] (5 λ) (7 λ) ( λ) Der diagonalisierte Trägheitstensor hat also die Hauptträgheitsmomente λ 5, λ 7, λ. 7
8 Die Eigenvektoren ergeben sich aus folgender Bedingung, wobei λ i die verschiedenen Eigenwerte durchläuft: λ i λ i v 5 λ i Es ergeben sich folgende (normierte) Eigenvektoren: v, v, v Diese Eigenvektoren ordnet man als Spaltenvektoren zur Transformationsmatrix an: S Mit Hilfe von S lässt sich der Trägheitstensor diagonalisieren: I diag S T I S. 5 I diag mr 7 (b) Im ursprünglichen System ist der Trägheitstensor nicht diagonal, er hatte die Form: I mr 5 Die Winkelgeschwindigkeit ω ωê z hat jedoch nur eine z-komponente, also ergibt sich für den Drehimpuls: L I ω mr 5ω Der Drehimpulsvektor liegt also immer, d.h. auch bei nichtdiagonalem Trägheitstensor, auf der Drehachse/z-Achse und ist bei konstanter Winkelgeschwindigkeit konstant. Dies liegt daran, dass unabhängig von der Wahl der Achsen in der x-y-ebene der Schwerpunkt des Systems immer auf der z-achse liegt. 8
Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Starre Körper und Rotation - Lösungen
Physik Department Technische Universität München Matthias Eibl Blatt 4 Ferienkurs Theoretische Mechanik 9 Starre Körper und Rotation - en Aufgaben für Donnerstag 1 Kinetische Energie eines rollenden Zylinders
MehrÜbungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik
Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Starre Körper Übungen, die mit einem Stern markiert sind, werden als besonders wichtig erachtet. 3.1 Trägheitstensor eines homogenen Quaders Bestimmen Sie den
MehrKlassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik Frühjahr 2009
Physikdepartment Technische Universität München Christoph Schnarr Blatt 4 Ferienkurs Theoretische Mechanik Frühjahr 9 Starre Körper Lösungen) Bestimmung von Trägheitstensoren Berechnen Sie die Komponenten
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Zwei Kugeln und der Satz von Steiner Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und
MehrLösung zu Übungsblatt 4
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 4 Starrer Körper, Hamilton-Formalismus 1. Ring mit Kugel (*) Ein Ring, auf dem eine Kugel angebracht
MehrRepetitorium D: Starrer Körper
Fakultät für Physik T: Klassische Mechanik, SoSe 206 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_6/t_theor_mechanik/
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 013 Übung 4 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Trägheitstensor 1. Ein starrer Körper besteht aus den drei Massenpunkten mit
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2013 Übung 4 - Angabe Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Trägheitstensor 1. Ein starrer Körper besteht aus den drei Massenpunkten mit
MehrKlassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 28. Juli 2014, Uhr
KIT SS 4 Klassische Theoretische Physik II V: Prof Dr M Mühlleitner, Ü: Dr M auch Klausur Lösung 8 Juli 4, 7-9 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+++=8 Punkte (a Verallgemeinerte Koordinaten sind Koordinaten, die
MehrProbeklausur zur T1 (Klassische Mechanik)
Probeklausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 006/07 Bearbeitungsdauer: 10 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte
Mehr(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ.
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - Lösungen SS 10 Prof. Dr. Aleander Shnirman Blatt 5 Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 11.05.010
MehrKlassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B Sommersemester 6 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt. PD Dr. Igor
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 014 Übungen zur Theoretischen Physik Lösungen zu Blatt 13 Aufgabe 51: Massenpunkt auf Kugel (a) Als generalisierte Koordinaten bieten sich Standard-Kugelkoordinaten
Mehr5.2 Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor
186 KAPITEL 5. STARRE KÖRPER 5. Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor Wie wir im vorhergehenden Abschnitt gesehen haben, besitzt ein starrer Körper 3 Freiheitsgrade zur Beschreibung seiner Position
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Seite 1 Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 Fakultät für Physik Technische Universität München 27.09.2017 Inhaltsverzeichnis 1 Trägheitsmoment & Satz von Steiner 2 2 Trägheitstensor einer dünnen Scheibe
MehrLudwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik. Lösungsblatt 8. Übungen E1 Mechanik WS 2017/2018
Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Lösungsblatt 8 Übungen E Mechanik WS 27/28 Dozent: Prof. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. Res Jöhr Verständnisfragen
MehrÜbungen zu Theoretischer Mechanik (T1)
Arnold Sommerfeld Center Ludwig Maximilians Universität München Prof. Dr. Viatcheslav Mukhanov Sommersemester 8 Übungen zu Theoretischer Mechanik (T) Übungsblatt, Besprechung ab.7.8 Aufgabe. Trägheitstensor
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2013 Probeklausur Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Kurze Fragen [20 Punkte] Beantworten Sie folgende Fragen. Für jede richtige Antwort
MehrÜbungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06
Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 13 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 005/06 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html. Dezember 005 Übungsblatt 7 Lösungsvorschlag 4 Aufgaben,
MehrHier wurde die Jacobi-Determinante der ZylinderKoordinaten verwendet (det J = ρ). Wir führen zunächst die ρ-integration durch: (R 2 H sin 2 φ )
b) Für einen Zylinder bieten sich Zylinderkoordinaten an. Legt man den Ursprung in den Schwerpunkt und die z- bzw. x 3 - Achse entlang der Zylinderachse, verschwinden alle Deviationsmomente. Dies liegt
MehrAllgemeine Mechanik. Via Hamilton-Gl.: Die Hamiltonfunktion ist (in Kugelkoordinaten mit Ursprung auf der Kegelspitze) p r. p r =
Allgemeine Mechanik Musterl osung 11. Ubung 1. HS 13 Prof. R. Renner Hamilton Jacobi Gleichungen Betrachte die gleiche Aufstellung wie in 8.1 : eine Punktmasse m bewegt sich aufgrund der Schwerkraft auf
MehrMassenträgheitsmomente homogener Körper
http://www.youtube.com/watch?v=naocmb7jsxe&feature=playlist&p=d30d6966531d5daf&playnext=1&playnext_from=pl&index=8 Massenträgheitsmomente homogener Körper 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Drehbewegung um c eine
Mehr6 Mechanik des Starren Körpers
6 Mechanik des Starren Körpers Ein Starrer Körper läßt sich als System von N Massenpunkten m (mit = 1,...,N) auffassen, die durch starre, masselose Stangen miteinander verbunden sind. Dabei ist N M :=
MehrAbbildung 1: Atwoodsche Fallmaschine mit Feder
Philipp Landgraf Christina Schindler Ferienkurs Theoretische Mechanik SS 04 Abbildung : Atwoodsche Fallmaschine mit Feder A Probeklausur. Atwoodsche Fallmaschine Die Atwoodsche Fallmaschine besteht aus
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 9
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 214 Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 9 Aufgabe 34: Steinerscher Satz für den Trägheitstensor Der Schwerpunkt liege im Ursprung des Koordinatensystems.
MehrBeispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
Mehr1 Mechanik starrer Körper
1 Mechanik starrer Körper 1.1 Einführung Bisher war die Mechanik auf Massepunkte beschränkt. Nun gehen wir den Schritt zu starren Körpern. Ein starrer Körper ist ein System aus Massepunkten, welche nicht
MehrTrägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung
Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung Satz: Es gilt wieder: (vergleiche 10.2) Geschw. eines Volumenelements bei bezüglich Ursprung v. IS. Analog zu (3.1), (3.3): (3) in (2): Wähle Ursprung
MehrSerie 6. x 2 + y 2, 0 z 4.
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 6 Serie 6. Wir betrachten drei verschiedene Flaschen in der Form eines Paraboloids P, eines Hyperboloids H und eines Kegels K. Diese sind wie folgt gegeben: P = {
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2013 Übung 3 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Zweiteilchenproblem im Lagrange-Formalismus Betrachten Sie ein System aus zwei
MehrKlassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur September 2015, Uhr. Aufgabe Punkte Zeichen
KIT SS 205 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur 2 22. September 205, 2-4 Uhr Name Matrikelnummer Code für Ergebnisse Aufgabe Punkte Zeichen / 0 2 / 5 3
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius
MehrKlassische Theoretische Physik II
v SoSe 28 Klassische Theoretische Physik II Vorlesung: Prof. Dr. K. Melnikov Übung: Dr. H. Frellesvig, Dr. R. Rietkerk Übungsblatt 3 Ausgabe: 3.7.8 Abgabe: 2.7.8 bis 9:3 Aufgabe : Teller 8 Punkte Wir entwenden
MehrRollender Zylinder in Zylinder
Übungen zu Theoretische Physik I - echnik im Sommersemester 013 Bltt 10 vom 1.07.13 Abgbe: 08.07. Aufgbe 43 Rollender Zylinder in Zylinder Ein homogener Zylinder (Gesmtmsse, Rdius, Trägheitsmoment bzgl.
MehrKlassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 27. Juli 2015, Uhr
KIT SS 05 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung 7. Juli 05, 6-8 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+4++3=0 Punkte) (a) Zwangsbedingungen beschreiben Einschränkungen
MehrINSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK. Prof. Dr. U. Motschmann Dr. M. Feyerabend. Theoretische Mechanik SS 2017
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK Prof. Dr. U. Motschmann Dr. M. Feyerabend Theoretische Mechanik SS 2017 Klausurvorbereitung Bearbeitungszeit: 180 Minuten 1. Wissensfragen (20 Punkte) Benennen Sie alle
MehrProbeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik
Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst
Mehr1d) Die z Komponente L z des Drehimpulses. 1e) f(x)g (x)δ(x z) = f(z)g (z) nach Definition der Delta-Distribution. heißt
Aufgabe 1 (10 Punkte) Fragen 1a) Jede Drehung im dreidimensionalen Raum lässt sich als Hintereinanderausführung dreier Drehungen um die ursprüngliche z-achse, die x-achse im Koordinatensystem nach der
Mehr8. Starre Körper. Die φ-integration liefert einen Faktor 2π. Somit lautet das Ergebnis
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe213 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 8. Starre Körper Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de Übung 8.1: Berechnung von Trägheitstensoren
MehrFerienkurs Mechanik: Probeklausur
Ferienkurs Mechanik: Probeklausur Simon Filser 5.9.09 1 Kurze Fragen Geben Sie möglichst kurze Antworten auf folgende Fragen: a) Ein Zug fährt mit konstanter Geschwindigkeit genau von Norden nach Süden.
MehrUniversität Karlsruhe Klassissche Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2009 V: PD. Dr. M. Eschrig Ü: Dr. habil. W.
Universität Karlsruhe Klassissche Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 009 V: PD. Dr. M. Eschrig Ü: Dr. habil. W. Lang Lösungen der Klausur vom 4. September 009 Aufgabe : Pendelnde Hantel
MehrKlausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik
Klausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik 1. August 216 Prof. Marc Wagner Goethe-Universität Frankfurt am Main Institut für Theoretische Physik 5 Aufgaben mit insgesamt 25 Punkten. Die Klausur
MehrBlatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik Sommer 2010 Hamiltonformalismus und Schwingungssysteme
Fakultät für Physik Christoph Schnarr & Michael Schrapp Technische Universität München Übungsblatt 3 - Lösungsvorschlag Ferienkurs Theoretische Mechanik Sommer 00 Hamiltonformalismus und Schwingungssysteme
MehrLösung zu Übungsblatt 3
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik. Ebenes Pendel (*) Lösung zu Übungsblatt 3 Lagrange-Formalismus, Systeme von Schwingungen Man betrachte ein ebenes Doppelpendel
MehrFormelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler
Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]
MehrKlassische und Relativistische Mechanik
Klassische und Relativistische Mechanik Othmar Marti 16. 01. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik
MehrÜbungen zu Theoretischer Mechanik (T1)
Arnold Sommerfeld Center Ludwig Maximilians Universität München Prof. Dr. Viatcheslav Mukhanov Sommersemester 08 Übungen zu Theoretischer Mechanik T Übungsblatt 8, Besprechung ab 04.06.08 Aufgabe 8. Lineare
MehrFakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik
Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / 7.1.16 1. Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in
Mehr25. Vorlesung Sommersemester
25. Vorlesung Sommersemester 1 Die Euler-Winkel Die Euler-Winkel geben die relative Orientierung zweier gegeneinander gedrehter Koordinatensysteme an, indem definiert wird, in welcher Reihenfolge welche
MehrMusterlösung zur Probeklausur Theorie 1
Institut für Physik WS 24/25 Friederike Schmid Musterlösung zur Probeklausur Theorie Aufgabe ) Potential In einem Dreiteilchensystem (eine Dimension) wirken folgende Kräfte: F = (x x 2 )x 2 3, F 2 = (x
MehrÜbungsaufgaben zur Hamilton-Mechanik
Übungsaufgaben zur Hamilton-Mechanik Simon Filser 24.9.09 1 Parabelförmiger Draht Auf einem parabelförmig gebogenen Draht (z = ar² = a(x² + y²), a = const), der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω 0
Mehr2. Lagrange-Gleichungen
2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen
Mehr7.4 Gekoppelte Schwingungen
7.4. GEKOPPELTE SCHWINGUNGEN 333 7.4 Gekoppelte Schwingungen Als Beispiel für 2 gekoppelte Schwingungen betrachten wir das Doppelpendel, das in Abb. 7.19 dargestellt ist. Zunächst vernachlässigen wir die
MehrÜbungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das
MehrFallender Stein auf rotierender Erde
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen
MehrÜbungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06
Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 17. Januar 26 Übungsblatt 9 Lösungsvorschlag 4 Aufgaben,
MehrLösungsvorschlag zu Blatt3 Theoretische Physik III: Elektrodynamik WS 2015/16
Lösungsvorschlag zu Blatt3 Theoretische Physik III: Elektrodynamik WS 215/16 Abgabetermin: keine Abgabe, sondern Wertung als Präsenzübung Prof. Dr. Claudius Gros, Institut für Theoretische Physik, Goethe-Universität
MehrName: Gruppe: Matrikel-Nummer: Aufgabe Punkte
T1: Klassische Mechanik, SoSe007 Prof. Dr. Jan von Delft Theresienstr. 37, Zi. 40 Dr. Vitaly N. Golovach vitaly.golovach@physik.lmu.de Nachholklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 007 (8.
MehrAufgabe 1: Doppelpendel a) [2 Pkte.] Zwangsbedingungen: Massenpunkte auf Kreisen, also A 1 : x y 2 1 l 2 = 0,
Universität Karlsruhe Klassissche Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2009 : PD. Dr. M. Eschrig Ü: Dr. habil. W. Lang Lösungen der Nachklausur vom 28. Oktober 2009 Aufgabe : Doppelpendel
MehrÜbungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06
Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 13 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 005/06 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 9. Januar 006 Übungsblatt 8 Lösungsvorschlag 3 Aufgaben,
MehrAufgaben zur Klausurvorbereitung
Universität des Saarlandes Fakultät 7 Physik und Mechatronik Prof. Dr. L. Santen Fachrichtung 7.1 Theoretische Physik Mail: p.hudalla@lusi.uni-sb.de Web: http://www.uni-saarland.de/fak7/santen/ Saarbrücken,
MehrM. 59 Perle auf rotierendem Draht (F 2018)
M. 59 Perle auf rotierendem Draht (F 8) Eine Perle der Masse m bewegt sich reibungslos auf einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die z-achse rotierenden Draht. Für die Belange dieser Aufgabe
MehrExperimentalphysik 1. Probeklausur - Lösung
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 216/17 Probeklausur - Lösung Aufgabe 1 Ein Ball soll vom Punkt P (x =, y = ) aus unter einem Winkel α = 45 zur Horizontalen
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik. Mechanik des starren Körpers
Ferienkurs Theoretische Mechanik Mechanik des starren Körpers Sebastian Wild Freitag, 16.09.011 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen Kinetische Energie und Trägheitstensor 4.1 Definition des
MehrGrundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 6
Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 6 Daniel Weiss 20. November 2009 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Massen auf schiefer Ebene 1 Aufgabe 2 - Gleiten und Rollen 2 a) Gleitender Block..................................
MehrÜbungsblatt 05. PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti,
Übungsblatt 05 PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de) 18. 11. 005 und 1. 11. 005 1 Aufgaben 1. Berechnen Sie für einen LKW von 40t Masse
MehrMaschinendynamik. Klausur Frühjahr Name: Matrikel-Nr.:
Maschinendynamik Klausur Frühjahr 2009 Name: Matrikel-Nr.: Punkte Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 erreichte Punkte mögliche Punkte 60 Maschinendynamik Klausur Frühjahr 2009
MehrBlatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die
MehrTheoretische Mechanik
Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. chumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik ommersemester 8 Theoretische Mechanik 1. Übung Lösungen 1.1 Trägheitstensor und atz von teiner a)
MehrVektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen
Mehr3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:
MehrProbeklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 21717 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof N V Shcherbina Dr T P Pawlaschyk wwwkanauni-wuppertalde Probeklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Hinweis Die Lösungen
MehrAufgaben zur Analytischen Mechanik SS 2013 Blatt 10 - Lösungen. Aufgabe 1 Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte)
Aufgben zur Anlytischen Mechnik SS 013 Bltt 10 - en Aufgbe 1 Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte Bestimmen Sie Eigenwerte λ 1 und λ sowie die Eigenvektoren v 1 und v der folgenden Mtrix:
Mehrm 1 m 2 V 2 = m 2 gh.
1. Zwei-Massen-System 15 P. x θ r m 1 y h g m 2 z i. (4 P.) Insgesamt könnten zwei Massenpunkte in drei Dimensionen 6 = 2 3 Translations- Freiheitsgrade haben. Hier darf sich die Masse m 1 bzw. m 2 nicht
MehrInhalt. Diese Übung beschäftigt sich hauptsächlich mit der Anwendung des Transformationssatzes des Lebesgue-Integrals
Inhalt Diese Übung beschäftigt sich hauptsächlich mit der Anwendung des Transformationssatzes des Lebesgue-Integrals f dλ n = f ψ det Dψ dλ n. U ψ(u) Dabei ist ψ : U ψ(u) ein C 1 -Dieomorphismus auf einer
MehrÜbungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrTheoretische Physik I/II
Theoretische Physik I/II Prof. Dr. M. Bleicher Institut für Theoretische Physik J. W. Goethe-Universität Frankfurt Aufgabenzettel XI 27. Juni 2011 http://th.physik.uni-frankfurt.de/ baeuchle/tut Lösungen
MehrPhysikalisches Praktikum M 7 Kreisel
1 Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel Versuchsziel Quantitative Untersuchung des Zusammenhangs von Präzessionsfrequenz, Rotationsfrequenz und dem auf die Kreiselachse ausgeübten Kippmoment Literatur /1/
MehrName: Gruppe: Matrikel-Nummer:
Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober
MehrAufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte)
Aufgabe K: Potential einer Hohlkugel ( + 7 + = Punkte) (a) Leiten Sie die integrale Form der Maxwell Gleichungen der Elektrostatik aus den entsprechenden differentiellen Gleichungen her. Differentielle
MehrD-MAVT/D-MATL FS 2018 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie1
D-MAVT/D-MATL FS 8 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie. Das Volumenelement der Koordinaten, welche in der untenstehenden Abbildung definiert sind, ist gegeben durch z Q Ρ Α Β y (a) ϱ cos β dϱ
MehrKlassische Mechanik - Ferienkurs; Lösungem. Sommersemester 2011, Prof. Metzler
Klassische Mechanik - Ferienkurs; Lösunge Soerseester 2011, Prof. Metzler 1 Inhaltsverzeichnis 1 Quickies 3 2 Lagrange Gleichung 1. Art 3 2.1 Perle auf Schraubenlinie..................................
MehrMehrdimensionale Integralrechnung 2
Mehrdimensionale Integralrechnung Quiz Wir wollen die Dynamik zweier Teilchen beschreiben, die über ein hoch elastisches Seil verbunden sind und sich wild im Raum bewegen! Ein Kollege schlägt dazu vor
MehrÜbungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06
Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 3 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 5/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html. Dezember 5 Übungsblatt 6 Lösungsvorschlag 3 ufgaben,
MehrTheoretische Physik 1 (Mechanik) Aufgabenblatt 3 Lösung
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 (Mechanik) SS 218 Aufgabenblatt 3 Lösung Daniel Sick Maximilian Ries 1 Drehimpuls und Energie im Kraftfeld Für welche
MehrVorbemerkung. [disclaimer]
Vorbemerkung Dies ist ein abgegebener Übungszettel aus dem Modul physik221. Dieser Übungszettel wurde nicht korrigiert. Es handelt sich lediglich um meine Abgabe und keine Musterlösung. Alle Übungszettel
MehrZylinderkoordinaten 1 E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Zylinderkoordinaten E E E3 Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Die Koordinaten sind durch die Beziehungen definiert: x x u, v, w, y y u, v, w, z z u, v, w Für sie sollen stetige partielle
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
Mehr4.9 Der starre Körper
4.9 Der starre Körper Unter einem starren Körper versteht man ein physikalische Modell von einem Körper der nicht verformbar ist. Es erfolgt eine Idealisierung durch die Annahme, das zwei beliebig Punkte
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik SS 2011
Ferienkurs Teoretisce Mecanik SS Lösungen Freitag Aufgabe : Rotation eines Quaders um die Raumdiagonale Die Hauptacsen verlaufen durc den Scwerpunkt des Quaders parallel zu den Kanten. Die Kante der Länge
Mehr(c) Bestimmen Sie die raumfesten Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω.
PDDr.S.Mertens Theoretische Physik I Mechanik J. Unterhinninghofen, M. Hummel Blatt 9 WS 8/9 16.1.8 1. Transformation Körperachsen auf Raumachsen. In der Vorlesung wurde diskutiert, das (4Pkt. die Nutationsbewegung
Mehr12 Integralrechnung, Schwerpunkt
Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universität Hannover Mathematik für Ingenieure Mathematik http://www.windelberg.de/agq Integralrechnung, Schwerpunkt Schwerpunkt Es sei ϱ die Dichte innerhalb der zu untersuchenden
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik Sommer 2010 Newton/Koordinaten/Dgl s
Fakultät für Physik Friedrich Wulschner Technische Universität München Vorlesung Montag Ferienkurs Theoretische Mechanik Sommer 2010 Newton/Koordinaten/Dgl s Inhaltsverzeichnis 1 Newtons 3 Axiome 2 2 Lösungsverfahren
MehrZusammenfassung. 1. Starre Körper: Zwei Koordinatensysteme (L und K). Die Bewegung im K-system ist eine Rotation.
Zusammenfassung 1. Starre Körper: Zwei Koordinatensysteme (L und K). Die Bewegung im K-system ist eine Rotation. Z P r x 3 K-System x 2 R O R c x 1 L-System Y 2. Die kinetische Energie des Körpers und
MehrLagrange Formalismus
Lagrange Formalismus Frank Essenberger FU Berlin 1.Oktober 26 Inhaltsverzeichnis 1 Oszillatoren 1 1.1 Fadenpendel.............................. 1 1.2 Stabpendel.............................. 3 1.3 U-Rohr................................
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 3 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Gleiten und Zwangsbedingungen Wir betrachten einen Block der Masse m 1 auf einem Keil der
MehrPhysik 1 für Ingenieure
Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#
Mehr