Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:

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1 Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom Abgabe: Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das Verhältnis T /a 3 für alle Planeten gleich ist. Hier ist T die Umlaufzeit, a die große Halbachse der Ellipsenbahn. Dieses Gesetz gilt nur für ein Zweikörperproblem unter der Annahme, dass die Masse der Sonne M sehr groß ist gegenüber der Masse des Planeten m. Beweisen Sie dieses Gesetz, ausgehend von der Drehimpulserhaltung. Hinweis: Starten Sie mit dem Ausdruck für den Betrag des Drehimpulses l = µr θ (µ ist die reduzierte Masse, r der momentane Abstand Sonne-Planet und θ der Winkel des Fahrstrahls zur x-achse) und integrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung über die Umlaufzeit. Benutzen Sie dann die Beziehungen für Aphel- und Perihel-Achse aus der Vorlesung und die Näherung m M. Die Drehimpulserhaltung: Integration über die Umlaufzeit liefert: l = µr θ = const. T 0 ldt = T 0 µr θdt lt = π 0 π µr dθ = µ 0 r dθ = µπab. Jetzt benutzen wir die Beziehungen für die Halbachsen der Ellipse (s. Vorlesung ): Damit bekommen wir a = Mithilfe des Ausdrucks für den Parameter p, p ε, b = p. ε T a 3 = 4π µ b l = 4π µ p a l. bekommen wir das Endergebnis: p = l αµ, T a 3 = 4π µ α. Die rechte Seite der letzten Gleichung ist nicht konstant (hängt von der Masse m ab): und damit α = GMm, µ = Mm M m, 4π µ α = 4π G(M m). Für den Fall m M vereinfacht sich der Ausdruck zu: T a 3 = 4π µ α = 4π G(M m) 4π GM = const.

2 Aufgabe 30 3 Punkte Teilchen im konstanten Zentralkraftfeld Ein Teilchen der Masse m mit Ortsvektor r bewege sich in einem dreidimensionalen Kraftfeld, wobei die Kraft in Richtung auf den Ursprung zeigt und ihr Betrag K unabhängig vom Ort ist. (a) Wie lautet die Newton sche Bewegungsgleichung für dieses Problem? Bestimmen Sie die zugehörige potentielle Energie und geben Sie den Energieerhaltungssatz an. (b) Zeigen Sie, ausgehend von der Newton schen Bewegungsgleichung, dass auch der Drehimpuls erhalten ist. Wie kann man daraus schließen, dass die Bewegung in einer Ebene erfolgt? (c) Beweisen Sie den Zusammenhang r = L m r ṙ. Hier ist r der Abstand vom Ursprung und L ist der Drehimpuls. Hinweis: Berechnen Sie L und benutzen Sie ( a b) = a b ( a b). (a) Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet hier: m r = K( r) = K e r. Es liegt ein Zentralkraftfeld vor, so dass die Kraft konservativ ist. Integration in radialer Richtung liefert die potentielle Energie: V ( r) = K( r) d r = K e r d r = K dr = K r. (Die Integrationskonstante ist hier zu Null angenommen.) Der Energieerhaltungsatz lautet somit E = m r K r. (b) Weil das vorliegende Kraftfeld ein Zentralfeld ist, ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Expliziter Nachweis: d dt L = d dt m r r = m r r m r r = 0 K r e r = 0. Wegen L = r p liegen alle Bahnpunkte in einer Ebene, deren Normalenvektor durch den konstanten Drehimpulsvektor L gegeben ist. (c) Für eine ebene Bewegung gilt in Polarkoordinaten einerseits r = ṙ r ϕ und andererseits Wenn man hier ϕ eliminiert, erhält man Alternativ: L = L z = mr ϕ. r = ṙ L m r. L = m ( r r) = m ( r r ( r r) ) = m r ( r ( e r r) ) = m r ( r ṙ ). Daraus ergibt sich die gesuchte Beziehung r = ṙ L m r.

3 Aufgabe 3 Punkte Der Runge-Lenz-Vektor Wir betrachten die Relativbewegung zweier durch die Gravitation wechselwirkender Massen m und M, die Gravitationskonstante sei G. Wir definieren x als den Verbindungsvektor zwischen den beiden Massen. Die Bewegungsgleichung lautet daher mit der reduzierten Masse µ = mm/(m M) und r = x µ x = GmM x r 3. Zeigen Sie, dass der sog. Runge-Lenz-Vektor A eine Erhaltungsgröße ist (d.h. unabhängig von der Zeit ist): A = µg (M m) x L x r, wobei L = µ x x der (erhaltene) Drehimpuls ist. Kommentar: Die Erhaltung dieses Vektors tritt nur beim /r-potenzial auf und ist der tiefere Grund dafür, dass die Planetenbahnen geschlossene Bahnen sind. Die Bewegungsgleichung hat die Form: µ x = GmM x r 3. Zunächst gilt Außerdem gilt d dt r = r ṙ = r r e r = r r 3 r = r x 3 x, ( x r). x ( x x) = x ( x x) x ( x x) = x ( x x) r x. Wegen L = 0 folgt für den Runge-Lenz Vektor A = Gµ(M m) x L x r x r x 3 x = µr 3 x L x r x r 3 x x = r 3 x ( x x) x r x r x 3 x x ( x x) = r 3 x r x r x r x 3 x = 0. Aufgabe 3 4 Punkte Gleiten und Zwangsbedingungen Wir betrachten einen Block der Masse m auf einem Keil der Masse m. Der Keil gleitet nur auf der horizontalen Ebene, während der Block auf dem Keil gleitet. Die Bewegung ist zur Gänze auf die x- y Ebene beschränkt (siehe Abbildung). Betrachten Sie nur die Bewegung, solange sich der Block auf dem Keil befindet. Die beiden Bewegungen verlaufen ohne Reibung. Das System befinde sich in einem homogenen Schwerefeld. 3

4 y g ohne Reibung m y m y α x x ohne Reibung x (a) Formulieren Sie die geometrischen Zwangsbedingungen. (b) Konstruieren Sie die Ausdrücke für die Zwangskräfte, die zunächst unbekannte Lagrangeparameter enthalten. Wieviele sind das? (c) Nun führen wir neue Koordinaten s und s ein, die alle Zwangsbedingungen beinhalten: x = s, y = 0, x = s s cos α, y = s sin α. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion als Funktion von s und s und geben Sie die resultierenden Bewegungsgleichungen an. (d) Bestimmen Sie wenigstens eine Erhaltungsgröße für die Lagrange-Funktion aus Teilaufgabe c (Hinweis: es gibt insgesamt Erhaltungsgrößen). (a) Für eine Bewegung in der x-y Ebene gilt: z = 0, z = 0. Für eine Bewegung des Keils nur in x-richtung gilt: Da der Block stets auf dem Keil ist, gilt: (b) Die Zwangskräfte (s. Vorlesung 9): g (x, y, x, y, t) = y const = 0. g (x, y, x, y, t) = y y (x x ) tan α = 0 g (x, y, x, y, t) = x sin α y cos α x sin α y cos α = 0. F i = λ l (t) i g l ( r, r, t), i =, l= ( gl i g l =, g ) l, x i y i g = (0, 0), g = (0, ), g = (sin α, cos α), g = ( sin α, cos α). F x = λ sin α, F y = λ cos α, F x = λ sin α, F y = λ λ cos α. 4

5 (c) T = m = m = m (ẋ ẏ ) m (ẋ ẏ ) (ṡ ṡ cos α) m ṡ sin α m (ṡ ṡ m ) ṡ m ṡ ṡ cos α. ṡ L = T V = m Bewegungsgleichungen: V = m gy m gy = m gs sin α. (ṡ ṡ ) m ṡ m ṡ ṡ cos α m gs sin α. d L L = m s m s cos α m g sin α = 0 ; dt ṡ s d L L = m s m s m s cos α = 0. dt ṡ s (d). Es wirken keine dissipativen Kräfte Energie ist erhalten. E = T V = m (ṡ ṡ ) m ṡ m ṡ ṡ cos α m gs sin α = const.. Die Largrange-Funktion hängt nicht von der Koordinate s ab: L s = 0. Solche Koordinaten nennt man zyklische Koordinaten. Dann ist der zu s konjugierte Impuls eine Erhaltungsgröße: L ṡ = (m m ) ṡ m ṡ cos α = const. Aufgabe 33 3 Punkte Wirkungsintegral Wir betrachten die eindimensionale Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem homogenen Schwerefeld entlang der vertikalen z-achse. Benutzen Sie die Koordinate z für die Höhe des Teilchens. Die potenzielle Energie ist V (z) = mgz. Berechnen Sie das Wirkungsintegral: W = t t 0=0 (a) für die tatsächliche Bahnkurve z(t) = gt ; L (ż(t), z(t), t) dt, t > 0 (b) für die virtuellen Bahnkurven z ν (t) = a ν t ν, ν >. Dabei ist a ν so definiert, dass z ν (t ) = z (t ) = gt. Zeigen Sie, dass das Wirkungsintegral gegeben ist durch W = mg t 3 [ ν 4(ν ) ]. ν (c) Zeigen Sie, dass der Fall ν = zu einem Extremwert des Wirkungsintegrals führt. Hilfe: Betrachten Sie die Ableitung von W nach ν. 5

6 (a) z(t) = gt ż = gt V (z) = mgz L = T V = m ż mgz = m g t m g t = mg t. W = t t 0=0 L (ż(t), z(t), t) dt = 3 mg t 3. (b) für die virtuellen Bahnen z ν (t) = a ν t ν, ν >. Aus a νt ν = gt a ν = gt( ν). Dann z ν (t) = gt( ν) t ν ż ν (t) = gνt( ν) t (ν ). Die Lagrange-Funktion: Das Wirkungsintegral: L = m [ gνt( ν) t (ν ) ] m g t ( ν) t ν = = m { } g t ( ν) ν 4 t( ν) t (ν ) t ν. W = (c) Wir sollen zeigen, dass W ν t t 0=0 L (ż(t), z(t), t) dt = m { g t ( ν) ν 4(ν ) t( ν) t (ν ) } ν t(ν) = m { ν g 4(ν ) t(4 νν ) } ν t( νν) = m g t 3 { ν 4(ν ) ν = 0, wobei W = ν= }. W mg t 3 / { ν(ν ) ν 4(ν ) W ν = { ν(ν ) ν 4(ν ) } (ν ). } (ν ) ν= = 0. 6