Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik)

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1 Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik) Prof. Dr. Th. Feldmann 15. Januar 2014 Kurzzusammenfassung Vorlesung 21 vom Hamilton-Mechanik Zusammenfassung Lagrange-Formalismus: (generalisierte) Koordinaten q k (t) und Geschwindigkeiten q k (t). Lagrange-Funktion hängt formal von q k und q k (und t) ab, L = L(q, q, t), für q = {q 1... q f } und q = { q 1... q f }. d.h. beide partielle Ableitungen tauchen in Euler-Lagrange Gleichungen (2. Art) auf, d dt = 0 q k für k = 1... f Freiheitgrade. Zu jeder generalisierten Koordinate gehört ein kanonischer Impuls, p k = q k = p k (q, q, t) Hamilton-Formalismus: Betrachte nun q 1... q f und p 1... p f als unabhängige Variablen. definiert sog. Phasenraum : {q 1... q f, p 1... p f }. (wichtiger Begriff in Quantenmechanik und Statistischer Physik) Variablentransformationen, die p und q mischen sind (mit gewissen Einschränkungen) erlaubt, Q k = Q k (q, p, t), P k = P k (q, p, t). Anstelle der E.-L. Gleichungen treten nun die sog. Hamilton-Gleichungen, welche im Folgenden als DGLs 1. Ordnung hergleitet werden. 1

2 Die Anfangsbedingungen, nun also q k (0), p k (0), bezeichnen wir als (klassischen) Zustand des Systems zur Zeit t = 0. Die Dynamik bestimmt dann wieder die zeitliche Entwicklung des Zustands im Phasenraum ( Phasenraumtrajektorie ). Die physikalischen Lösungen beider Zugänge sind identisch, d.h. Lagrange- und Hamilton- Formalismus sind als äquivalent zu betrachten. Formalismus spielt wichtige Rolle für Hamilton-Jacobi Theorie ( später), Störungstheorie, Chaotische Systeme, Herleitung der Hamilton-Gleichungen Wir betrachten System mit f unabhängigen generalisierten Koordinaten q k, dessen Dynamik durch ein generalisiertes Potential U = U(q, q, t) beschrieben werden kann, so dass ein Lagrangefunktion L = T U = L(q, q, t), existiert. Daraus lassen sich die kanonischen Impulse p k = p k (q, q, t) berechnen (s.o.). Die f Gleichungen p k = p k (q, q, t) lassen sich (zumindest lokal) nach den f Variablen q l = q l (q, p, t) auflösen, sofern det = 2 L! q k 0, (341) d.h. L ist eine positive Funktion der q k. Wir definieren nun die Hamilton-Funktion H gemäß H = H(q, p, t) f q k (q, p, t) p k L(q, q(q, p, t), t), k=1 ( Legendre-Transformation ) (342) was der bereits bekannten Def. von H entspricht, bis auf den wichtigen (!) Unterschied, dass durch die Ersetzung von q = q(q, p, t), die Hamilton-Funktion als mathematische Funktion von q und p (und nicht von q und q) zu lesen ist. Eigenschaften von H, die wir bereits kennen, sind (a) Falls t L = 0 folgt (für physikalische Bahnkurven) H = const. (b) Ist T = 1 k,l M 2 kl(q) q k q l (skleronome Zwangsbedingungen), dann entspricht H = T + U der mechanischen Energie. 2

3 Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus Hamiltonfunktion nun wie folgt: 1 Def. p l l =p l = E. L. = d Def. = ṗ k, dt q k (343) und entsprechend Def. p l + q k l =p l = q k. (344) D.h. 2f DGLs 1. Ordnung (anstelle von f DGLs 2. Ordnung im Lagrange-Formalismus). Hamiltonsche (o. kanonische) Gleichungen q k =, ṗ k =. In analoger Weise verifizieren wir t t p l l t t = t s.o. = dh dt. (345) D.h. aus t H = 0 folgt H = const. Zyklische Koordinaten im Hamilton-Formalismus: O.B.d.A. nehme an, dass q f zyklische Koordinate ist, d.h. H nicht von q f abhängt. Aus 2. Hamilton-Gleichung folgt direkt ṗ f = q f = 0, p f α f = const. H = H(q 1,..., q f 1, p 1,..., p f 1, α f, t) d.h. Problems mit (f 1) Freiheitsgraden und Parameter α f, wobei Beispiele: (1) Bewegung im Zentralpotential q f = α f. 1 Hierbei ist besonders wichtig, bei der Verwendung der Kettenregel mathematisch präzise zu notieren, welche Funktionen von welchen Variablen abhängen! 3

4 Lagrangefunktion (in Polarkoordinaten) gegeben als (vgl. oben) L(r, ϕ, ṙ, ϕ) = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 ϕ 2) U(r) kanonische Impulse bestimmen: p r = ṙ = mṙ, Auflösen (r 0): ṙ(p r ) = p r m, Legendretransformation: p ϕ = ϕ = mr2 ϕ. ϕ(p ϕ, r) = p ϕ mr 2. H(r, p r, p ϕ ) = ṙ(p r )p r + ϕ(p ϕ, r)p ϕ L(r, ϕ, ṙ(p r ), ϕ(p ϕ, r) = p2 r 2m + p2 ϕ 2mr + U(r) 2 ϕ ist zyklisch, d.h. p ϕ = l = const. (Drehimpuls), H = H(r, p r, l) = p2 r 2m + 2mr + U(r) = p2 r 2 2m + U eff(r) = E. Hamiltonsche Gleichungen: ṙ = p r = p r m, ṗ r = r = mr du 3 dr und ϕ = l = l mr 2. Erste Gleichung nach t ableiten und zweite Gleichung einsetzen ergibt E.-L.: m r = ṗ r = mr du 3 dr (2) Phasenraumkurven des ebenen Pendels: Lagrangefunktion: L(ϕ, ϕ) = 1 2 m ϕ 2 + mgl cos ϕ Kanonischer Impuls und Auflösen nach ϕ: Legendretransformation: p ϕ = ϕ = m ϕ ϕ = p ϕ ml 2. H(ϕ, p ϕ ) = p2 ϕ mgl cos ϕ = E 2m 4

5 Hamiltonsche Gleichungen: ϕ = p ϕ = p ϕ ml 2, ṗ ϕ = ϕ = mgl sin ϕ. Hamiltonsche Gleichungen erlauben es, das qualitative Verhalten der möglichen Lösungen im Phasenraum zu diskutieren: Für kleine Auslenkungen (d.h. E mgl) galt p ϕ sin ωt und ϕ cos ωt, d.h. es ergeben sich Kreise um p ϕ = 0 und Gleichgewichtslage(n) ϕ = n 2π. Für größere Auslenkungen gibt es Abweichungen von der harmonischen Schwingung. Speziell für E = mgl erreicht der Umkehrpunkt ϕ = π (Pendel steht senkrecht). Entspricht labilem Gleichgewicht. Für E > mgl schwingt das Pendel durch (qualitativ neues Verhalten). Anmerkungen: Die Bahnen im Phasenraum können sich nicht schneiden, da jede Bewegung durch Angabe eines Punktes (q, p)(t 0 ) im Phasenraum eindeutig bestimmt. In der Nähe vom labilen Gleichgewicht (ϕ π, p ϕ 0 für alle t) kommen Kurven mit E mgl dem Phasenraumpunkt ϕ π, p ϕ 0 beliebig nahe. 5