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1 Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 1/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Klausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 008 (3. Juli 007) Bearbeitungszeit: 10 Minuten Gesamtpunktzahl: 36 Punkte + Bonuspunkte Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt, das Sie abgeben, Ihren Namen. Erlaubte Hilfsmittel: Ein beidseitig handbeschriebenes Blatt sowie die mathematische Formelsammlung von Bronstein. Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Nur für Diplomstudiengang: Brauchen Sie einen Schein? (JA / NEIN ) Aufgabe Bonus Punkte Korrektur

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3 Aufgabe 1 : Kleine Schwingungen (10 Punkte) Im Schwerefeld der Erde sei eine Punktmasse m [mit Koordinaten (x,z )] über einen masselosen Faden der Länge l [mit Ausschlagswinkel θ] an einer Punktmasse 3m [mit Koordinaten (x 1,z 1 )] aufgehängt, die sich reibungsfrei auf einer Parabel der Form z 1 = 1 l x 1 bewegt (siehe Skizze). Ziel dieser Aufgabe ist es, die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen dieses Systems zu bestimmen. Betrachten Sie somit im Folgenden ausschliesslich den Limes θ 1, und wählen Sie q 1 := x 1 und q := lθ als verallgemeinerte Koordinaten. z x (x 1, z 1 ) 3m θ l (x, z ) m (a) ( Punkte) Drücken Sie x 1, z 1, x und z sowie ẋ 1, ż 1, ẋ und ż durch q 1 und q sowie q 1 und q aus. [Hinweis: Entwickeln Sie sinθ und cos θ bis zu (und einschließlich!) der zweiten Ordnung in θ.] (b) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion L(q 1,q, q 1, q ) im Limes kleiner Schwingungen folgende Form hat: L = m [ 4 q 1 + q 1 q + q Ω (4q 1 + q l ) ], mit Ω = g/l. (1) [Hinweis: Terme höherer als quadratischer Ordnung in q 1, q, q 1 und q (d.h. Produkte von mehr als zwei dieser Variablen) sollten vernachlässigt werden.] (c) (3 Punkte) Nutzen Sie Matrixnotation, um die Eigenfrequenzen ω 1 und ω des Systems zu finden. (d) ( Punkte) Berechnen Sie die entsprechenden Eigenmoden und skizzieren Sie qualitativ die Eigenschwingungen als Funktion der Zeit für jede der beiden Eigenmoden.

4 Aufgabe : Stark gedämpfter harmonischer Oszillator (10 Punkte) Betrachten Sie einen stark gedämpften harmonischen Oszillator mit Antrieb f(t): [ t + γ t + ω0 ] x(t) = f(t), mit γ > ω0 > 0. () (a) (1 Punkt) Wie lautet die Differentialgleichung, durch welche die Greensche Funktion G(t) des gedämpften harmonischen Oszillators definiert ist? (b) ( Punkte) Zeigen Sie, dass der Ansatz 1 für t > 0, G(t) = θ(t)x h (t), mit θ(t) = 1/ für t = 0, 0 für t < 0, (3) die in Teilaufgabe (a) angegebene Gleichung erfüllt, falls x h (t) eine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung ist und für t = 0 die Anfangsbedingungen x h (0) = 0, ẋ h (0) = 1 erfüllt. [Hinweis: hierfür ist es nicht nötig, x h (t) explizit zu konstruieren!] (c) ( Punkte) Machen Sie nun für die in Teilaufgabe (b) definierte homogene Lösung x h (t) den Ansatz x h (t) = c 1 e λ 1t + c e λ t (4) und bestimmen Sie die darin vorkommenden Konstanten. [Hinweis: bestimmen Sie zuerst c 1 und c mittels der Anfangsbedingungen, danach λ 1 und λ mittels der Differentialgleichung.] (d) (1 Punkt) Geben Sie eine Formel an, die für einen beliebigen Antrieb f(t) die Auslenkung x(t) [d.h. die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ()] durch die Greensche Funktion G(t) ausdrückt. (e) (3 Punkte) Betrachten Sie nun einen Antrieb der Form f(t) = θ(t)f 0. Finden Sie mittels der Formel von Teilaufgabe (d), sowie Gleichungen (3) und (4) für G(t), den Wert x( ), den x(t) im Limes t annimmt. [Hinweis: Finden Sie das Ergebnis zunächst als Funktion von λ 1 und λ, und vereinfachen Sie es dann mittels der Resultate von Teilaufgabe (c).] (f) (1 Punkt) Interpretieren Sie das Ergebnis von Teilaufgabe (e) durch Vergleich der Antriebsund Rückstellkräfte.

5 Aufgabe 3 : Tunnel durch die Erde (6 Punkte + Bonuspunkte) Betrachten Sie einen Tunnel durch die Erde, der zwei Punkte auf der Erdoberfläche verbindet (siehe Skizze). Der Tunnelverlauf sei so gewählt, dass er die Zeit T minimiert, in der eine am Tunneleingang mit Anfangsgeschwindigkeit Null losrollende Punktmasse m den Tunnel unter Einfluss der Gravitation durchrollt. Ziel dieser Aufgabe ist es, mittels der Variationsmethode eine Gleichung zu finden, die den Verlauf r = r(φ) dieses Tunnels bestimmt, wobei r den Abstand zum Erdmittelpunkt bezeichnet. Das Gravitationspotential im Inneren eines homogenen massiven Körpers ist dabei durch V (r) = αr gegeben. (Reibung und Corioliskräfte sind zu vernachlässigen). (a) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass man das zu minimerende Funktional als T = T[r(φ)] = dφ r + r v(r) y φ x = r sinφ, y = r cos φ, mit r = dr dφ, (5) schreiben kann, wobei v(r) die Geschwindigkeit der Punktmasse bezeichnet. [Hinweis: Drücken Sie zunächst das Wegelement ds durch r, dr und dφ aus.] Drücken Sie v(r) durch die Gesamtenergie E des Teilchens aus. (b) ( Punkte) Da der Integrand (F ) in Gl. (5) nicht explizit von der Integrationsvariable φ abhängt, existiert eine φ-unabhängige Erhaltungsgröße, F F r r = konstant. Nutzen Sie dies um die folgende Differentialgleichung für den Tunnel herzuleiten: r 4 = c (E αr)(r + r ) mit c = konst. (c) (1 Punkt) Bestimmen Sie durch Integration der Differentialgleichung aus (b) einen Integralausdruck für die Bahnkurve φ = φ(r). (d) Bonusaufgabe ( Bonuspunkte): Wir betrachten nun das gleiche Problem für eine große Hängebrücke zwischen zwei hohen Türmen auf der Erdoberfläche. Was ändert sich in Ihren Gleichungen? Vollziehen sie den Grenzübergang zu gewöhnlichen Brachistochrone im konstanten Schwerefeld. r x

6 Aufgabe 4 : Kanonische Transformation für geladenes Teilchen im Magnetfeld (10 Punkte) Die Lagrange-Funktion für ein geladenes Teilchen (Masse m = 1, Ladung e = 1) in der q 1 -q - Ebene, senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld der Stärke B, lautet L = 1 [ q 1 + q + (q 1 q q q 1 )B ] (6) (a) ( Punkte) Zeigen Sie, ausgehend von L, dass die Hamilton-Funktion folgende Form hat: H(q 1,q ;p 1,p ) = 1 (p 1 + q B/) + 1 (p q 1 B/). (7) (b) ( Punkte) Betrachten Sie nun eine kanonische Transformation von den alten Variablen (q 1,q,p 1,p ) zu neuen Variablen (Q 1,Q,P 1,P ), gegeben durch q 1 = 1 [ ] P1 sinq 1 + P, p 1 = α [ ] P1 cos Q 1 Q, (8a) α q = 1 [ ] P1 cos Q 1 + Q, p = α [ ] P 1 sinq 1 + P. (8b) α Berechnen Sie die Poisson-Klammern {q 1,p 1 } Q,P. Ist Ihr Ergebnis konsistent mit der Behauptung, dass die Transformation (8) kanonisch ist? (c) ( Punkte) Wählen Sie nun α = B. Zeigen Sie, dass die Hamilton-Funktion, ausgedrückt durch die neuen Variablen, H(q 1,q ;p 1,p ) =: H(Q1,Q ;P 1,P ), die Form H = ωp 1 hat, und bestimmen Sie ω. (d) ( Punkte) Lösen Sie die kanonischen Hamilton-Gleichungen für die neuen Variablen als Funktion der Zeit, mit den Anfangsbedingungen P 1 (0) = α r / und Q 1 (0) = Q (0) = P (0) = 0 bei t = 0 (r ist eine Konstante). (e) ( Punkte) Bestimmen Sie, durch Einsetzen des Ergebnisses von Teilaufgabe (d) in Gl. (8), die Bahn des Teilchens, q 1 (t) und q (t), und skizzieren Sie diese Bahn qualitativ in der q 1 -q - Ebene. Was ist die physikalische Bedeutung des Parameters r?