(a) Λ ist eine Erhaltungsgröße. (b) Λ ist gleich der Exzentrizität ε der Bahnkurve.

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1 PD Dr. S. Mertens S. Falkner, S. Mingramm Theoretische Physik I Mechanik Blatt 7 WS 007/ Lenz scher Vektor. Für die Bahn eines Teilchens der Masse m im Potential U(r) = α/r definieren wir mit dem Drehimpuls L und dem Impuls p den Lenz schen Vektor Λ m Λ = r α ( r r) r r = p L r r. Zeigen Sie: (a) Λ ist eine Erhaltungsgröße. (b) Λ ist gleich der Exzentrizität ε der Bahnkurve. (c) Die Auswertung von Λ r ergibt die Bahnkurve des Teilchens in Polarkoordinaten. (d) Λ zeigt zum zentrumsnächsten Punkt (Perihel), also Λ zeigt in Richtung rmin. (e) Geben Sie alle möglichen Potentiale an, für die D := r L + V( r ) r auf allen Bahnkurven zeitlich konstant ist. ( Pkt.) (insgesamt 6 Pkt.) (a) Wir leiten p L und r r nach der Zeit ab, wobei wir L = const. berücksichtigen. = p L = U(r) L r ( r r) = r = r r( r r) d r dt r = r r + r d dt r = r d r r dt r r = r r r( r r)/r r d p L dt rr = r( r r) r = r r( r r) Hieraus folgt schließlich d dt Λ = 0 bzw., dass Λ eine Erhaltungsgröße ist. d Bemerkung: Wir dürfen uns in oberiger Rechnung nicht verleiten lassen, dt r einfach durch ṙ zu ersetzen. Dies sind zwei vollkommen verschiedene Größen; ṙ = ẋ + ẏ + ż ist der Betrag des Geschwindigkeitsvektors, d dt r = d x dt + y + z xẋ + yẏ + zż = x + y + z = r r r gibt hingegen an, wie stark sich der Betrag des Vektors r mit der Zeit ändert. Man mache sich den Unterschied am Beispiel einer Kreisbewegung um den Koordinatenursprung klar, hier ist r = const., d dtr = 0 aber ṙ = 0. (b) Wir berechnen zunächst Λ und finden mit ( p L) r = ( r p) L = L, der Gesamtenergie E = p m α r und der Tatsache, dass Impuls p und Drehimpuls L senkrecht aufeinander stehen, ( ) p L Λ = r = ( p L) r α m ( p L) r r = p L ( α m L r + = L p α m m α r + r r ) + = EL α m + = ε. Seite von 7

2 Theoretische Physik I: Mechanik WS 007/008 (c) In Polarkoordinaten gilt allgemein Λ r = Λr cos ϕ = εr cos ϕ. Andererseits folgt mit der Definition des Lenz schen Vektors Λ r = ( p L) r r = L r. Damit erhlaten wir die Bahnkurve r = L + ε cos ϕ. (d) Da Λ konstant ist, können wir den speziellen Wert r = rmin in die Definition des Lenz schen Vektors einsetzen. Der Vektor r min steht sowohl senkrecht auf dem Impuls p als auch dem Drehimpuls L und somit parallel zu p L. Daraus folgt Λ r. Aus Teilaufgabe (c) schließen wir außerdem Λ rmin = L r min = L L + ε > 0, also sind Λ und rmin nicht nur parallel, sondern zeigen auch in die gleiche Richtung. (e) Die zeitliche Ableitung des Vektors D lautet D = ( r L) + ( r L) + ( V r) r + V(r) r Im Zentralpotential ist L = 0 und außerdem r = m dv dr e r. Dies hat zur Folge, dass D = dv m dr = dv = r m [ r ( r r)] + dv r dr r) r r r] + dv r [( r ( dr r dv dr + V(r) ). dr r ( r r) r + V(r) r r ( r r) r + V(r) r Für D = 0 muss folglich die Klammer verschwinden. Die Differentialgleichung V (r) = V(r) r hat die Lösung V(r) = c r mit c R. Seite von 7

3 Theoretische Physik I: Mechanik WS 007/008. Streuquerschnitt. Ein Teilchen bewegt sich im Potential V(r) = C 3. (a) Finden Sie das Maximum des effektiven Potentials bei gegebenem Drehimpuls L. (b) Das Teilchen starte bei r = mit der Geschwindigkeit v 0 und dem Stoßparameter b. Für welchen Wert b max wird das Teilchen gerade noch eingefangen? Berechnen Sie daraus den Steuquerschnitt πb max des Potentials. ( Pkt.) (insgesamt 3 Pkt.) (a) Das effektive Potential lautet hier V eff = L mr C 3. Die Position des Maximums erhalten wir, indem wir die Nullstelle der Ableitung finden 0 = dv eff dr = L m + C r 4. Als einzige Nullstelle erhalten wir r 0 = mc L. An dieser Stelle hat das effektive Potential den Wert Ṽ eff = V eff (r 0 ) = L6 6m 3 C. (b) Schauen wir uns zunächst den Verlauf des effektiven Potentials in einer Skizze an. V eff Ṽ eff E E r Abbildung : Qualitativer Verlauf des effektiven Potentials Wenn die Energie des Teilchens kleiner als Ṽ eff ist (z.b. E ), dann nähert es sich nur bis zu einem minimalen Radius an, und verschwindet wieder ins Unendliche. Für Energien, die größer als das Maximum sind (z.b E ), wird das Teilchen in das Zentrum stürzen und nicht wieder freigegeben. Für einen Streuprozess sind die beiden Parameter die Geschwindigkeit im Unendlichen v und der Stoßparameter b. Mit diesen beiden Größen lauten Energie und Drehimpuls E = m v bzw. L = mv b. Seite 3 von 7

4 Theoretische Physik I: Mechanik WS 007/008 Damit finden wir als Bedingung für den Einfang des Teilchen E > Ṽ eff m v > (mv b) 6 6m 3 C ( ) 3C 6 > b bmax. m v 4 Damit lautet der Wirkungsquerschnitt für das Einfangen des Teilchens ( ) 3C σ = πb 3 max = π m v 4 Es erscheint sinnvoll, dass er mit C wächst und mit steigendem v kleiner wird. P h s h h (c) 3. Peitschenknall. Ein Seil der Länge l wird wie in Skizze senkrecht in die Luft geworfen. Das Seil sei voll beweglich, so dass der Knick über das Seil laufen kann. (a) Verwenden Sie h und h als generalisierte Koordinaten und stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf. (b) Substituieren Sie h h = x und stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Wanderung der Knickstelle, also x auf. Zeigen Sie, dass ẋ gegen Unendlich geht, wenn der Knick das Seilende erreicht. Berechnen Sie die Zugspannung ( Pkt.) Z = s(ḧ + g) in einem beliebigen Punkt P. Dabei ist die Masse pro Längeneinheit. Was geschieht für x ±l? (insgesamt 4 Pkt.) (a) Für die Lagrange-Funktion finden wir zunächst L = T V = [ ] (h h )ḣ + (h h )ḣ g [(h h ) h + h Setzen wir die Bedingung l = (h h ) + (h h ) = l = h = l + h + h + (h h ) h + h ] in die Lagrange-Funktion ein und unterdrücken konstante Terme, erhalten wir L = [ l( ḣ 4 + ḣ ) + (h h )(ḣ ḣ )] g [ l(h + h ) + h h h 4 ] h. Seite 4 von 7

5 Theoretische Physik I: Mechanik WS 007/008 Damit ergeben sich die Bewegungsgleichungen (l h + h )ḧ (ḣ ḣ) = gl + g(h h ) (l + h h )ḧ (ḣ ḣ) = gl g(h h ). Durch Addition bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt sich l(ḧ + ḧ) (h h )(ḧ ḧ) (ḣ ḣ) = gl () l(ḧ ḧ) (h h )(ḧ + ḧ) (ḣ ḣ) = g(h h ) () (b) Mit der Substitution x = h h und der Eliminierung des ḧ + ḧ Termes, erhalten wir (l x )ẍ = xẋ. (3) Wir erkennen, dass die Differentialgleichung nicht von g abhängt und damit die Gravitation bei der Wanderung der Knickstelle keine Rolle spielt. Die Lösung ẋ 0 beschreibt ein starres Seil und soll uns an dieser Stelle nicht interessieren. O.B.d.A. nehmen wir ẋ > 0 an. Betrachten wir nun folgende Ableitung d dt ln ẋ = ẍ ẋ l x = d dt ln(l x ). () = xẋ Nach einmaliger Integration erhalten wir daraus ẋ = C l x. Wir sehen, dass für x ±l ẋ gilt. Dies ist die Ursache für den Peitschenknall, der ein Überschallknall ist. (c) Subtrahieren wir () von (), finden wir ḧ = ẋ (l + x) g = Z = s(ḧ + g) = sc (l + x)(l x ). Auch hier sehen wir eine Divergenz für x ±l, was eine unendliche Fadenspannung beschreibt. Dies erklärt die oft verheerende Wirkung von umschlagenden Seilen. Seite 5 von 7

6 Theoretische Physik I: Mechanik WS 007/ Symmetrien einer Atwood schen Maschine. (a) Stellen Sie die Lagrangefunktion des nebenstehenden Systems auf. Benutzen sie die Auslenkungen der beiden linken Massen aus der Anfangslage als generalisierte Koordinaten. (b) Finden Sie eine Koordinatentransformation der Form x = x (s, t), y = y (s, t) ( Pkt.) 5m mit x (0, t) = x(t), y (0, t) = y(t) 4m m unter der die Lagrangefunktion invariant ist. Dabei sei s ein kontinuierlicher Parameter. Berechnen Sie mit Hilfe des Noether-Theorems die zugehörige Erhaltungsgröße. (insgesamt 3 Pkt.) (a) Wir benutzen wie angegeben die Position der linken und der mittleren Masse als generalisierte Koordinaten. Zunächst müssen wir aber die Position der rechten Rolle x R ausdrücken. l oben = x + x R Dabei ist l oben die Länge des oberen Seils. Außerdem gilt: l unten = (x x R ) + (x 3 x R ). Daraus folgt: und x 3 = l unten + l oben x x ẋ 3 = ẋ ẋ. Damit ergit sich für die Energien: und T = m (5ẋ + 4ẋ + ( ẋ ẋ ) ) U = mg(5x + 4x + ( x x )). Wir lassen hier gleich die Konstanten aus x 3 in der potentiellen Energie weg, da diese keinen Einfluss auf die Physik haben. Daraus folgt für L: L = m (9ẋ + 4ẋ ẋ + 5ẋ ) + mg(x + x ) Seite 6 von 7

7 Theoretische Physik I: Mechanik WS 007/008 (b) Wir suchen nun eine Transformation der Koordinaten, die eine Funktion der ursprünglichen Koordinaten, der Zeit und einem kontinuierlichen Parameter sein darf und die Lagrangefunktion invariant lässt. Wir sehen, dass folgende Transformation dies erfüllt: x = x + s x = x s Mit Hilfe des Noethertheorems erhalten wir die zu dieser Symmetrie gehörende Erhaltungsgröße P. P = L ẋ dx ds + L ẋ dx ds = m(6ẋ ẋ ) Auf diesem Übungsblatt sind maximal 6 Punkte zu erreichen, Abgabe erfolgt am Seite 7 von 7