Klassische Theoretische Physik I WS 2013/ Wegintegrale ( = 50 Punkte)

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1 Karlsruher Institut für Technologie Klassische Theoretische Physik I WS 213/214 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 2 Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung Wegintegrale = 5 Punkte) a) Eine Parametrisierung des direkten Weges vom Punkt r =,, ) zum Punkt r 1 = a, b, c) mit a, b, c R lautet rt) = r + tr 1 r ) = tae x + tbe y + tce z = ta, b, c) 1) mit t [, 1]. Mit ṙt) = r 1 lautet die Bogenlänge s = dt drt) dt = r 1 = a 2 + b 2 + c 2. 2) b) Eine geeignete Parametrisierung des Halbkreises um den Ursprung mit Radius R lautet rt) = R cosπt), sinπt) ) 3) mit t [, 1]. Wir finden ṙt) = πr sinπt), cosπt) ) und daher lautet die Bogenlänge s = dt ṙt) = dtπr sin 2 πt) + cos 2 πt) = πr. 4) c) Für den Weg i) vom Punkt r =, ) zum Punkt r 1 = 1, 1) entlang der Kurve yx) = x 2 wählen wir die Parametrisierung r 1 t) = te x + t 2 e y. 5) mit t [, 1]. Da ṙ 1 t) = e x + 2te y lautet das Wegintegral über das Vektorfeld F x, y) = 2xy 2 e x + x 2 e y I i) C r = dr F = dt ṙ,r 1 t) F [xt), yt)] = dt 2t 5 + 2t 3) = 5 1 C r,r ) Für den Weg ii) wählen wir die Parametrisierung r 2 t) = te x + te y 7) mit t [, 1]. Da ṙt) = e x + e y finden wir für das Wegintegral nun I ii) C r = dr F = dt ṙ,r 2 t) F [xt), yt)] = dt 2t 3 + t 2) = 5 1 C r,r ) Beachte allerdings, dass das Wegintegral von r nach r 1 über das Vektorfeld F x, y) nicht unabhängig vom Weg ist. Entlang des Weges iii) yx) = x zum Beispiel finden wir I iii) C r,r 1 = C r,r 1 dr F = dt ṙ 3 t) F [xt), yt)] = dt 4t 5 + t 4) = )

2 d) Eine geeignete Parametrisierung eines Kreises mit Radius R = 1 um den Ursprung lautet rt) = cost)e x + sint)e y 1) mit t [, 2π]. Wir finden damit ṙt) = sint)e x +cost)e y und für das Wegintegral über F 2π I C = dr F = dt [ 2 cost) sin 3 t) + cos 3 t) ]. 11) C Mit dem Symbol C dr bezeichnet man Wegintegrale entlang geschlossener Wege für die Anfangs- und Endpunkt identisch sind. Um das erste der beiden Integrale zu lösen, substituieren wir y = sint) und erhalten damit 2π dt cost) sin 3 t) = sin4 t) 4 2π =. 12) Man kann auch zeigen, dass dieses Integral verschwindet indem man durch die Substitution t = t π das Integrationsintervall zu [ π, π] verschiebt. Der Integrand ist unverändert da cost + π) = cost ) und sin 3 t + π) = sint ). Das Integral verschwindet nun, da der Integrand ft ) = cost ) sin 3 t ) ungerade ist, d.h. f t ) = ft ). Das zweite Integral kann man integrieren, indem man benutzt dass cos 2 t) = 1 sin 2 t) und erneut substituiert y = sint). Damit findet man 2π dt cos 3 t) = sint) 2π 1 3 sin3 t) 2π =. 13) Insgesamt finden wir für das Wegintegral in Gl. 11) also I C = dr F =. 14) C Beachten Sie dass selbst für wegabhängige Vektorfelder wie hier das Vektorfeld F x, y) das Integral entlang bestimmter geschlossener Wege verschwinden kann. Offensichtlich ist das nicht der Fall für alle geschlossenen Wege, zum Beispiel für einen Weg vom Ursprung zum Punkt r 1 und zurück wobei der Hinweg entlang des Pfades i) und der Rückweg entlang des Pfades iii) erfolge. 2. Polarkoordinaten = 4 Punkte) a) Da r = x, y) lauten die Basisvektoren des Polarkoordinatensystems aufgrund der Transformationsregeln x = r cos ϕ, y = r sin ϕ sowie e r = r r = cosϕ)e x + sinϕ)e y 15) e ϕ = e r ϕ = sinϕ)e x + cosϕ)e y. 16)

3 b) Der Ortsvektor rt) lautet in der Polarkoordinatenbasis rt) = rt)e r, 17) wobei rt) = rt) den Abstand der Bahnkurve zum Ursprung bezeichnet Länge des Ortsvektors). c) Für die Geschwindigkeit findet man ṙt) = ṙe r + r de r dt = ṙe r + e r ϕ ϕ = ṙe r + r ϕe ϕ, 18) wobei wir verwendet haben dass er er r = und ϕ = e ϕ. d) Für die Beschleunigung erhalten wir rt) = re r + ṙ de r dt + ṙ ϕe ϕ + r ϕe ϕ + r ϕ de ϕ dt 19) = re r + 2ṙ ϕe ϕ + r ϕe ϕ + r ϕ 2 e r ) 2) = r r ϕ 2 )e r + 2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ. 21) 3. Bahnkurven = 4 Punkte) Mögliche Beispiele für Bahnkurven für die gilt: a) d r r) = r ṙ = 22) dt beschreibt eine Bahnkurve mit konstantem Radius, z.b. eine Kreisbewegung b) r ṙ =, siehe a). c) d) rt) = R[cosωt)e x + sinωt)e y ]. 23) r ṙ = 24) beschreibt eine Bahnkurve für die die Geschwindigkeit ṙ anti-)parallel zu rt) steht. Dies ist der Fall zum Beispiel bei einer linearen Bewegung wie rt) = te x. 25) d r ṙ) = ṙ ṙ + r r = r r =. 26) dt beschreibt eine Bahnkurve für die die Beschleunigung anti-)parallel zu r steht. Dies ist der Fall zum Beispiel bei einer linearen Bewegung Dies ist auch der Fall bei einer Kreisbewegung rt) = t 2 e x. 27) rt) = R[cosωt)e x + sinωt)e y ] 28)

4 da hier gilt dass rt) = ω 2 rt). 29) Die Zentripetalbeschleunigung rt) zeigt zum Mittelpunkt der Kreisbewegung Ursprung) und hält das Teilchen auf der Kreisbahn. Ganz allgemein gilt r r = für die sogenannten Keplerbahnen einer Masse in einem Zentralkraftpotential, d.h. elliptische Bahnen, Kreisbahnen, Hyperbelbahnen und Parabelbahnen. e) r r =, siehe d). 4. Dimensionale Analyse = 3 Punkte) Wir bezeichnen die Dimension einer physikalischen Größe mit: Masse m, [m] = [M], Länge x, [x] = [L], Geschwindigkeit v, [v] = [L]/[T ], Winkelgeschwindigkeit ω, [ω] = 1/[T ]. a) Die Dimension einer Beschleunigung a lautet [a] = [L]/[T ] 2. In unserem Fall stellen wir also die Gleichung auf [L] [T ] 2 = [L]x [T ] x [M]y [L] z. 3) Daraus folgt offensichtlich y = keine Abhängigkeit von der Masse), sowie x = 2. Dann folgt aus x+z = 1 dass z = 1. Die Zentripetalbeschleunigung eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r lautet also a = C v2 r. 31) Hier bezeichnet C eine dimensionslose Konstante, die man nicht aus den Betrachtungen der Dimensionsanalyse bestimmen kann. b) Die Dimension einer Beschleunigung lautet [a] = [L]/[T ] 2. Mit den gegebenen physikalischen Größen wählen wir den Ansatz Betrachten wir die Dimension, so erhalten wir a = Cω x v y r z. 32) [L] [T ] 2 = 1 [L] y [T ] x [T ] y [L]z 33) und somit die Gleichungen y + z = 1 und x + y = 2. Für die Beschleunigung a 1, die am Ursprung verschwindet erhält man z >. Daraus folgt y = 1 z und x = 1 + z. Somit erhalten wir eine z-abhängige Lösung: a 1 = C 1 ω 1+z v 1 z r z. Fordern wir noch zusätzlich dass die Beschleunigung nicht verschwindet für v =, so erhalten wir eine eindeutige Lösung der Form, z = 1, x = 2, y =, die Zentrifugal-) Beschleunigung a 1 = C 1 ω 2 r 34) Verwenden wir noch dass der Beschleunigungsvektor a 1 in der Ebene des Karusells liegen wird und dass ω entlang der Rotationsachse zeigt, so erhalten wir das Gesetz a 1 = C 1 ω r ω. 35)

5 Für die Beschleunigung a 2, die nicht am Ursprung verschwindet und dort auch nicht divergiert) erhalten wir sofort eine eindeutige Lösung mit z =, y = 1 und x = 1, die Coriolis-) Beschleunigung a 2 = C 2 ωv. 36) Verwenden wir auch hier dass der Beschleunigungsvektor a 2 in der Ebene des Karusells liegen wird, so erhalten wir das Gesetz a 2 = C 2 v ω. 37)

6 5. Gaußintegrale = 4 Punkte) a) Um das Integral I = dx dye x2 y 2 38) zu berechnen machen wir zuerst eine Substitution zu Polarkoordinaten x = r cos ϕ und y = r sin ϕ. Die Funktionaldeterminante im englischen als Jacobian bezeichnet), die bei der Transformation auftritt, lautet x, y) r, ϕ) = x y r ϕ x y ϕ r = r. 39) Das Integral nimmt die Form I = 2π dr dϕ re r2 4) an. Wir können die Integration über den Winkel ϕ einfach ausführen, da der Integrand nicht von ϕ abhängt. Für die Integration über r verwenden wir, dass man den Integranden als Ableitung schreiben kann I = 2π b) Da I = I = π. dr re r2 = 2π dr 1 d 2) dr e r2) = π [e r2] = π. 41) c) Für λ divergiert das Integral. Für λ > erhält man mit der Substitution y = λx direkt I λ) = dx e λx2 = dy 1 π e y2 = λ λ. 42) d) Wir sehen sofort dass I 1 = dxxe x2 = 43) da der Integrand eine ungerade Funktion ist, d.h. fx) = xe x2 erfüllt f x) = fx). Das Integral über ganz R verschwindet daher. Zur Berechnung von I 2 verwenden wir, dass wir einen Faktor x 2 im Integranden erzeugen können, indem wir I λ) nach λ ableiten I 2 = dxx 2 e x2 = dx d ) e λx2. 44) dλ λ=1 Nehmen wir an, dass wir Ableitung nach λ und Integration über x vertauschen können das setzt die absolute Konvergenz des Integrals voraus), so erhalten wir I 2 = d ) dxe λx2 = dλ λ=1 d ) π dλ λ = λ=1 π 2. 45)