Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen

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1 N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen Verständnisfragen: 1. Was versteht man unter einer parametrisierten ebenen Kurve? Eine parametrisierte ebene Kurve ist eine auf dem offenen Intervall ]t 0 ; t 1 [ differenzierbare Abbildung α : [t 0 ; t 1 ] R, mit αt) = xt); yt)) T.. Welche Darstellungsformen für ebene Kurven werden unterschieden? Man unterscheidet bei der Darstellungsform von ebenen Kurven zwischen der Parameterdarstellung und der Darstellung in Polarkoordinaten.. Was versteht man unter dem Tangentenvektor einer parametrisierten ebenen Kurve α : I R R im Punkt t 0 I? Der Tangentenvektor ist gegeben durch ) d d dt αt) = dt xt) ; d T dt yt). Wie ist die Spur einer ebenen Kurve α : I R R definiert? trα) = { p R p = αt) t [t0 ; t 1 ] } 5. Wie berechnet man die Steigung einer Ebenen Kurve α : I R R im Punkt t 0 I? m t=t0 = y t 0 ) = ẏt) ẋt) t=t0 6. Wie berechnet man die Fläche unter einer ebenen parametrisierten Kurve? A = t t 1 y ẋ dt 7. Wie lautet die Leibnizsche Sektorformel zur Berechnung der Sektorfläche einer ebenen parametrisierten Kurve c : [a; b] R? A = 1 t t 1 y ẋ x ẏ dt 8. Wie lautet das Integral zur Berechnung der Sektorfläche einer ebenen parametrisierten Kurve c : [a; b] R in Polarkoordinaten? A = 1 φ φ 1 rφ)) dφ 9. Wie lautet das Integral zur Berechnung der Bogenlänge einer ebenen parametrisierten Kurve c : [a; b] R? S = t t 1 ẋ + ẏ dt mit c = xt); yt)) 1

2 10. Wie lautet das Integral zur Berechnung der Bogenlänge einer Funktion f : D R R in Parameterund Polarkoordinatendarstellung? S = b a 1 + f x)) dt mit c = x; fx)) und S = φ φ 1 rφ)) + ṙφ)) dφ mit c = rφ) cosφ); rφ) sinφ) = fφ)) 11. Wie ist die Krümmung einer Kurve α : I R R in Parameterdarstellung im Punkt t 0 I definiert? κ := ẋÿ ẏẍ ẋ + ẏ ) 1.5

3 Aufgaben: 1. Erstellen Sie eine geeignete Wertetabelle und zeichnen Sie jeweils die Spur zu folgenden ebenen Kurven: a) ct) = t + 1) t 1) t xt) = t + 1) yt) = t 1) y x b) c 1 ϕ) = cos ϕ) sin ϕ) ϕ π π π 0 π xϕ) = cos ϕ) 1 0 yϕ) = sin ϕ) 0 1 8x,y< π π

4 c) c t) = 6 t 1 + t t xt) = t t 1+t 0 1, 0, 6 0, 7 0, 0, 17 yt) = 6t 1+t 0, 67 1, 9 1, 8 1, 19 1, 00 y x Gegeben ist die Parameterdarstellung einer Astroide : x = 5r cost) + r cos5t), y = 5r sint) r sin5t), mit t [0; π[. a) Skizzieren Sie die Astroide mit r = 1 innerhalb eines Kreises mit dem Radius R = 6r, Mittelpunkt 0; 0). y x b) Berechnen Sie den Umfang der Kurve also ihre Länge von t = 0 bis t = π). Anleitung: Die Astroide verbindet Punkte auf dem Kreis mit R = 6r durch einen Kreisbogen. Berechnen Sie die Länge eines Bogens von A nach B. Die Gesamtlänge ist dann ein geeignetes Vielfaches dieses Wertes. Verwenden Sie an geeigneter Stelle das Additionstheroem des Cosinus. Benutzen Sie an geeigneter Stelle ebenfalls die Beziehung sin α) = 1 1 cosα)).

5 αt) = 5r cost) + r cos5t) ; 5r sint) r sin5t)) αt) = 5r sint) 5r sin5t) ; 5r cost) 5r cos5t)) αt) = 5r 1 cos6t) U = 6 π 0 = 60r U = 0r π 0 αt) dt sint) dt c) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Inneren der Astroide. Anleitung Berechnen Sie die Fläche des Sektors M AB. Die Gesamtfläche is dann ein geeignetes Vielfaches dieses Wertes. Verwenden Sie an geeigneter Stelle das Additionstheorem des Cosinus.. Gegeben ist die ebene Kurve F = 0 r π c : xt) = t t, yt) = t, 1 t 1. a) Berechnen Sie die Stelle t h, für welche die Kurve eine horizontale Tangente besitzt. Berechnen Sie auch die Koordinaten des zugehörigen Punkts H = x h ; y h ). t h = 0 mit H = 0; 0) b) Berechnen Sie die Stellen t v1 und t v, für die die Kurve eine vertikale Tangente hat. Berechnen Sie auch die zugehörigen Punkte V 1 = x v1 ; y v1 ) und V = x v ; y v ). t v1 =, t ) v = V 1 = 9 ; 1 ) ; V = 9 ; 1 c) Berechnen Sie die Neigung der Tangenten zu den t-werten t A = 1 mit dem zugehörigen Punkt A = x A ; y A )) und t E = 1 mit dem zugehörigen Punkt E = x E ; y E )).. Sei α : [0, π] R gegeben durch Die Spur von α heißt Traktrix. t A = 1 ; α ta = 5 ; A = 0; 1) t E = 1 ; α ta = 5 ; E = ; 1) αt) = [ )]) t sint); cost) + ln tan. a) Zeigen Sie, dass α eine differenzierbare parametrisierte Kurve ist und dass α zusätzlich noch regulär d.h. α t) 0 t I) ist, außer in t = π/. α t) = cost) ; cos t) sint) ) α regulär, bis auf t = π 5

6 b) Zeigen Sie, dass die Länge des Segments der Tangente der Traktrix zwischen ihrem Berührpunkt und der y-achse konstant 1 ist. i. Tangente: x = αt) + λ α t) ii. Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse: xt) = 0 iii. λ = tant) iv. v. x = c) Erstellen Sie eine Zeichnung der Traktrix. y 0 ; ln tan )) ) t d xt) ; αt) ) = x Die Lemniskate ist ein Spezialfall der Cassinischen Kurven. Die Cassinischen Kurven sind gleich der Menge aller Punkte P R, deren Abstände von den beiden Punkten C + c/0) und C c/0) im Produkt gleich dem Wert a ist, mit c, a R +. a) Zeigen Sie, dass aus der Bedingungsgleichung P C + P C = a die parameterfreie Form der Cassinischen Kurvengleichung wie folgt abgeleitet werden kann: x + y ) c x y ) = a c. P = P x/y) P C + = c x) + y P C = c + x) + y a = c x) + y c + x) + y a = c x) + y ) c + x) + y ) a c = x + y ) c x y ) b) Die Lemniskate entsteht aus den Cassinischen Kurven durch a = c. Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung der Lemniskate und den zugehörigen Definitionsbereich. Lemniskate: a x y ) = x + y ) r = x + y x = r cosφ) y = r sinφ) rφ) = a cosφ) [ φ D = π ; π ] [ π ; 5π 6 ]

7 c) Skizzieren Sie die Lemniskate für a =. d) Ermitteln Sie die Koordianten aller Punkte horizontaler und vertikaler Tangenten an die Lemniskate in Abhängigkeit von a. y = cosφ)) ) cosφ) cosφ)) 1) sinφ) Horizontale Tangenten: a ) ; a, ) a ; a, ) a ; a, a ) ; a Vertikale Tangenten: a ; 0), a ; 0) e) Für Ausdauernde) Welche Krümmung besitzt die Lemniskate in den Punkten horizontaler Tangenten setzen Sie a = )? Bestimmen Sie hierzu auch die Koordinaten des jeweiligen Krümmungskreismittelpunktes und dessen Radius. xφ) = a cosφ) cosφ) yφ) = a cosφ) sinφ) a ẋφ) = sinφ) sin φ) ) cosφ) ẏφ) = a cosφ) cos φ) ) cosφ) Mit ẋ = 0 und ẏ = 0 findet man die vier φ-werte der Punkte horizontaler Tangente: φ 1 = π 6, φ = π 6, φ = 5π 6, φ = 7π 6 7

8 Bestimmung der Krümmung: rφ) = a cosφ) ṙφ) = a sinφ) cosφ) Krümmungswerte: rφ) = a ) cos φ) + 1 cosφ)) 1,5 κφ; a) = cosφ) a κ π ) π ) ) ) 5π 7π 6 ; = κ 6 ; = κ 6 ; = κ 6 ; = Radius der Krümmungskreise: r = Bestimmung der Krümmungskreismittelpunkte: M x φ; a) = a cosφ) cos φ) M y φ; a) = a cosφ) sin φ) ) 1 φ 1, a = : M ; ) 1 φ, a = : M ; φ, a = : M ; 1 ) φ, a = : M ; 1 ) f) Welche Fläche umschließt die Lemniskate für a =? A = π 1 ) ) cosφ) dφ = 8 π 8