Übungen zu Kurvenintegralen Lösungen zu Übung 12

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1 Übungen zu Kurvenintegralen Lösungen zu Übung. Sei der obere Halbreis mit dem Radius r um (, ), und sei f(x, y) : y. Berechnen Sie f(x, y) ds. Das ist jetzt eine leine Aufgabe zum Aufwärmen. Guter Tric: Immer, wenn es um Kreise oder so geht, denen wir an Polaroordinaten. So auch hier: x r cos t, y r sin t Nach Definition 6. ist dann ds : (ϕ (t), ψ (t)) dt ϕ (t), ψ (t) dt ( r sin t) + (r cos t) dt r wegen der beannten Formel sin t + cos t. Damit folgt π f(x, y) ds r sin t r dt π r sin t dt r ( cos) t π r [ cos π ( cos )] r ( + ) r. Berechnen Sie das Kurvenintegral wenn der Bogen der Kurve y e x ds, x ϕ(t) : ln( + t ), y ψ(t) : arctan t t + 3

2 zwischen t und t ist. Hier ist wegen (arctan x) +x Damit erhalten wir ϕ (t) + ψ (t) ϕ (t) + t t, ψ (t) + t. 4t ( + t ) + ( ) + t 4t ( + t ) + ( t ) + t + t 4t + t + t 4 + t t 4 + t + + t (t + ) Damit folgt y e x ds arctan t t + 3 dt e ln(+t ) arctan t t + 3 dt + t arctan t t dt + t + t dt t dt arctan t (arctan t) dt ln( + t ) + 3 arctan t }{{} ( π 4 ( ) arctan t ) ln + 3π 4 ln + 3 π 4 Dabei haben wir in der vierten Umformung folgenden Tric benutzt, den man sich vielleicht meren ann: π/4 f(t) f (t) (f (t)), also f(t) f (t) dt (f (t)) dt (f (t)).

3 .3 Berechnen Sie das Kurvenintegral wenn die Ellipse ist mit der Gleichung a y + b x ds, b a x a + y b. Wie wir oben schon gesagt haben, denen wir bei Kreisen und Ellisen sofort an die Parameterdarstellung Dann erhalten wir mit x ϕ(t) a cos t, y ψ(t) b sin t, t π. ϕ (t) a sin t, ψ (t) b cos t als salares Bogenelement ds ϕ (t), ψ (t) ϕ (t) + ψ (t) dt ( a) sin t + b cos t Wegen a y + b x a b sin t + b a cos t a b a b a sin t + b cos t erhalten wir insgesamt: a y b + b x a ds π π a a sin t + b cos t a sin t + b cos t dt (a sin t + b cos ) dt π π sin t dt + b cos dt [ ] π [ ] π x a sin x x + b sin x [ ] [ ] π π a + b + π (a + b ) 3

4 .4 Berechnen Sie den Umfang U des Kreises um (, ) mit dem Radius r >, indem Sie das Kurvenintegral 4 ds betrachten, wenn der Viertelreisbogen mit Radius r > ist. Wegen x + y r ist Dann ist y r x, x r. Damit folgt y (x) x r x x r x y (x) x r x. U 4 ds r 4 + x r x dx r r x 4 + x dx r x r r 4 r x dx r 4 r r x dx 4 r arcsin x r r 4 r (arcsin arcsin ) ( π ) 4 r π r, wie wir es in der Schule gelernt haben. Übrigens war in meiner Studienzeit eine beliebte Fangfrage: Wir groß sind der Flächeninhalt und der Umfang eines Kreises mit Radius r: Richtig: F π r, U π r. Jetzt aber: Wir groß sind der Flächeninhalt und der Umfang einer Ellipse mit den beiden Halbachsen a und b? 4

5 Folgende Antwort liegt nahe: F π(a + b ), ( ) a + b U π mit dem Gedanen im Hinteropf: Der Umfang wird doch sicher analog zum Umfang eines Kreises auszurechnen sein, also z.b. mit dem Mittelwert aus den beiden Halbachsen; denn der Flächeninhalt ist ja auch ganz analog zum Kreis. Aber Achtung: Der angegebene Flächeninhalt der Ellipse ist orret, der Umfang aber falsch. Den Umfang einer Ellipse ann man nicht mit einer gewöhnlichen Formel angeben. Es entsteht ein Integral, das nicht elementar auswertbar ist. Wir ennen nur Näherungsformeln für den Ellipsenumfang. 5

6 Lösungen zu Übung 3 3. Gegeben sei das folgende Vetorfeld v( x) : (x y, x, x z). Berechnen Sie das Kurvenintegral v( x) d x vom Nullpunt zum Punt (,, 4), wobei (a) (b) die gerade Verbindung beider Punte ist, die Kurve gegeben durch die folgende Parametrisierung ist: x t, y t 3, z 4t. (c) Vergleichen Sie das Ergebnis von (a) und (b), und begründen Sie es. Zu (a): Wir halten uns an die Festlegung in Def. 6.4, die wir allerdings noc um eine dritte Komponente erweitern. Wir wählen die einfache Parametrisierung: x ϕ(t) t, y ψ(t) t, z χ(t) 4t Dann folgt ϕ (t), ψ (t), χ (t) 4 und wir önnen das Integral leicht ausrechnen: Zu (b): v( x) d x (t t, t, t 4t) (,, 4) dt (t + t t) dt ( 4 3 t3 ) t Hier ist uns die Parametrisierung vorgegeben. Wir erhalten wegen (4t t) dt x ϕ(t) t, y ψ(t) t 3, z χ(t) 4t natürlich wieder (ϕ(), ψ(), χ()) (,, ) und (ϕ(), ψ(), χ()) (,, 4), womit die Parametrisierung sinnvoll ist. 6

7 Dann folgt ϕ (t) t, ψ (t) 6t, χ (t) 4. Damit önnen wir wieder das Integral leicht berechnen: Zu (c): v( x) d x (t t 3, t 4, t 4t) d x (t 5, t 4, t 4t) (t.6t, 4) dt (4t 6 + 6t 6 + 4t 6t) dt (t 6 + 4t 6t) dt [ 7 t t3 6 ] t Hoppla, das ist vom Ergebnis in (a) aber recht verschieden. Offensichtlic hängt der Wert dieses Integral vom Weg ab. Wir stellen also fest: Dieses Integral ist nicht wegunabhängig. Die genaue Begründung für dieses Fehlverhalten lernen wir dann mit dem Kurvenhauptsatz im nächsten Abschnitt ennen. 3. Berechnen Sie das Integral [ ] y x + y dx + x x + y dy, wobei eine Kurve im Kreis K : (x ) + y ist, die den Punt (, ) mit einem beliebigen Punt (x, y) in K verbindet. Wir haben es hier mit einem zweidimensionalen Vetorfeld zu tun. Also önnen wir eine einfache Sizze malen. y (x, y) y Wir gehen vom Punt (, ) zu einem beliebigen Punt (x, y). Dazu wählen wir den eingezeichneten Weg, gehen also zuerst entlang der x-achse von (, ) nach (x, ). Dann biegen wir senrecht ab und gehen vom Punt x x (x, ) zum Punt (x, y). 7

8 Wir betonen, das der gewählte Weg reine Willür ist. Er wird aber unser Integral recht einfach berechenen lassen. Also machen wir uns auf den Weg. f(x, y) d x x x + f (x, ) dx + x + dx + y + x y x y y f (x, y) dy x x + y dy x ( x + + ( ) ) y dy x y + z dz y x arctan z arctan y x + ( ) y dy setze: y x : z y x z x Machen Sie sich doch selbst das Vergnügen und wählen Sie bei dieser einfachen Aufgabe beliebige andere Wege. Das übt einmal ganz schön und außerdem werden Sie erennen, dass im Gegensatz zur vorigen Aufgabe immer dasselbe Ergebnis herausommt. Im nächsten Abschnitt werden wir beim Kurvenhauptsatz den Grund dafür ennenlernen. 3.3 Gegeben sei das Vetorfeld f(x, y, z) : (x + y z, y + x z, z + x y). Berechnen Sie das Kurvenintegral wenn f(x, y, z) d x, (a) (b) (c) Zu (a): die Strece von (,, ) nach (,, ) ist, die Kurve mit der Parametrisierung x t, y t, z t 3 mit t ist, die drei Strecen von (,, ) nach (,, ), dann von (,, ) nach (,, ) und abschließend von (,, ) nach (,, ) durchläuft. Wir wählen die Parameterdarstellung x ϕ(t) t, y ψ(t) t, z χ(t) t, t 8

9 und erhalten: f(x, y, z) d x [ 3t f(ϕ(t), ψ(t), χ(t)) (ϕ (t), ψ (t), χ (t)) dt (t + t, t + t, t + t ) (,, ) dt [(t + t ) + (t + t ) + (t + t )] dt (3t + 3t ) dt + 3t ] Zu (b): Wir wählen die Parameterdarstellung lt. Aufgabenstellung und erhalten diesmal: x ϕ(t) t, y ψ(t) t, z χ(t) t 3, t f(x, y, z) d x [ t f(ϕ(t), ψ(t), χ(t)) (ϕ (t), ψ (t), χ (t)) dt (t + t t 3, t + t t 3, t + t t 3 ) (, t, 3t ) dt [t + t 5 + t 3 + t 5 + 3t 5 + 3t 5 ] dt (t + t 3 + 9t 5 ) dt + t t6 6 ] Das ist derselbe Wert wie oben. Zu (c): Hier zerlegen wir den Weg in drei Teilwege, und 3. 9

10 (α) Sei die Strece von (,, ) nach (,, ). Mit der Parametrisierung folgt x ϕ(t) t, y ψ(t), z χ(t) f(x, y, z) d x (t,, ) (,, ) dt t dt t (β) Das geht so munter weiter: Sei die Strece von (,, ) nach (,, ). Mit der Parametrisierung folgt x ϕ(t), y ψ(t) t, z χ(t) f(x, y, z) d x (, t, t) (,, ) dt t dt t (γ) Jetzt der letzte Schritt: Sei 3 die Strece von (,, ) nach (,, ). Mit der Parametrisierung folgt hier x ϕ(t), y ψ(t), z χ(t) t f(x, y, z) d x ( + t, + t, t + ) (,, ) dt ( ) t (+)t dt + t + 3 Aus (α), (β) und (γ) folgt daher f(x, y, z) d x Bei allen drei Wegen ergibt sich also das gleiche. Wir vermuten sehr star, dass hier das Integral nict vom Wege abhängt. Um dabei aber sicher zu sein, reichen eineswegs drei Beispiele. Aber im nächsten Abschnitt finden wir ein Kriterium.

11 4. Bestimmen Sie für das Vetorfeld Lösungen zu Übung 4 f(x, y, z) : (x y, x y z, 3 y z ) die Rotation rot f(x, y, z). Es ist f (x, y, z) : xy, f (x, y, z) : x yz, f 3 (x, y, z) : 3yz. Schauen wir jetzt einfach auf die Definition der Rotation in Formel (6.) und rechnen los: rot f(x, y, z) ( f3 y f z, f z f 3 x, f x f ) y ( 3z x y,, 4xyz xy) 4. Gegeben sei ein Salarfeld f(x, y, z), das partielle Ableitungen mindestens bis zur. Ordnung besitzt. Zeigen Sie, dass dann stets gilt rot (grad f(x, y, z)). Dies ist eine von vielen Formeln, die man in der Literatur für die Kombination der Differentialoperatoren grad, div und rot findet. Im dreidimensionalen Raum lautet der Gradient: ( f(x, y, z) grad f(x, y, z), x Dann ist mit obiger Formel für die Rotation rot (grad f(x, y, z)) f(x, y, z), y ) f(x, y, z). z ( f y z f z y, f z x f x z, f x y ) f y x Nach Satz 5. von Hermann Amandus Schwarz sind diese zweiten partiellen Ableitungen miteinander vertauschbar, so dass, wie wir sofort sehen, alle Komponenten verschwinden.

12 4.3 Betrachten Sie einen Torus D, also einen Autoreifen, dessen Mittelebene in der (x, y)- Ebene liegt und der sich um die z-achse herumwindet. Der Kreis x + y 4, z liege ganz im Innern des Torus. (Man erhält den Torus z.b. dadurch, dass der Kreis (x ) + z, y um die z-achse rotiert.) Gegeben sei in D das Vetorfeld v(x, y, z) : ( ) y x + y, x x + y, z. (a) Zeigen Sie, dass in D gilt: rot ( v(x, y, z)). (b) Berechnen Sie Zu (a): v(x, y, z) d x, wobei der geschlossenen Kreis x + y 4, z ist. Berechnen wir zunächst rot v : ( v3 rot v(x, y, z) y v z, v z v 3 x, v x v ) y ) (,, x + y x + x + y y (x + y ) Zu (b): (,, ) Zur Berechnung des Kurvenintegrals führen wir Polaroordinaten ein und beachten dabei, dass der zugrunde liegende Kreis den Radius hat: Damit folgt: x ϕ(t) cos t, y ψ(t) sin t, z χ(t), t π. (ϕ (t), ψ (t), χ (t)) ( sin t, cos t, ). Weil der Kreis in der (x, y)-ebene liegt, reduziert sich v zu: v ( ) ( y x + y, x x + y, sin t, cos t ),.

13 Dann folgt für das Integral: v(x, y, z) d x π π π π. ( sin t (sin t + cos t) dt dt, cos t ), ( sin t, cos t, ) dt 3

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