Klausur Mathematik III für Bauingenieure

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1 TU Dresden 9. Juli 5 Institut für Analysis Doz. Dr. N. Koksch Klausur Mathematik III für Bauingenieure Name: Vorname: Jahrgang: Matrikel-Nr.: Studiengang: Übungsgruppe: Aufgabe Ges. Punkte max Punkte ist Bewertet werden nur solche Lösungsschritte, die nachvollziehbar sind und sich auf dem zur jeweiligen Aufgabe gehörenden Antwortteil befinden. Die Aufgaben sind unabhängig voneinander lösbar. Sie können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Als Hilfsmittel ist nur ein (beidseitig) beschriebenes A4-Blatt zugelassen. Täuschungsversuche werden entsprechend Prüfungsordung mit der Note 5 bewertet..) Kurze Fragen kurze Antworten.a) [] Hier sollten Sie hier nur entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Tragen Sie dafür in jeweils ein w für wahr oder f für falsch ein. w Die Differenz zweier Lösungen eines linearen Differentialgleichungssystems ist Lösung des zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystems. w w Jede Fundamentalmatrix eines linearen Differentialgleichungssystems ist invertierbar. Es gibt stetige Vektorfunktionen, welche keine Stammfunktion haben. f Wenn die Integrabilitätsbedingung für ein glattes Vektorfeld in einem Ringgebiet gilt, dann sind dort die Kurvenintegrale wegunabhängig. f w Eine Oberfläche und ihr Rand sind kohärent orientiert, wenn sie beide positiv orientiert sind. Es gibt glatte Oberflächen ohne Ober- und Unterseite..b) [] Wir betrachten die Differentialoperatoren grad, div und rot. Berechnen Sie alle sinnvollen (einmaligen) Anwendungen dieser Operatoren auf f (x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = (x, xy, xyz). Antwort: Es gilt grad f (x,y,z) = (yz,xz,yx), div g(x,y,z) = + x + xy, rot g(x,y,z) = (xz, yz,y).

2 .) Lineare Differentialgleichung Mit einer Störfunktion g: R R betrachten wir die Differentialgleichung y (5) + 4y (4) + 4y + 4y + y = g(x). ().a) [] Zeigen Sie, daß y (x) = sinx eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist. Antwort: Charakteristische Gleichung ist λ 5 + 4λ 4 + 4λ + 4λ + λ =. Offensichtlich ist λ = i eine Lösung dieser Gleichung und damit ist y Lösung der homogenen Differentialgleichung..b) [4] Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen zur zugehörigen homogenen Gleichung. Antwort: Da λ = i Lösung der charakteristische Gleichung ist, ist auch λ = i Lösung. Offensichtlich ist λ = eine weitere Lösung. Mit Division durch λ(λ + ) verbleibt λ + 4λ + = mit den Lösungen λ 4,5 = ± i. Damit ist {y,y,y,y 4,y 5 } mit y (x) = sinx, y (x) = cosx, y (x) =, y 4 (x) = e x cosx, y 5 (x) = e x sinx ein Fundamentalssystem von Lösungen..c) [4] Begründen Sie Ihre Ansatzfunktionen zur Bestimmung einer partikulären Lösung y p von () im Fall von i) g(x) = x, ii) g(x) = e x, iii) g(x) = x e x sinx. Antwort: Unter Beachtung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms und ihrer Vielfachheit erhalten wir: i) y p (x) = A x + A x + A x, Polynom. Grades, Resonanz. Grades ii) iii) y p (x) = Ae x, keine Resonanz y p (x) = xe x ((A + A x)sinx + (B + B x)cosx), Polynom. Grades, Resonanz. Grades

3 . Lineares Differentialgleichungssysteme.a) [] Schreiben Sie y + y + z = cosx, z + z + y = sinx als ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Antwort: Sei w = y, w = y, w = z, w 4 = z. Dann haben wir w = w w = w w 4 + cosx w = w 4 w 4 = w w 4 + sinx..b) [5] Bestimmen Sie eine Fundamentalmatrix zu ẋ = Ax mit A = Antwort: Charakteristische Gleichung ist λ =. mit λ, = ± als Nullstellen. Wir wenden den Putzer-Algorithmus an: Wir erhalten P =, P = (A λ E)P =. Aus w = w, w () = folgt w (x) = e x. Wir haben w = w + e x, w () =. Wir finden w,h (x) = Ce x. Mit dem Ansatz w,p (x) = De x ergibt sich De x = De x + e x, also D =. Somit w (x) = Ce x + ex. w () = ergibt C = und damit w (x) = sinhx. Zusammengefaßt ergibt sich e xa = e x + sinh x.

4 4. Randwertaufgabe und inhomogene Gleichung 4.a) [] Bestimmen Sie alle Lösungen der Randwertaufgabe y + 4y = x, y() =, y( π 4 ) =. Antwort: Eigenwerte der charakteristischen Gleichung sind λ, = ±i. Mit dem Ansatz y p (x) = A+Bx finden wir A =, B = 4. Damit sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form y(x) = c sin(x) + c cos(x) + 4 x. Aus y() = folgt c =. Aus y( π 4 ) = folgt c = 6 π. Damit ist y(x) = π 6 sin(x) + cos(x) + 4 x die gesuchte Lösung. 4.b) [6] Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y + 4y = sinx, y( π 4 ) =, y ( π 4 ) = auf ], π [. cosx sinx Antwort: Y (x) = ist eine Fundamentalmatrix. Mit sinx cosx cosx sinx Y (t) = sinx cosx erhalten wir ( ( y(x) = e Y (x) Y ( π y( π 4 ) 4 ) y ( π 4 ) = ( cosx sinx e sinx cosx ) x ( + Y (t) π 4 sint ) )( x + π/4 )(( + ) ) dt x π/4 ( cost = ( cosx sinx sinx cosx ( x + π/4) cosx sinx + ln(sinx) ln(sinπ/) = sint = (x π 4 )cos(x) + sin(x) + 4 sin(x)ln(sin(x)). ( cost sint sint cost ) ) dt ) )( sint ) ) dt 4

5 5. Kurvenintegrale 5.a) [] Bestimmen Sie die Länge der Kurve C mit der Parameterdarstellung (x(t),y(t)) = ( t t +, 4 t/ ), t [,5]. Antwort: Die Länge der Kurve ist C ds = = ẋ (t) + ẏ (t)dt = t + t + dt = (t ) + (t ) dt = (t + )dt = = 6. t t + + 4t dt 5.b) [6] Berechnen Sie die beiden Kurvenintegrale I i = [x +Ci ( y)dx + (y x )dy], i =,. +C ist die Kurve von (,) geradlinig nach (,) und dann längs y = (x ) bis zum Punkt (,). Antwort: Mit P(x,y) = x ( y), Q(x,y) = (y x ) gilt P y(x,y) = x = Q x (x,y) für alle (x,y) R. Somit liegt Wegunabhängigkeit vor. Wegen der Wegunabhängigkeit können wir +C durch den direkten Weg von (,) nach (,) ersetzen und erhalten Direkt: I = (P(x,y) dx + Q(x,y) dy) = +C [t ( t) + (t t )] dt = + =. I = [x ( ) + ( x ) ] dx + [x ( (x ) ) + ((x ) x ) (x )] dx = 8 + [x x 4 + 4x 4x + ( x + x 4x + 4)(x )] dx = 8 + [x x 4 + 4x 4x x4 + x 8x + 8x + 4 x 4x + 6x 6] dx = 8 + [ 5 x4 + x 5x + 4x 6] dx = =. +C ist die Kurve längs des Randes des Dreiecks von (,) über (,) und (,) nach (,). Antwort: Mit der Wegunabhängigkeit folgt I =. Direkt: I = t dt + (t ) dt + [t ( t) + (t t )] dt = =. 5

6 6. Oberflächenintegrale Wir betrachten ein durch die Flächen F und F begrenztes Volumen K, wobei F = {(x,y,z): z = x + y, z }, F = {(x,y,z): x + y,z = }. 6.a) [] Bestimmen Sie den Flächeninhalt A (F ) von F. Antwort: Mit B = {(x,y): x + y } gilt und x ( x + y ) = x gilt x +y A (F ) = ds = x y + + d(x,y) F B x + y x + y = d(x,y) = π. B 6.b) [6] Berechnen Sie den Fluß Φ des Vektorfeldes f (x,y,z) = (y,x,z) durch F. Antwort:. Variante (Integralsatz von Gauß): Mit B aus a) und Φ + Φ = Φ mit Φ = f,n ds = div f dv = ( + + ) dv = vol(k) = K π z φ= z= r= K r drdzdφ = π K z dz = π und Φ = f,n ds = F B (y,x, ),(,,) d(x,y) = B db = π, erhalten wir Φ = 4 π.. Variante (Direkt): Mit der Parametrisierung ψ(φ,r) = (r cosφ,r sinφ,r) für (φ,r) D = [,π] [, ] erhalten wir Φ = f,n ds = F D [ f ψ, φ ψ, r ψ] d(r,φ). Es gilt r sinφ r sinφ cosφ [ f ψ, φ ψ, r ψ](r,φ) = r cosφ r cosφ sinφ r und somit = r sinφ cosφ r sin φ r cos φ = r ( sinφ cosφ) π Φ = r ( sinφ cosφ) drdφ = π (π sinφ cosφ dφ) = 4 π. φ= r= 6