Höhere Mathematik III. Variante A

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1 Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III SoSe 2017 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte, Bücher, Mobiltelefone, Smartphones, Laptops und insbesondere Taschenrechner sind nicht erlaubt! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.1-II.3) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.1-III.4) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W) oder falsch (F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und vollständig zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.) = = 3. Antwort Punkte Antwort Punkte (i) W W 0 (v) F - 0 (ii) W F 2 (vi) W - 0 (iii) F W 0 (vii) - F 0 (iv) F F 0 (viii) - W 0 Viel Erfolg! 1

2 Teil I Aufgabe I.1: a) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit x 4 y f(x, y) = 2 2, falls (x, y) (0, 0), x 4 + y 0, falls (x, y) = (0, 0). (5+(7+3) Pkt.) Geben Sie den Stetigkeitsbereich von f an. b) Gegeben sei die Funktion g : R 2 R mit x 4 y xy 4, falls (x, y) (0, 0), g(x, y) = x 2 + y 2 0, falls (x, y) = (0, 0). i) Berechnen Sie, soweit möglich, für alle (x, y) R 2 die partiellen Ableitungen von g. ii) Berechnen Sie die Richtungsableitung von g in Richtung e = (3, 2) an der Stelle (0, 0). Aufgabe I.2: Gegeben sei die Funktion (10 Pkt.) f : R R mit f(x) = 1 2x x Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass f genau einen Fixpunkt im Intervall [0, 1] hat. Aufgabe I.3: (14 Pkt.) Gegeben sei die Menge } { } E := {(x, y, z) T R 3 x 2 + y 2 + z2 4 1, z 0 \ (x, y, z) T R 3 x, y > 0. Weiter sei das Vektorfeld v : R 3 R 3 : x y 2 z + 2 y yz + x z xy 3 + x gegeben. Berechnen Sie den Fluss F, der durch die Oberfläche des Teilellipsoids E mit nach außen zeigender Oberflächennormalen läuft. Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Gauß. 2

3 Teil II Aufgabe II.1: Es sei die Funktion f : R 3 R : x y cos 2 x + sin 2 y + z 2 z (11+2 Pkt.) und die Menge } M := {(x, y, z) T R 3 x y2 9 + z2 4 < 1 gegeben. a) Bestimmen Sie alle lokalen Minima, lokalen Maxima und Sattelpunkte von f für die Menge M. b) Gibt es Punkte u, v M mit f(u) = inf f(w) und f(v) = sup f(w)? w M w M Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Punkte u bzw. v. Aufgabe II.2: a) Gegeben sei die Differentialgleichung (4+7+3 Pkt.) 12x 3 (y + x) 3 + e ( x 2) 2 sin 2 (x) + 12x 3 (y + x) 3 y = 0. Bestimmen Sie einen integrierenden Faktor für die angegebene Differentialgleichung oder geben Sie 1 an, wenn die Differentialgleichung bereits exakt ist. b) Berechnen Sie z(π), wobei z die Lösung des folgenden Anfangswertproblems ist: 3z = sin(x) mit z(0) = 2. z c) Für welches a R ist y(x) = 4x 3 2x 3 sin(x) eine Lösung der Differentialgleichung y = a x y 2x3 cos(x)? 3

4 Aufgabe II.3: (5+6 Pkt.) Gegeben sei ein orientiertes Flächenstück F, das die Voraussetzungen des Satzes von Stokes erfüllt. Der Normalenvektor von F besitzt in jedem Punkt (x, y, z) F eine positive dritte Komponente. Der Rand des Flächenstücks wird durch die beiden Kurven cos(πt) C 1 : γ 1 (t) = sin(πt), 0 t 1 t und 1 2t C 2 : γ 2 (t) = 0 t, 0 t 1 beschrieben. Weiter sei das Vektorfeld πy f(x, y, z) = πx π 2 z 2 gegeben. a) Berechnen Sie das orientierte Kurvenintegral C 1 f ds. b) Berechnen Sie das orientierte Oberflächenintegral rot(f) do. Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Stokes. F 4

5 Teil III Aufgabe III.1: Gegeben sei die Funktion f : R 2 \{0, 0} R durch (2+2 Pkt.) f(x, y) = x x+y. a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. D f (x, y) = ( y x x+y x x x+y) ist die Jacobimatrix von f. 2. D f (x, y) = ( x x+y ((x + y) ln x) (x + y) x x+y) ist die Jacobimatrix von f. 3. D f (x, y) = ( x x+y (ln x + x+y x ) xx+y ln x ) ist die Jacobimatrix von f. 4. D f (x, y) = ( x x+y (y ln x + x+y ) x xx+y (ln x) 2) ist die Jacobimatrix von f. b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. T 1,(1,2) (x, y) = 1 + 3(y 2) ist das Taylorpolynom ersten Grades von f bezüglich 2. T 1,(1,2) (x, y) = 1 + (x 1) ist das Taylorpolynom ersten Grades von f bezüglich 3. T 1,(1,2) (x, y) = 1 + (y 1) ist das Taylorpolynom ersten Grades von f bezüglich 4. T 1,(1,2) (x, y) = 1 + 3(x 1) ist das Taylorpolynom ersten Grades von f bezüglich Aufgabe III.2: Gegeben sei die Funktion F : R (0, ) R mit (6 Pkt.) F (x, y) = cos(x) sin(y) + x 3 y. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. Es existiert lokal eine Auflösung y = g(x) von F (x, y) = π3 π bei ( π, π) T Die Funktion F ist stetig partiell differenzierbar. 3. F erfüllt im Punkt ( π 2, π) T nicht die Voraussetzungen des Satzes über implizite Funktionen für eine lokale Auflösung nach y. 4. Es existiert lokal eine Auflösung y = g(x) von F (x, y) = π3 π bei ( π, π) T 8 2 mit g ( ) π ( 2 = 6 π π )

6 Aufgabe III.3: a) Es seien die Mengen (4+3 Pkt.) K 1 := {(x, y, z) T R 3 (x 5) 2 + y 2 + z 2 = 1}, K 2 := {(x, y, z) T R 3 x 2 + (y 5) 2 + z 2 < 4} und K 3 := {(x, y, z) T R 3 x 2 + y 2 + (z 5) 2 = 9} gegeben, welche die Menge K = K 1 K 2 K 3 R 3 bilden. Mit vol(d) : R 3 R : D D 1 d(x, y, z) bezeichnet man das Volumen einer Menge D R 3 im R 3. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. vol(k) = 1π 2. vol(k) = 4π 3. vol(k) = vol(k) = 36π 6. vol(k) = π 4. vol(k) = 12π 140 π 7. vol(k) = π 8. vol(k) = 48π 3 b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. Hat eine Menge A R n das Maß Null, dann hat sie auch Inhalt Null. 2. Hat eine Menge A R n Inhalt Null, dann hat sie auch Maß Null. 3. Eine Menge A R n hat Inhalt Null genau dann, wenn sie Maß Null hat. 4. Eine Menge A R n hat Inhalt Null genau dann, wenn sie eine Nullmenge ist. Aufgabe III.4: Gegeben sei die auf der Spitze stehende Pyramide (6 Pkt.) P := {(x, y, z) R 3 x, y [ z, z], z [0, 1]} mit gegebener Masse m(p ) und der Massendichte ρ P (x, y, z) = x 2 y 2 + z 2. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: ( ) 1 1. (x s, y s, z s ) =, 1, 1 ist der Schwerpunkt von P. 2m(P ) 2m(P ) 2m(P ) ( ) 2 2. (x s, y s, z s ) =, 2, 0 ist der Schwerpunkt von P. 7m(P ) 7m(P ) ( ) 1 3. (x s, y s, z s ) = 0, 0, ist der Schwerpunkt von P. 4m(P ) 4. (x s, y s, z s ) = (0, 0, 0) ist der Schwerpunkt von P. 5. ( 5 (x s, y s, z s ) = 5 )ist, 0 der Schwerpunkt von P. 7m(P ) 7m(P ) ( ) (x s, y s, z s ) = 0, 0, 18m(P ) ist der Schwerpunkt von P. 6