Lehrstuhl II für Mathematik. Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung. Höhere Mathematik I

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1 RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik I Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin: 5..8 Fachrichtung: Angestrebter Abschluss: Bachelor Diplom Sonstige: Matr.-Nr.: Name: Unterschrift: Nr Σ Punkte Vorkorrektur Gesamtpunktzahl: Note: Unterschrift: Mündliche Prüfung: Note: Unterschrift:

2 Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern. Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Multiple Choice Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studenten zur Klausur mitzubringen. Bewertung: Bitte nutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben die in der Klausur ausgeteilten Blätter! In den Multiple Choice Aufgaben werden nur die Antworten gewertet, die in den dafür vorgesehenen Kästchen stehen! Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen auf die Multiple Choice Blätter. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier, welches Sie bitte nicht abgeben. Eine nicht beantwortete Multiple Choice Aufgabe wird mit Null Punkten bewertet. Eine falsche Antwort wird mit Minuspunkten bewertet, die genaue Angabe der Minuspunkte finden Sie bei der jeweiligen Aufgabe im Aufgabentext. Beispiel: (M: -4 / P: 6) bedeutet, das es für diesen Aufgabenteil 6 Punkte gibt, bei einer falschen Antwort gibt es 4 Minuspunkte. Es gibt insgesamt für jede Aufgabe nicht weniger als Null Punkte. Viel Erfolg!

3 Aufgabe : ( Punkte) Beweisen Sie für alle n N die folgende Formel mit Hilfe der vollständigen Induktion: n k= (k k) = n (n + ).

4 Aufgabe : (5 Punkte) Bestimmen und skizzieren Sie die durch folgende Bedingungen festgelegte Menge M C: < Im( z ) < und Re(z) Im(z) 5. z

5 Bitte benutzen Sie zur Beantwortung der Multiple Choice Aufgaben die vorliegenden Blätter. Nur dort werden die Antworten gewertet! Beantworten Sie die folgenden Fragen zu reellen und komplexen Zahlen. Ist 4 eine rationale Zahl? Geben Sie das Argument der komplexen Zahl z = i + Ja / Nein (M: -/P: ) aus dem Bereich [ π, π] an. (M: /P: ) Berechnen Sie den Betrag von z = ( e i7π ) 6. (M: /P: ) Geben Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung an z = 8 + i 8. 4 Beantworten Sie die folgenden Fragen über Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen. Sei A = {a,a,a } eine( Basis ) des R. Ferner ( sei f ): R R eine( lineare ) Abbildung definiert durch f (a ) =, f (a ) = und f (a ) = 7 9. Dann gilt M(E, f,a) =? ( ) ( ) 7 9 a) oder b) oder c) 9 oder d) oder e) Keine der angegebenen Matrizen. 9 Sei A ( = {a ),a,a } eine ( Basis ) des R und B = {b,b } eine Basis des R mit b =, b =. Ferner sei f : R R eine lineare Abbildung definiert ( ) ( ) ( ) durch f (a ) =, f (a ) = und f (a ) =. Dann gilt M(B, f,a) =? ( ) a) oder b) oder c) oder ( ) d) oder e) Keine der angegebenen Matrizen. (M: /P: 4) (M: -/P: ) (M: -/P: 4)

6 5 6 {( ) ( )} Sei A =, eine Basis des R. Ferner sei die lineare Abbildung (( )) ( ) (( )) ( ) f : R R gegeben durch f = und f =. Dann gilt M(E, f,a) =? ( ) ( ) ( ) ( ) a) oder b) oder c) oder d) e) ( ) oder f) Keine der angegebenen Matrizen. Beantworten Sie die folgenden Fragen zu Basen und Dimension. Bilden die Polynome x + 6x,x + 5x + und x + eine Basis des Vektorraumes P der reellen Polynome vom Grad? Sind n Vektoren im R n a) immer linear unabhängig oder b) immer linear abhängig oder c) Das hängt von den Vektoren ab. Bilden die Vektoren,, eine Orthonormalbasis von R? Bestimmen Sie die Dimension des Raumes Z, der von den Vektoren 4 7, 5, 8 aufgespannt wird. 6 9 Beantworten Sie die folgenden Fragen zu linearen Gleichungssystemen. Welche Vektoren spannen für β R,β 6 den Lösungsraum von x 9 β 7 y z a), β 6 oder b) 4 β 4 8β d), oder e) 9 + 7β 8 β + 5β oder g) keiner der angegebenen Vektoren. = oder c) oder f) auf. β + 4 β 8 oder f) (M: -/P: 6) Ja / Nein (M: -/P: 4) (M: -/P: ) Ja / Nein (M: -/P: ) 4 (M: -/P: ) f) g) (M: -/P: 6)

7 Für welche Werte von α R hat das Gleichungssystem 4 4 α x y z = genau eine Lösung? a) für kein α oder b) für α 4 oder c) für α oder d) für α 8. (M: -/P: ) 7 Betrachten Sie das folgende Gleichungssystem mit Matrix A in HNF: 4 7 x =. Welcher der folgenden Vektoren ist eine spezielle Lösung des obigen Gleichungssystems? a) oder b) oder c) oder d) oder e) keiner der angegebenen Vektoren. (M: -/P: ) Stellen Sie aus den angegebenen Vektoren eine Basis des Kerns von A zusammen. a), b), c), d) 4, e) 7, f) 4, g). f) g) (M: -/P: 5) 8 Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben zu Eigenwerten und Eigenvektoren: Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix 4 4. (M: /P: 4)

8 Wählen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrix mit charakteristischem Polynom ( λ)(λ 4λ + 4) aus. Betrachten Sie die folgende Matrix A = (M: -/P: ) Berechnen Sie eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert λ = 5 der Matrix A.... (M: /P: ) Berechnen Sie eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert λ = der Matrix A. 9 Lösen Sie die folgenden Aufgaben. (M: /P: 4) Lösen Sie den folgenden Vektorkrimi: Gesucht sind alle Vektoren a R mit a = 4, (a, ) = π 4 und < a, >=. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge 4n + n + 7n + 5 7n + 8n falls möglich. + n + 6 (M: /P: 5) - divergent (M: -/P: ) ( ) n+ n. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge n Berechnen Sie den Grenzwert der rekursiv definierten Folge (a n ) n N mit a = 4 und a n+ = + a n. (Gehen Sie davon aus, dass der Grenzwert existiert.) (M: /P: 4) (M: -/P: 4)