Mathematik II. Variante A

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1 Prof. Dr. E. Triesch Mathematik II SoSe 28 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei handbeschriebene DIN-A4-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte, Bücher, Mobiltelefone, Smartphones, Laptops und insbesondere Taschenrechner sind nicht erlaubt! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I.-I.4) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.-II.4) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.-III.3) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W) oder falsch (F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und vollständig zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.). 2 3 = = 3. Antwort. 2. Punkte Antwort. 2. Punkte (i) W W (v) F - (ii) W F 2 (vi) W - (iii) F W (vii) - F (iv) F F (viii) - W Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit x 3 y + y 2, falls (x, y) (, ), f(x, y) = x 2 + y 2, falls (x, y) = (, ). (5 Pkt.) Geben Sie den Stetigkeitsbereich von f an. Aufgabe I.2: a) Gegeben sei (für α R) das folgende Gleichungssystem x x 3 = 2 2x x 3 = x + (α 2 5)x 3 = α. (8+(3+2) Pkt.) Entscheiden Sie mit Hilfe des Gaußverfahrens, ob das Gleichungssystem in Abhängigkeit von α R keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat, und geben Sie die jeweilige Lösungsmenge an. b) (i) Berechnen Sie die Inverse B der folgenden Matrix B R 3 3 mit Hilfe des Gaußverfahrens: 3 2 B = 2. (ii) Wir betrachten die folgende Basis B des R B = 2,, 2 und den bezüglich der Stardardbasis E 3 gegebenen Vektor v = 2. Stellen Sie v in der Basis B dar. 2

3 Aufgabe I.3: a) Gegeben sei die Matrix A R 3 3 mit 2 2 A = (6+6 Pkt.) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A. Entscheiden Sie, ob die Matrix A diagonalisierbar ist, und begründen Sie ihre Aussage. b) Gegeben sei die Matrix B R 3 3 mit B =. 2 Bestimmen Sie für die Matrix B alle Eigenwerte und berechnen Sie zu jedem Eigenraum von B eine Basis. Entscheiden Sie, ob B diagonalisierbar ist, und begründen Sie ihre Aussage. Aufgabe I.4: Bestimmen Sie den Wert des (uneigentlichen) Integrals (4 Pkt.) 3 9 x2 + dx. Teil II Aufgabe II.: Bestimmen Sie alle Vektoren v R 3, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllen: 2 v, (6 Pkt.) v = 3, 2 v, 2 = 3 4 π. 3

4 Aufgabe II.2: Gegeben sei die Funktion f : [ π, π) R mit { 2x + π, x [ π, ), f(x) = x + π, x [, π). (3+6+6 Pkt.) Geben Sie die Koeffizienten a, a k und b k für k N an, so dass a 2 + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k= die Fourierreihe der 2π-periodischen Fortsetzung von f auf R ist. Unterscheiden Sie dabei die Fälle: a) a, b) a k für k N, c) b k für k N. Hinweis: π a = f(x) dx, π π π a k = f(x) cos(kx) dx, π π π b k = f(x) sin(kx) dx π π Aufgabe II.3: Sei U der Unterraum des R 4, der von den linear unabhängigen Vektoren b =, b 2 = und b 3 = (8+5 Pkt.) aufgespannt wird. a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis von U. Beginnen Sie dabei mit dem Vektor b. b) Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements { } U = v R 4 u, v = für alle u U von U. 4

5 Aufgabe II.4: Gegeben sei die Funktion q : R 2 R mit (( )) x q = x. a) Geben Sie eine symmetrische Matrix A R 2 2 an, sodass q b) Geben Sie die Eigenwerte der Matrix A an. c) Geben Sie den Kurventyp der durch die Gleichung q (( x (( x )) (2+2+2 Pkt.) = ( ( ) ) x x A gilt. )) = beschriebenen Quadrik an. Teil III Aufgabe III.: a) Gegeben sei die Matrix A R 4 4 mit 3 A = (2+5 Pkt.). det(a) = 2 2. det(a) = 3 3. det(a) = 4 4. det(a) = 2 5. det(a) = 6. det(a) = 3 7. det(a) = 4 8. det(a) = 6 b) Gegeben sei die Matrix B R 6 6 mit π 3 B = e 3e e 2 e. 7π 9π 4π 6π. det(b) = 26e 2 2. det(b) = 26e 2 3. det(b) = 26π 2 4. det(b) = 26π 2 5. det(b) = 62π 2 6. det(b) = 26e 2 5

6 Aufgabe III.2: a) Gegeben sei die Matrix A R 3 3 durch 5 A = 5. 5 (5+6 Pkt.). Die Matrix A ist positiv definit. 2. Die Matrix A ist indefinit. 3. Die Matrix A ist negativ definit. 4. Die Matrix A ist positiv semidefinit. 5. Die Matrix A ist negativ semidefinit. b) Gegeben sei die Matrix B R 3 3 durch 8 4 B = Die Matrix B ist negativ definit. 2. Die Matrix B ist indefinit. 3. Die Matrix B ist negativ semidefinit. 4. Die Matrix B ist positiv semidefinit. 5. Die Matrix B ist positiv definit. 6

7 Aufgabe III.3: (2+2+4 Pkt.) a) Es sei n N.. Je n Vektoren im R n sind immer linear abhängig. 2. Je n Vektoren im R n sind immer linear unabhängig. 3. Je n + Vektoren im R n sind immer linear abhängig. 4. Je n + Vektoren im R n sind immer linear unabhängig. b) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und B eine Basis von V. Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. Die Elemente von B bilden immer ein maximales Erzeugendensystem von V. 2. Die Elemente von B bilden immer ein minimales Erzeugendensystem von V. 3. Die Elemente von B bilden immer eine maximal linear unabhängige Teilmenge von V. 4. Die Elemente von B bilden immer eine minimal linear unabhängige Teilmenge von V. c) Gegeben sei die Menge x U = y R 3 x 4y + z =. z. Die Menge U ist ein Untervektorraum des R Die Dimension von U ist. 3. Eine Basis von U wird durch Hinzufügen des Vektors zu einer Basis des R 3 ergänzt. 4. Eine Basis von U wird durch Hinzufügen der beiden Vektoren und zu einer Basis des R 3 ergänzt. 7