Höhere Mathematik III. Variante A

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III WiSe 04/05 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke. Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben Schmierblätter ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner sind nicht erlaubt. Bewertung: Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: Aufgabe I.-I.3 Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: Aufgabe II.-II.4 Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: Aufgabe III.-III.4 Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr W oder falsch F zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: Pkt.. 3 = 6. + = 3. Antwort.. Punkte Antwort.. Punkte i W W 0 v F - 0 ii W F vi W - 0 iii F W 0 vii - F 0 iv F F 0 viii - W 0 Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: 6 Pkt. Gegeben sei die Funktion f : R R mit fx = + x. Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass f genau einen Fixpunkt im Intervall [0, ] besitzt. Aufgabe I.: Gegeben sei der Ausschnitt des Hyperboloids siehe Skizze Pkt. H = { x, y, z R 3 x + y z 9, y 0, 0 z 4 }. Sein nach außen orientierter Rand H besteht aus dem Mantel M, dem Boden B, dem Deckel D und der in der xz-ebene d.h. y = 0 liegenden Rückwand R. Weiter sei das Vektorfeld v : R 3 R 3 mit x + e yz vx, y, z = xy 3y + 3z gegeben. a Berechnen Sie das Volumen von H. b Bestimmen Sie die Divergenz von v im Punkt x, y, z. c Berechnen Sie die orientierten Oberflächenintegrale ID := D v do und IR := R v do. Achten Sie dabei darauf, dass die Normalenvektoren jeweils nach außen orientiert sind. d Der Fluss von v durch den Boden B beträgt 54, d.h. IB := v do = 54. B Berechnen Sie mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß den Fluss IM := v do des Vektorfeldes v durch die Mantelfläche M. Verwenden Sie dabei die Ergebnisse aus den Aufgabenteilen M a, b und c. Aufgabe I.3: 6+7 Pkt. a Gegeben sei die Funktion f : M R, x, y x 4 +y 4 x y mit M = {x, y R y > 0}. Berechnen Sie die lokalen Extrema und geben Sie alle Sattelpunkte an. b Bestimmen Sie den größten und kleinsten Funktionswert von g : R 3 R mit gx, y, z = x y + z auf der Menge K := {x, y, z R 3 x + y + z = } und geben Sie die Stellen an, an denen diese Werte angenommen werden.

3 Teil II Aufgabe II.: Gegeben sei eine Kurve C in R 3 durch γt = cost sint t mit 0 t π. 5+4 Pkt. a Längs dieser Kurve sei die Masse mit der Dichte ρx, y, z = x + y + z verteilt. Berechnen Sie die Masse mc von C. b Es sei das Vektorfeld F : R 3 R 3 gegeben durch F x, y, z = y x. x + y + z Berechnen Sie das orientierte Kurvenintegral C F ds. Aufgabe II.: Das Vektorfeld f : R 3 R 3 mit 6++3 Pkt. cosy 3y z fx, y, z = xy siny 6xyz 3xy + 3z erfüllt die Integrabilitätsbedingung. Dies muss nicht gezeigt werden! a Bestimmen Sie ein Potential von f. b Bestimmen Sie das spezielle Potential F von f, das F 0, 0, 0 = erfüllt. c Gegeben sei die Kurve K durch die Parametrisierung γ : [0, 4π] R 3, t Berechnen Sie das orientierte Kurvenintegral K t sint, t cost, t 4 T. f ds. Aufgabe II.3: 5 Pkt. Bestimmen Sie die explizite Lösung des folgenden Anfangswertproblems mit getrennten Variablen y + xe x y = 0, y0 =. 3

4 Aufgabe II.4: Gegeben sei die Differentialgleichung 4+5 Pkt. 6x y dx + x3 y dy = 0 y > 0. a Bestimmen Sie einen nur von y abhängigen integrierenden Faktor für die angegebene Differentialgleichung oder geben Sie an, wenn die Differentialgleichung bereits exakt ist. b Bestimmen Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert y =. Teil III Aufgabe III.: Gegeben sei eine Funktion F : R 4 R mit x F x, y, u, v = y + u + v xy u + v + und der Punkt P 0 =,,,. 6+6 Pkt. a Es gilt:. Die Gleichung F x, y, u, v = 0 ist in einer Umgebung von P 0 eindeutig nach auflösbar.. Die Gleichung F x, y, u, v = 0 ist in einer Umgebung von P 0 eindeutig nach auflösbar. 3. Die Gleichung F x, y, u, v = 0 erfüllt im Punkt P 0 nicht die Voraussetzung x des Satzes über implizite Funktionen für eine lokale Auflösung nach. v 4. Die Gleichung F x, y, u, v = 0 erfüllt im Punkt P 0 nicht die Voraussetzung y des Satzes über implizite Funktionen für eine lokale Auflösung nach. v b Für die Auflösungsfunktion gx, y :=. g, = 3. g, = 0 0 ux, y vx, y. g, = 4. g, = von F x, y, u, v = 0 gilt: 0 0 y u x y 4

5 Aufgabe III.: Gegeben sei eine Funktion f : R R und ein Punkt P 0 R.. Falls die Funktion fx, y nicht stetig an der Stelle P 0 ist, dann existieren die 7 Pkt. partiellen Ableitungen f x und f y in P 0 nicht.. Falls die Funktion fx, y stetig an der Stelle P 0 ist, dann existieren die partiellen Ableitungen f x und f y in P Falls die partiellen Ableitungen f x und f y an der Stelle P 0 existieren, dann ist die Funktion f stetig in P Falls die Funktion fx, y an der Stelle P 0 total differenzierbar ist, dann ist fx, y stetig in P 0. Aufgabe III.3: 5 Pkt. Gegeben sei die Fläche G R mit konstanter Dichte. Diese wird durch die Geraden mit den Gleichungen x = 0, y = 0, y = und durch die Kurve mit der Gleichung x = 4 y + begrenzt. Der Flächeninhalt von G beträgt Die x-koordinate des Schwerpunktes von G ist Die x-koordinate des Schwerpunktes von G ist Die x-koordinate des Schwerpunktes von G ist Die x-koordinate des Schwerpunktes von G ist Die x-koordinate des Schwerpunktes von G ist Die x-koordinate des Schwerpunktes von G ist 7 0 5

6 Aufgabe III.4: 5 Pkt. Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem y x = A yx, wobei die Matrix A R 3 3 gegeben ist durch A = e x ex ex ex e x ex, e x, e 3x ist ein Fundamentalsystem von y x = A yx , e x, e 3x ist ein Fundamentalsystem von y x = A yx. 0, e x, e 3x ist ein Fundamentalsystem von y x = A yx. 3 3, e x 0, e 3x 3 ist ein Fundamentalsystem von y x = A yx , e x, e 3x 0 ist ein Fundamentalsystem von y x = A yx. 0 0, e x, e 3x ist ein Fundamentalsystem von y x = A yx