Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras

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1 Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst die kritische Punkte: x + z ( f)(x, y, z) y x + 8 z!. Es folgt y und aus der ersten Gleichung z x. Einsetzen in die dritte Gleichung liefert x + x x( + x). Die beiden kritischen Punkte sind also x (,, ) und x (,, 4). Um die Art der Extrema zu bestimmen, berechnen wir die zweite Ableitung, es ist f (x, y, z) 4 z f ( x ) Wir bestimmen die Hauptminoren und erhalten det( ), det, det f ( x ) det. Alternativ hat das charakteristische Polynom p(λ) ( λ) (( λ)λ ) ( λ)(λ λ ) die Nullstellen, (beide negativ) und + >. Das heißt, dass die Matrix f ( x ) indefinit ist und in x somit ein Sattelpunkt liegt. In x gilt f ( x ).

2 Damit erhalten wir die Hauptminoren det( ), det, det f ( x ) det. Alternativ wieder über das charakteristische Polynom: p(λ) ( λ) (( λ)( λ) ) ( λ)(λ + 3λ + ) hat die Nullstellen, 3+ 5 und 3 5. Diese sind alle negativ. Das heißt, dass die Matrix f ( x ) negativ definit ist und in x somit ein lokales Maximum liegt. ii) A ist eine kompakte Menge und f ist als Polynom stetig. Somit nimmt f auf A sowohl globales Maximum, als auch Minimum an. Allerdings nimmt f wegen lim f(,, z) ± keine globalen Extrema auf z ± R3 an. iii) Wir nutzen die Ergebnisse aus dem ersten Teil der Aufgabe: f(,, ), ( f)(,, ), f (,, ), (T f)(x, y, z) ( x + xz y ) x + xz y.. Aufgabe Punkte i) Zunächst berechnen wir den Radius r der Kreislinie. Dieser ist gegeben durch den Abstand des Punktes (,, ) auf der Kreislinie zu dem Kreismittelpunkt (3, 4, ), wir erhalten also r Damit ist eine Parametrisierung gegeben durch 5 cos ϕ + 3 γ : [, π] R 3, ϕ 5 sin ϕ + 4. Eine alternative Parametrisierung ist gegeben durch 5 sin ϕ + 3 γ : [, π] R 3, ϕ 5 cos ϕ + 4. ii) Da γ einen Kreis vom Radius 5 beschreibt, ist die Länge also gegeben durch L(γ) π 5 π.

3 iii) Für das Integral gilt γ v ds π π 5 sin ϕ (5 cos ϕ + 3) 5 cos ϕ dϕ 4 5 cos ϕ + 3 cos ϕ dϕ 5 π 5π. [ ] ϕ cos ϕ sin ϕ π sin ϕ (Mit der Parametrisierung γ erhält man hier das Ergebnis 5π.) iv) Da γ eine geschlossene Kurve ist und γ v ds gilt, kann v kein Potential haben. Alternativ kann man hier die Rotation berechnen, es gilt: (rot v)(x, y, z) 3 v hat kein Potential. 3. Aufgabe 8 Punkte i) Die Skizze für b : 4 3 Für kleineres b nähern sich die Punkte parallel zur x y Ebene radial der z-achse an. Insgesamt entsteht also der obige, allerdings ausgefüllte Paraboloid.

4 ii) Es gilt b cos ϕ ab sin ϕ a cos ϕ x (a, ϕ, b) b sin ϕ ab cos ϕ a sin ϕ. a Für die Determinante erhalten wir damit (mit Entwicklung nach der dritten Zeile) det x (a, ϕ, b) ( a ab sin ϕ det ab cos ϕ ) a cos ϕ a a b sin ϕ a b cos ϕ a 3 b. a sin ϕ iii) Für das Integral nutzen wir den Satz von Gauß. Dazu berechnen wir zunächst die Divergenz von v, es ist (div v)(x, y, z) 3y + 3x. Weiter nutzen wir den Transformationssatz. Mit der Parametrisierung x gilt 3x + 3y 3a b (div v)( x(a, ϕ, b)). Damit können wir nun das Integral berechnen, es ist v do div v dx dy dz 3(x + y ) dx dy dz L L π π L 3a b a 3 b da dϕ db 64b 3 dϕ db 8π π b 3 db 3π. 6a 5 b 3 da dϕ db

5 Verständnisteil 4. Aufgabe Punkte A beschreibt eine Gerade im R mit der Steigung -5. Die Menge ist abgeschlossen, aber weder beschränkt, kompakt, noch offen. B beschreibt ein Dreieck im ersten und zweiten Quadranten mit den Eckpunkten (, ), (, ) und (, ), die Randkurven gehören dabei zur Menge. Damit ist B abgeschlossen, beschränkt und kompakt aber nicht offen. C beschreibt eine Menge von Rechtecken mit den Seitenlängen und 4, die parallel zur x-y-ebene liegen und symmetrisch zu beiden Achsen sind. Diese Menge ist weder offen (jeder Punkt der Menge ist selbst ein Randpunkt), noch abgeschlossen (die Punkte für die gilt x, z N sind Randpunkte, gehören aber nicht zur Menge). Sie ist auch nicht beschränkt und nicht kompakt. D beschreibt das Viertel einer Ellipsenscheibe mit den Halbachsen und 3 im 3.Quadranten. Die Menge ist weder offen noch abgeschlossen und damit auch nicht kompakt. Sie ist allerdings beschränkt. 5. Aufgabe 6 Punkte Gemessen wurden s m, t, 5 s. Damit beträgt die gemessene Durchschnittsgeschwindigkeit v m.5 s m s 7km h. Die Mindestdurchschnittsgeschwindigkeit berechnen wir mit dem Fehlerschrankensatz, dabei gilt s (s, t) t (s, t) s,, t (s, t) s t (s, t) t 5, 5. Mit dem Fehlerschrankensatz gilt dann ( m ) v(s, t) v( s, t), 5 +, 5, 5, 575 s für alle (s, t) im untersuchten Bereich und sommit ist die mindestmögliche Durchschnittsgeschwindigkeit v min, 575 8, 45 m s 66, 33 km h.

6 6. Aufgabe Punkte i) Richtig! Aus lim n x n a folgt, dass die Folge (x n ) n N gegen a konvergiert. Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig, damit gilt f( x n ) f( a) für n, das heißt f( x n ) konvergiert. ii) Falsch! Ist z.b. f( x), dann hat f auf ganz D lokale Minima, f ( x) ist aber die Nullmatrix für alle x D und somit NICHT positiv definit. iii) Richtig! Hat f ein globales Maximum in x, dann liegt dort auch ein lokales Maximum. Notwendige Bedingung für die Existenz einer lokalen Extremstelle in einer offenen Menge ist f ( x ), es muss also gelten. iv) Richtig! Die partiellen Ableitungen sind stetig. Daraus folgt die Differenzierbarkeit von f. Und daraus folgt die Stetigkeit. v) Falsch! Es ist q x,y a a. Die Hauptminoren sind a und 4(a 3 ). Das heißt, dass für eine beliebige Zahl a > die Matrix NEGATIV definit ist. Zum Beispiel haben die Hauptminoren für a die Werte 4, 8. vi) Richtig! Es gilt K v do K rot w do Gauß K div rot w }{{} dx dy dz, da v stetig differenzierbar und somit w zweimal stetig differenzierbar ist.