Bergische Universität Wuppertal Klausur zur Mathematik für Ingenieure - Bachelor

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1 Bergische Universität Wuppertal Klausur zur Mathematik für Ingenieure - Bachelor.9.4 Prof. Dr. M. Heilmann, Apl. Prof. Dr. G. Herbort, Aufgabe Punkte. Zeigen Sie für alle n IN mittels Induktion die Gleichung n ii += i= nn +n + Bestimmen Sie den Definitionsbereich in IR und die Lösungsmenge der Gleichung x +=x Lösung. Induktionsanfang: Klar: Beide Seiten haben den Wert, wenn n =. Angenommen, die Behauptung gilt für n. Sollsiefür n + gelten, muss n+ i= ii + = n+n+n+ überprüft werden. Dazu rechnen wir n+ n ii + = ii + +n +n + i= i= nn +n + = +n +n + n = n +n + + n +n +n + = Zu Die Gleichung ist nur über dem Intervall [, definiert. Ist L ihre Lösungsmenge, so muss jedes x L die quadrierte Gleichung, also x + = x lösen; letztere ist äquivalent zu x4x 5 =. Es folgt L {, 5 4 }.Daaber/ L, 5 4 L, folgt L = { 5 4 }. Aufgabe. Punkte Gegeben seien die Punkte A,,, B,, und C,,.. Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E an, auf der die drei Punkte liegen.. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C.

2 . Berechnen Sie den Winkel, der von den Vektoren BC und BA eingeschlossen wird. Lösung. Zu Zunächst kann man eine Punktrichtungsform von E angeben, nämlich E = A + IRB A+IRC A = + IR + IR Aus den Richtungsvektoren und errechnen wir einen Normalvektor: = Dieser Vektor hat die Länge, so dass n = ein Einheitsnormalenvektor wird. Die Hessesche Normalform von E lautet dann E = { x n x = n A} = { x x x +x =} Zu. Die gesuchte Fläche ist F = B A C A = = = 9 Zu. Der Winkel α zwischen den Vektoren BA = und BC = löst die Gleichung 9= = cos α =9 cosα Dann ist cos α =,alsoα =45. Aufgabe Punkte Gegeben sei die Matrix A = 4.

3 Berechnen Sie A mit dem Gauß-Algorithmus. Lösung. Es gilt 5 A = Aufgabe 4 Punkte. Bestimmen Sie sämtliche Null-und Polstellen der Funktion fx = x4 +6x +x x x x x. Berechnen Sie den Summenwert der unendlichen Reihe k= k Lösung. Zu. Wir erraten die Nullstellen und für das Zählerpolynom. Mit dem Hornerschema finden wir dann die Zerlegung x 4 +6x +x x = xx x +x +5 Das Nennerpolynom hat eine Nullstelle bei Raten. Mit dem Hornerschema finden wir die Zerlegung x x x = x +x +x 5 Das ergibt zusammen, da sich x + heraushebt fx = xx x +5 x +x 5 Daraus lesen wir ab, dass f bei, und 5 einfache Nullstellen und bei und 5 einfache Pole hat. Zu. Die geometrische Reihe ergibt k= k = = Aufgabe 5 Punkte Gegeben sei die Funktion

4 4 fx =e sin x.. Bestimmen Sie alle lokalen Minimal-und Maximalstellen. Berechnen Sie das Taylorpolynom T x dritten Grades für die Funktion fx umdie Entwicklungsstelle x = π. 6 Lösung. Zu. Wir errechnen f x =fx cos x und weiter f x =f xcosx fxsinx. Wir suchen zuerst die Nullstellen von f. Sie liegen genau bei bei allen Punkten der Form x k = π +kπ, mit ganzzahligem k. Die. Ableitung von f an diesen Stellen ist wegen sin x k =coskπ = k : f x k = fx k sinx k = k+ e k Für ungerade k ist also f x k >, also x k eine lokale Minimalstelle von f, und für geradzahliges k hat man f x k <, so dass f dort eine lokale Maximalstelle hat. Zu. Es gilt f x =f xcosx f xsinx fxcosx. Das ergibt für x = x = π : 6 fx =e /, f x = e/, f x = 4 e/ e/ = 4 e/ und So finden wir f x = 8 e/ e/ e/ = 7 8 e/ T x =e / + π x x π x π

5 5 Aufgabe 6 Punkte Berechnen Sie das Integral x 5 x 4 +8x x x +4 dx x +4x Geben Sie dabei den vollständigen Lösungsweg an. Lösung. SeiRx der Integrand. Mit dem Divisionsalgorithmus finden wir Nun ist aber Rx =x x + x x +4 x +4x x x +4 x +4x = x +4 x +4x x x +4x = x x +4 = x / x/ + Als Stammfunktion für dient also F x = x x +lnx arctanx Jede weitere Stammfunktion zu R unterscheidet sich von F nur durch eine Konstante. Aufgabe 7 Punkte Sei xt =cost + t sin t, yt = sin t t cos t, t [, π] die Parameterdarstellung einer Kurve einer Kurve K im IR. Für welche Werte von t ist die Parametrisierung regulär?. Bestimmen Sie alle Punkte x, y, an denen die Kurve eine vertikale Tangente besitzt. Berechnen Sie die Krümmumg κt für t, π]. Lösung. Zu. Wir errechnen für den Geschwindigkeitsvektor ẋt ẏt = t cos t sin t Es folgt Regularität der Parametrisierung für alle t, π]. Zu. Gesucht sind alle Werte t, π], bei denen ẋt =. Das sind genau t = π t = π.diegewünschten Punkte sind dann π/ π/, und

6 6 Zu. Die Krümmung von K ist κt = ẋÿ ẏẍ t ẋ +ẏ / Nun ist ẍt =cost tsin t, ÿt = sin t + t cos t. Einsetzen ergibt dann und somit κt = /t ẋÿ ẏẍt =t cos t sin t + t cos t t sin t cos t t sin t =t Aufgabe 8 Punkte Bestimmen Sie alle lokalen Minima, Maxima und Sattelpunkte der Funktion fx, y =xy x y =xy x y xy x yy xy Lösung. Es gilt fx, y =.Sollalso fx, y = sein, so muss x yx xy Subtrahieren der beiden Komponenten x y x y = werden. Somit ist also x = y oder x + y =.Wennx = y, soist fx, y = genau dann, wenn x x =x,also,wenn x = y =oderx = y =. Im Falle x = y =habenwirx x =xy =. So finden wir insgesamt f = x y {,,, }

7 7 Da Die Koeffizienten der Hessematrix H f von f lauten H f = f xx x, y = y, f xy x, y = x y, f yy x, y = x indefinit sind, liegen bei, negativ definit ist, liegt bei f nicht., H f 6 =, H 6 f = und Sattelpunkte. Da weiter H f = ein lokales Maximum für f. Ein lokales Minimum existiert für Aufgabe 9 Punkte Sei G das Gebiet im. Quadranten, das von der x-achse, den Geraden x =,x =/ und der durch y =tanx gegebenen Kurve berandet ist. Skizzieren Sie G und berechnen Sie G xlnx +y dg Geben Sie dabei den vollständigen Lösungsweg an. Lösung. Skizze von G:

8 8 Zum Integral: G xlnx +y = = / / tanx xlnx +y dy dx x lnxdx= / x lnx / x dx = 9 8 ln/ = 9 9 ln/ 8 7 =.959 Aufgabe Punkte. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y +4y +y =7e t. Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems y +4y +y =7e t, y=,y =? Lösung. Zu. Das charakteristische Polynom der Dgl. ist X +4X +=X + + 9, und dieses hat die Nullstellen λ = +j und λ = j. Die homogene Dgl. wird daher durch den Ansatz u h t :=e t Ae jt + Be jt gelöst. Für eine partikuläre Lösung setzen wir an: u p t =Ce t.dannwirdu p +4u p +u p = Ce t.wirmüssen also nur C =/ wählen. So erhalten wir die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung in der Form ut :=e t Ae jt + Be jt + et Zu. Soll u das Anfangswertproblem lösen, müssen A und B die Bedingungen A + B + =, +ja + jb + = erfüllen. Das führt auf A + B =, A + B+A Bj = Lösung hierzu ist A = B =. So erhalten wir die Lösung 4 ut = e t cost + et