Höhere Mathematik für Ingenieure 2

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1 Prüfungklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 5. Juli 8, Uhr.Termin - Lösungen zum Aufgabenteil - Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f 3. 7 Punkte erechnen Sie näherungsweise den Wert des Integrals f d, indem Sie f durch das Taylorpolynom. Grades Taylorreihe bis zum Glied zweiter Ordnung im Entwicklungspunkt approimieren. f 3 3, f 3 8 ; f 3 43, f ; f , f T f + f! + f + +! 4 f d T d 4 }{{} geradef unktion 8 7 d 88,9965 d 4 ] [ 3 7

2 Aufgabe : 6 Punkte etrachtet wird die Radialkraft F m v, die auf einen Körper mit Masse m wirkt, r der sich mit ahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt. Schätzen Sie mit Hilfe des totalen Differentials den absoluten und relativen Fehler der Radialkraft F, wenn m 5 ± g, v 3 ±, m und r,5 ±, m s gemessen wurden. F m, V, r m v r F m v r, F V m v r, F r m v r. m 5 ± g, V 3 ±, m s, r,5 ±, m. Maimaler Absoluter Fehler: F df F m dm + F V dv + f r dr F m dm + F V dv + f r dr , + 5,,5,5,5 [ mn g m ] s Maimaler Relativer Fehler: F 5; 3;, ,5 F F df F df 4 6 F 5,3 6 3, %

3 Aufgabe 3: Gegeben sei die Funktion f, y 6y 4 4y. 8 Punkte a Untersuchen Sie f, y auf lokale relative Etremwerte. b Welchen Anstieg besitzt die Niveaulinie f, y im Kurvenpunkt P ;? a f, y 6y 4 4y Ableitungen : f 6y 8 3 f y 6 8y f 4 f yy 8 f y f y 6 Notwendige edingungen : 6y 8 3, 6 8y. Aus folgt y. Eingesetzt in ergibt das 4,,3 ±. Aus folgt dafür y, y,3 ±4. Damit gibt es die 3 stationären Stellen P ;, P ; 4, P 3 ; 4. Hesse-Matri : 4 6 H f 6 8 H f 9 56 Hinreichende edingungen : H f P 56 <, keine lokales Etremum Sattelpunkt in P H f P,3 5 >, f yy 8 < lokale Maima in P,3 mit fp,3 7. b Der Anstieg der Niveaulinie f, y 6y 4 4y in einem Kurvenpunkt ist gleich dem Anstieg der durch F, y 6y 4 4y in einer Umgebung dieses Punktes implizit definierten Funktion y y, falls dort F y gilt. Wegen F ; 6 4 ist P ; tatsächlich ein Kurvenpunkt. Weiter sind F y ; y 6y 8 3, F y ; 8 und F ; y 6 8y, F ; 8. Für die Ableitung der impliziten Funktionen y y und damit für den gesuchten Anstieg gilt deshalb y Fy F y 8 8.

4 Aufgabe 4: 7 Punkte a Lösen Sie das Anfangswertproblem y + y e, y e. b estimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y 4 y. a y + y e, y e. Inhomogene lineare Differentialgleichung. Ordnung Homogene Gleichung Trennung der Veränderlichen: y + y, y y, dy y d, ln y ln +C, y H C. Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung Variation der Konstanten: y c, y c c, y + y c 4 c + c e c e, c e d dt t e y P c e Subst. e t, e d dt. Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: y I y H + y P C e Anfangswertproblem: y C! e e, C e, y A e +. e, b y 4 y Homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Charakteristische Gleichung Ansatz y e λ λ 3 4λ λ λ 4, λ, doppelt, λ 3 4, y H C + C + C 3 e 4.

5 Aufgabe 5: Für welche Konstante a ist das Kurvenintegral 7 Punkte γ wegunabhängig? ae siny + z d + e cosy + z dy + e cosy + z dz b estimmen Sie für das oben berechnete a diejenige Stammfunktion des Integranden, die im Punkt,, π gleich ist. c Ermitteln Sie für obiges a unter Verwendung von Aufgabe b den Wert des Kurvenintegrals, wenn die Kurve γ von,, 3π nach, π, π verläuft. a Vektorfeld v P ; Q; R T in v d ist definiert und stetig partiell differenzierbar γ auf R 3. Integrabilitätsbedingung für Kurvenintegrale. Art im Vektorfeld rot v i j k y z P Q R e siny + z + e siny + z e cosy + z + ae cosy + z! e cosy + z ae cosy + z Integral ist wegunabhängig, wenn a. b erechnung der Stammfunktion f, y, z mit v gradf P e siny + z f v Q e cosy + z! f y R e cosy + z c f z Ansatzmethode:. f P f P d e siny + z d e siny + z + cy, z cy, z Ansatz für die von y und z abhängige Integrationskonstante.. f y Q e cosy + z + c y y, z e cosy + z cy, z dy dz dz Ansatz für die von z abhängige Integrationskonstante. Zwischenstand: f, y, z e siny + z + dz. 3. f z R e cosy + z + d z e cosy + z dz dz C. Für die Stammfunktion ergibt sich folglich: f, y, z e siny + z + C. Speziell für f,, π e sinπ+c +C! findet man C und die gesuchte spezielle Stammfunktion ist damit f, y, z e siny + z +., π, π,, 3 π v d f, π, π f,, 3 π e sin π + π e sin + 3 π e.

6 Aufgabe 6: erechnen Sie die Länge der Kurve mit der Parameterdarstellung 4 Punkte e t sin t, t π. y e t cos t S t [ẋt] + [ẏt] dt t π π π π et sin t + e t cos t + e t cos t e t sin t dt e t sin t + cos t + e t cos t sin t dt e t sin t + sin t cos t + cos t + cos t cos t sin t + sin t dt e t sin t + cos t dt π e t dt e π

7 Aufgabe 7: Der ebene ereich sei zusammengesetzt aus dem Vierteleinheitskreis im. Quadranten und einem Dreieck im 3. Quadranten siehe Skizze. Wie muß a > gewählt werden, damit der geometrische Schwerpunkt S s, y s des ereiches auf der -Achse liegt? Hinweis: Für die Schwerpunktkoordinaten gilt S ddy bzw. y S A A y ddy. Der Flächeninhalt A von kann elementar berechnet werden. 6 Punkte läßt sich zerlegen in den Dreiecksbereich in kartesischen Koordinaten D {, y, a a y } und die Viertelkreisscheibe in Polarkoordinaten V { r, ϕ r, π ϕ π }. Damit der geometrische Schwerpunkt von auf der -Achse liegt, muß gelten y S y ddy. Das ist genau dann der Fall, wenn A y ddy y ddy + y ddy D V D y ddy y dy d y a+ [ ] a + d a +3 a 3 6 V y ddy π r ϕ π [ r 3 3 ] r sin ϕ r dϕ dr [ ] π cos ϕ π 3 r r dr π ϕ π sin ϕ dϕ y ddy a 6 + 3! a 6 3, a

8 Aufgabe Z: Zeigen Sie, dass gilt a d ln a a >. Zur Lösung des Integrals sind geeignete Integrationsmethoden anzuwenden. 3 Punkte Das unbestimmte Integral d berechnet man etwa durch partielle Integration a a d a d a a d u v ln a ln a a ln a + ln a u a ln a a ln a v u a d a ln a + ln a v a ln a Für das uneigentliche Integral bekommt man damit d lim a t lim t t lim t l Hospital [ d lim a t a ln a a ln a t a t ln a a t ln a t a t ln a [ ] lim t a t ln a + lim t a t ln a [ ] + ln a [ ] ] t + ln a ln a + ln a ln a