Prof. Schneider Höhere Mathematik I/II Musterlösung A = x 1 = 6x 1 + x 3 x 2 = 2x 2 x 3 = x 1 + 6x 3

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1 Aufgabe ( Punkte) a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix 6 A = 6 b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems x = 6x + x 3 x = x x 3 = x + 6x 3 c) Bestimmen Sie die spezielle Lösung des Differentialgleichungssystems aus b) zur Anfangsbedingung x () = x () = x 3 () =. d) Bestimmen Sie A. (a) Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) mit ( ) 6 λ p(λ) = det (A λi) = ( λ) det = ( λ)((6 λ) ). 6 λ Die Eigenwerte sind damit λ =, λ = 5, λ 3 = 7. Zugehörige Eigenvektoren v j sind gegeben durch die nichttrivialen Lösungen der homogenen linearen Gleichungssysteme (A λ j I)v =. Zu λ = : 4 v = z.b. v = 4 Zu λ = 5: 3 v = z.b. v =

2 Zu λ 3 = 7: 5 v = z.b. v 3 = (b) Das Differentialgleichungssystem besitzt die Form ẋ = Ax mit der Matrix A aus a). Daher ist die allgemeine Lösung z.b. gegeben durch x(t) = c et + c e5t + c 3 e7t, c, c, c 3 R. (c) Es soll x() = (,, ) sein, daher erhalten wir die c j durch Auflösen des inhomogenen linearen Gleichungssystems c c c 3 = Daraus ergibt sich unmittelbar c =, c =, c 3 =. Die gesuchte Lösung ist damit x(t) = et + e7t. (d) Da A R 3 3 symmetrisch ist, existiert eine orthogonale Matrix S, so dass A = SDS, mit D = diag(λ, λ, λ 3 ). Die Spalten der Matrix S bestehen aus den normierten Eigenvektoren. Damit ist =I =I =I {}}{{}}{{}}{ A = } SD S S D S {{ S S S DS } = SD S mal = = 5 5 =

3 Aufgabe ( Punkte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim n sin(n 9 ) n n b) lim n 6n 3 + 5n n 7 n e +x e c) lim x x tanh(x + 5) d) lim x n, wobei x n+ = x n n und x =. n e) lim n k= (k + )! x sin(t ) f) lim x dt x 6 + t 3 (a) Es ist n n sin(n9 ) n n n. (b) sin(n 9 ) Damit gilt nach dem Einschnürungssatz lim =. n n n n 3 + 5n n 7 n = + 6 n n }{{} 6 ( 4 9 ) n }{{} für n. (c) Es ist mit den Regeln von de l Hospital: lim x e +x e x tanh(x + 5) = e +x lim x tanh(x + 5) + (d) Sei x der Grenzwert der Folge. Dann muss gelten x = x x =. (e) lim n n k= (k + )! = k= (k + )! = x cosh (x+5) n= = e tanh(5).. Daraus ergibt sich dann sofort n! = e. (f) Unter Verwendung der Regeln von de l Hospital und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist lim x x sin(t ) 6+t 3 dt x = lim x sin(x ) 6+x 3 x x sin(x ) = lim x 6 + x 3 =. Seite 3 von

4 Aufgabe 3 ( Punkte) a) Bestimmen Sie unter Verwendung der Sinus-Reihe die Taylorreihe der Funktion f(x) = x sin x zum Entwicklungspunkt x =. b) Bestimmen Sie f () () und f (3) (). c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe. d) Ist x = eine lokale Extremstelle? Wenn ja, handelt es sich bei dem Extremum um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum? e) Skizzieren Sie f für x ( π, π). (a) Es ist f(x) = x sin(x) = x k= ( ) k (k + )! xk+ = k= ( ) k (k + )! xk+. (b) Die Taylorreihe von f ist allgemein gegeben durch f(x) = f (n) () n! x n. Koeffizientenvergleich bei x! = x k+ liefert dann k = 4 und somit n= f () ()! = ( ) 4 9! f () () =! 9! =. Da f (3) () 3! der Koeffizient vor einer ungerade Potenz von x ist und nach a) die Taylorreihe von f aber nur gerade Potenzen von x enthält, folgern wir sofort, dass f (3) () = ist. (c) Der Konvergenzradius der Sinusreihe ist Unendlich. Multiplikation mit x ändert daran nichts, daher ist der Konvergenzradius der Taylorreihe aus a) ebenfalls Unendlich. (d) Es ist f (x) = sin(x) + x cos(x) und f (x) = cos(x) x sin(x). Damit haben wir f () = (e) und f () = >. Somit muss bei x = ein lokales Minimum vorliegen. Π Π Π

5 Aufgabe 4 ( Punkte) a) Konstruieren Sie für den Untervektorraum, der durch die Vektoren 4 8 a =, b = aufgespannt wird, eine Orthonormalbasis und ergänzen Sie diese zu einer Orthonormalbasis des R 3. b) Berechnen Sie den Radius und den Mittelpunkt der Sphäre {x R 3 x + x + x 3 x 8x = }. c) Bestimmen Sie den Abstand des Untervektorraumes aus a) und der Sphäre aus b). (a) Wir verwenden das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt, um eine Orthonormalbasis {v, v } von span {a, b} zu konstruieren. Es ist v = a a = 4 5, 3 8 w = b b, v v = = 3, 6 3 v = w w = Den Vektor v 3, der {v, v } zu einer Orthonormalbasis des R 3 ergänzt, erhalten wir durch das Kreuzprodukt v 3 = v v = 3 5 4

6 (b) Durch quadratisches Ergänzen erhalten wir x + x + x 3 x 8x = x x + + x + x 3 8x = (x ) + x + (x 3 4) = x (,, 4) =. Man liest nun leicht den Mittelpunkt M = (,, 4) und den Radius r = ab. (c) Der von a und b aufgespannte Unterraum ist eine Ebene E durch den Ursprung, mit dem Normalenvektor v 3. Sie besitzt daher die Hessesche Normalform E : 3 5 x x 3 =. Der Abstand von E zum Mittelpunkt M der Sphäre ist dann d(e, M) = = Da der Radius der Sphäre kleiner ist als der Abstand von M zu E, erhalten wir den Abstand der Sphäre zu E durch d(e, M) r = 8. 5

7 Aufgabe 5 ( Punkte) a) Geben Sie für die nachfolgenden uneigentlichen Integrale jeweils an, ob diese konvergieren oder divergieren. Begründen Sie Ihre Entscheidung. i) e 4x x dx ii) x ( + x )e x dx b) Bestimmen Sie diejenige Lösung x(t) der Differentialgleichung ẋ(t) = x 3x + mit x() = 3. (a) i) Es ist e 4x x = x ( n= ) n! (4x)n = 4 n x n! xn = n= 4 n n! xn = 4 x + 4 k+ (k + )! xk. k= }{{} =:R(x) n= Die Reihe R(x) hat unendlichen Konvergenzradius (leicht mit dem Quotientenkriterium einzusehen), ist damit insbesondere auf [, ] stetig und somit Riemann-integrierbar. Daher ist e 4x 4 dx = x x dx + R(x) dx, }{{}}{{} also ist das fragliche Integral divergent. divergent konvergent ii) Der Integrand kann in folgender Weise abgeschätzt werden: x ( + x )e x e x. [ Weiter haben wir e x dx = lim ] e x L = lim L L (e e L ) = e <. Daher folgt, dass das fragliche Integral nach dem Majorantenkriterium konvergiert.

8 (b) Es handelt sich hierbei um eine separierbare Differentialgleichung. Trennung der Veränderlichen führt dann auf x 3x + dx = dt = t + c. Mit einer Partialbruchzerlegung haben wir dann x 3x + dx = (x )(x ) dx = x dx Dies führt dann zur allgemeinen Lösung x x x = ket x(t) = ket ke t, k R. dx = ln x ln x = ln x x. Die Anfangsbedingung x() = 3 ist durch liefert schließlich k =, so dass die gesuchte Lösung gegeben x(t) = + et + e t. Seite 8 von

9 Aufgabe 6 ( Punkte) a) Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf der Menge M = {(x, y) x + xy + y = }, welche vom Ursprung minimalen Abstand besitzen. b) Berechnen Sie den Gradienten der Funktion f(x, y) = ye x x e y, sowie die Gleichungen der Tangenten an die implizit definierte Kurve C = {(x, y) f(x, y) = } in den Punkten P (, ) und P = (, ). (a) Der Abstand eines Punktes (x, y) zum Ursprung ist gegeben durch x + y. Dieser Ausdruck wird wegen der Monotonie der Wurzelfunktion genau dann minimal, wenn x +y minimal wird. D.h. wir erhalten das folgende Optimierungsproblem: Minimiere x + y unter der Nebenbedingung x + xy + y =. Das zugehörige Lagrangefunktional ist gegeben durch H(x, y, λ) = x +y +λ(x +xy +y ). Die notwendigen Bedingungen für ein Extremum sind x H = x + (x + y)λ! =, y H = y + (x + y)λ! =, λ H = x + xy + y! =. Die Bedingung = x H y H = (x y) + (x y)λ = (x y)( + λ) führt auf die zwei Fälle x = y und λ =. Fall x = y: Dann wird λ H = zu 3x =, also x = y = ± 3 3. Fall λ = : Eingesetzt in x H = haben wir dann x y =, was genau dann der Fall ist, wenn x = y. In die Bedingung λ H = eingesetzt liefert dies x =, also x = ± und y =. Die kritischen Punkte sind also S / (±, ) und S 3/4 (± 3 3, ± 3 3). Den kleinsten Abstand zum Ursprung haben offensichtlich die Punkte S 3 und S 4.

10 (b) Es ist grad f(x, y) = (ye x xe y, e x x e y ). Damit ist grad f(, ) = (, ) und grad f(, ) = ( e, ). Da der Gradient immer senkrecht auf den Niveaulinien steht, haben wir damit als Tangentengleichungen ( ) ( ) ( ) ( ) t : x = + r und t : x = + s, mit r, s R. Seite von