(n + 1)2. + n. ((n 1) + 1)2. = (n2 + 2n) A = 21 13

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1 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. E. Teufel, Dr. N. Röhrl, J. Spreer MUSTERLÖSUNG FÜR KLAUSUR Mathematik inf / sotech / tpinf Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle n gilt n k k= (n + 1) (vollständige Rechnung auf separatem Blatt). Wir verwenden Induktion über n. Induktionsanfang. Für n = ist 1. Induktionsschritt. Sei die Ungleichung für n 1 vorausgesetzt und zeigen wir sie für n. Es wird n n 1 k = k + n k= k= ((n 1) + 1) = (n + n) (n + 1), + n unter Verwendung der binomischen Formel für (n + 1). Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Matrix 16 1 A = a) Berechnen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren von A. 5 λ 1 = ; v 1 = 7 ; λ = 1; v = 3 b) Berechnen Sie die Diagonalgestalt von A. A = 1 c) Geben Sie die Transformationsmatrix T der Ähnlichkeitstransformation T 1 AT = A an. 5 T = 7 3 ; 3 T 1 = 7 5

2 Aufgabe 3 (14 Punkte) a) v 1,..., v n seien Vektoren in einem reellen Vektorraum V. Formulieren Sie die Definition für die lineare Unabhängigkeit von v 1,..., v n. λ 1 v λ n v n = λ 1 =... = λ n = b) Vervollständigen Sie die folgende Aussage so, dass auf der rechten Seite keine Klammern stehen. (A B) = A B c) (a n ), n N, sei eine Folge reeller Zahlen. Wie lautet die Definition der Konvergenz der Folge (a n ) n N gegen den Grenzwert a? ɛ > n(ɛ) : a a k < ɛ k n(ɛ) d) f : R R sei eine stetig differenzierbare Funktion. Gegeben seien a < b. Vervollständigen Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. f (b) f (a) = f (ξ)(b a); ξ (a, b) e) g, f : R R seien stetig differenzierbare Funktionen. Vervollständigen Sie die Regel der partiellen Integration. b a g (x) f (x)dx = [g(x) f (x)] b a b a g(x) f (x)dx f) Gegeben sei die additive Gruppe (Z/8Z, +) der Restklassen modulo 8. Bestimmen Sie die kleinste Untergruppe, die die Elemente [] und [4] enthält. Die Untergruppe besteht aus allen geraden Restklassen, also U = {[], [], [4], [6]}. g) f : R n R n sei eine lineare Abbildung. Ergänzen Sie zur Dimensionsformel. dim(im f ) = n dim(ker f ) Aufgabe 4 (8 Punkte) a) Zeige Sie, dass die Vektoren 1 1 b 1 = 1 ; b = ; b 3 = 1 1 eine Basis des R 3 darstellen (vollständige Rechnung auf separatem Blatt). Zu zeigen ist, dass 1 1 T = 1 1 1

3 invertierbar ist b) Geben Sie die Transformationsmatrizen für die Transformation in die Standardbasis an: T = 1 ; T 1 = c) Gegeben Sei die lineare Abbildung L : R 3 R 3 ; 3 1 b 1 1 ; b 3 ; b Ist L eindeutig bestimmt (begründen Sie)? Da (b 1, b, b 3 ) eine Basis ist, ist L mit Angabe der Bilder der Basis bereits eindeutig bestimmt. d) Bestimmen Sie Bild und Kern von L (Darstellung bezüglich der Standardbasis). 3 im L = span 3, 1 ; ker L = span Aufgabe 5 (4 Punkte) Berechnen Sie das Integral π x sin(x) dx. (vollständige Rechnung auf separatem Blatt) Mit partieller Integration für den Ansatz f (x) = sin(x) und g(x) = x erhält man f (x) = cos(x)

4 und g (x) = x und somit ist: π x sin(x) dx = [ x cos(x) ] π π + x cos(x) dx x= = [ x cos(x) ] π + [ x sin(x) ] π π sin(x) dx x= x= = [ x cos(x) ] π = π 4 x= + [ x sin(x) ] π x= + [ cos(x) ] π x= Aufgabe 6 (8 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R; (x, y) x y + y 3 y. a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. xy grad f = x y + 3y 1 ; H f = y 4xy 4xy x + 6y b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von f. P 1/ = (, ± 1 ) 3 c) Bestimmen Sie den Typ der kritischen Punkte (relatives Maximum, relatives Minimum, Sattelpunkt). P 1 : relatives Minimum P : Sattelpunkt Aufgabe 7 (8 Punkte) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung erster Ordnung y + sin(x)y = x e cos(x). a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. y = sin(x)y dy dx = sin(x)y dy = sin(x)dx y 1 y dy = sin(x)dx ln y = cos(x) + c y h = c e cos(x)

5 b) Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung. y(x) = c(x) e cos(x) Variation der Konstanten c (x) = x e cos(x) e cos(x) = x x c(x) = tdt c(x) = [ 1 t ] x c(x) = 1 x y p (x) = 1 x e cos(x) c) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung zum Anfangswert y() =. y = y p + y h y(x) = 1 x e cos(x) +c e cos(x) y() = + c e y() = c e = 1 c = 1 e Aufgabe 8 (5 Punkte) Berechnen Sie den Genzwert lim x 1 (vollständige Rechnung auf separatem Blatt). ln x (1 x) lim x 1 ln x (1 x) = lim x 1 1 x(1 x) = Aufgabe 9 (3 Punkte) Untersuchen Sie die nachstehende Reihe auf Konvergenz. n=1 n(n + 1) x n (vollständige Rechnung auf separatem Blatt) n=1 n(n + 1) Betrachte die Reihe mit dem Quotientenkriterium: a n+1 (n+1)(n+) a n = x n+1 n(n+1) x n = n + x x n x n

6 1. Fall: x > 1 Die Quotientenfolge konvergiert gegen x > 1, d.h nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe divergent.. Fall: x < 1 = Absolut konvergente Reihe. 3. Fall: x = 1 n= n(n+1) und n= n(n+1) ( 1) n sind divergent, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.