Vorlesungsprüfung Differential- und Integralrechnung (PHY.C30) Fragenkatalog

Transkript

1 Vorlesungsprüfung Differential- und Integralrechnung (PHY.C30) Fragenkatalog Im folgenden finden Sie eine Liste von typischen Prüfungsfragen für die Vorlesungsprüfung Differential- und Integralrechnung (PHY.C30). In Klammern sind jeweils die maximal erreichbaren Punkte pro Frage angegeben. Für eine konkrete Klausur werden die Fragen so zusammengestellt, dass in Summe 100 Punkte zu erreichen sind. Legen Sie dieses Blatt als Deckblatt Ihren Antworten bei! Wenn Sie Fragen zu den Angaben haben, so fragen Sie! Alles Gute! Vollständiger Name: Matrikelnummer: Frage 1 Frage 2 Frage 3 Frage 4 Frage 5 Frage 6 Frage 7 Frage 8 Frage 9 Frage 10 Summe der Punkte:

2 1. (8 P) Skizzieren Sie die folgenden Mengen M R auf der Zahlengerade und klassifizieren Sie sie nach den Kriterien offen, abgeschlossen, (nach oben bzw. nach unten) beschränkt und kompakt, und geben Sie wenn vorhanden das Maximum und Minimum, und das Supremum und Infimum an: (a) M 1 = ( 1, +1) (b) M 2 = [ 1, +1] \ {0} 2. (6 P) Welche drei Axiome muss eine Metrik d(x, y) erfüllen? Nennen Sie ein Beispiel für eine Metrik auf R. 3. (6 P) Was versteht man unter einem Häufungspunkt einer Folge {a n }? Geben Sie ein Beispiel für eine Folge, die 2 Häufungspunkte besitzt. 4. (6 P) Wann nennt man eine Folge {a n } konvergent? Geben Sie je ein Beispiel für eine konvergente und eine divergente Folge. 5. (9 P) Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie, wenn möglich, ihre Grenzwerte. (a) a n = (2n+2)2 (n+1)(n+3) (b) b n = n 1 2 (c) c n = ( ) 1 n 2 6. (8 P) Beweisen Sie die folgende Aussage mittels vollständiger Induktion: n k = n(n + 1) 2 7. (8 P) Wie definiert man die Konvergenz einer unendlichen Reihe a k? Geben Sie je ein Beispiel für eine konvergente und eine divergente unendliche Reihe an. 8. (8 P) Für welche q R konvergiert die geometrische Reihe k=0 qk? Im Falle von Konvergenz, was ist ihr Grenzwert? 9. (6 P) Nennen und beschreiben Sie zumindest zwei Kritierien, mit deren Hilfe Sie die Konvergenz von unendlichen Reihen untersuchen können. 10. (6 P) Wenden Sie das Leibniz-Kriterium an, um die Konvergenz der folgenden unendlichen Reihe zu untersuchen: 2 ( 1) k k.

3 11. (6 P) Wenden Sie das Vergleichskriterium an, um die Divergenz der folgenden unendlichen Reihe zu untersuchen: 1 k. 12. (6 P) Wenden Sie das Integralkriterium an, um die Konvergenz der folgenden unendlichen Reihe zu untersuchen: 1 k (8 P) Bestimmen Sie das Konvergenzgebiet inklusive der Ränder für die folgende Potenzreihe: k=0 ( ) k 3 (x 1) k (6 P) Nennen Sie zumindest zwei Eigenschaften, die eine Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzgebiets aufweist. 15. (6 P) Geben Sie die Potenzreihendarstellung für eine Funktion f(x) um einen Entwicklungspunkt x 0 an (=Formel von Taylor). 16. (8 P) Geben Sie die MacLaurin Reihe der Funktion f(x) = e x an. 17. (8 P) Berechnen Sie den Grenzwert: sin(x 2 ) lim. x 0 x (8 P) Wie behandelt man unbestimmte Formen der Art 1 und bestimmen Sie konkret: lim x 1 x 1. x (8 P) Erklären Sie den Begfriff der gleichmäßigen im Unterschied zur punktweisen Konvergenz von Funktionenreihen. Was besagt der Satz von Weierstraß? 20. (6 P) Geben Sie den Betrag, das Argument sowie den Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl an: z = 2 2i. 3

4 21. (6 P) Stellen Sie folgende komplexe Zahl in Polarform dar: z = 2 2i. 22. (6 P) Skizzieren Sie die Punktmenge z i < 1 in der komplexen Zahlenebene. 23. (10 P) Zeigen Sie die Eulersche Formel: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. 24. (8 P) Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, dass gilt: cos(2ϕ) = cos 2 ϕ sin 2 ϕ. 25. (8 P) Geben Sie alle Wurzeln 4 i an, und stellen Sie diese in der komplexen Ebene dar. 26. (8 P) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil vom Hauptwert des Logarithmus für z = ln( e). 27. (8 P) Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = x 2, indem Sie die Definition des Differentialquotienten benutzen. 28. (8 P) Was besagt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Fertigen Sie auch eine dazupassende Skizze an. 29. (6 P) Zeigen Sie für die Funktion y = x 2, dass gilt: dy = 1. dy 30. (8 P) Benutzen Sie die Beziehung dy = 1 und y = tan x, um die dy Ableitung der Umkehrfunktion x = arctan y zu berechnen. 31. (6 P) Was besagt der Satz von Schwarz über gemischte partielle Ableitungen? Unter welcher Voraussetzung gilt er? 32. (10 P) Was versteht man unter dem Gradienten einer Funktion f(x, y)? Welche Bedeutung kann dem Gradienten zugeschrieben werden? Berechnen Sie den Gradienten der Funktion f(x, y) = sin(xy 2 ). 33. (8 P) Was versteht man unter dem totalen Differential einer Funktion f(x, y)? Berechnen Sie das totale Differential der Funktion f(x, y) = sin(xy 2 ). 4

5 34. (10 P) Wie ist die Richtungsableitung einer Funktion f(x, y) in Richtung v definiert? Berechnen Sie die Richtungsableitung der total differenzierbaren Funktion f(x, y) = x 2 + 2y 3 in einer Richtung, die 45 zur x-achse orientiert ist (im ersten Quadranten). 35. (8 P) Was versteht man unter totalen Differenzierbarkeit einer Funktion f(x, y)? Geben Sie zumindest zwei Eigenschaften an, die aus der totalen Differenzierbarkeit folgen. 36. (10 P) Was versteht man unter der Jacobi-Matrix einer Abbildung (x, y) (u(x, y), v(x, y))? Berechnen Sie die Jacobi-Matrix für: u(x, y) = x 2 y, v(x, y) = sin(xy 2 ). 37. (8 P) Berechnen Sie die Ableitung dy der folgenden, implizit gegebenen Funktion: x 2 + y 2 cos(xy) = (8 P) Welches notwendige Kriterium muss für das Vorliegen eines lokalen Extremums einer Funktion f(x, y) erfüllt sein? An welchen Punkten (x, y) liegen mögliche Extremstellen der folgenden Funktion vor? f(x, y) = x 2 + (x + 1)y (8 P) Wie ist die Hesse-Matrix einer Funktion f(x, y) definiert? Welche Aussagen ermöglicht sie in Bezug auf lokale Extrema? 40. (8 P) Erläutern Sie das Verfahren der Lagrangeschen Multiplikatoren zur Behandlung von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung anhand der zu minimierenden Funktion f(x, y, z) und der Nebenbedingung Φ(x, y, z) = 0. Wie verallgemeinert man das Verfahren für eine weitere Nebenbedingung Ψ(x, y, z) = 0? 41. (8 P) Wann nennt man eine Funktion f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] Riemann integrierbar? 42. (8 P) Was besagt der 1. Mittelwertsatz der Integralrechnung? Fertigen Sie auch eine dazupassende Skizze an. 43. (10 P) Was besagt der Fundamentalsatz der Analysis (Teil I und II)? 5

6 44. (8 P) Lösen Sie das folgende bestimmte Integral durch Variablensubstitution: 1 0 xe x (8 P) Lösen Sie das folgende unbestimmte Integral durch partielle Integration: x 2 e x. 46. (8 P) Lösen Sie das folgende unbestimmte Integral durch Patialbruchzerlegung: x (x 1)(x + 1). 47. (8 P) Berechnen Sie folgenden Ausdruck d sin x 0 e t2 dt. 48. (8 P) Was versteht man unter einem uneigentlichen Integral der 1. bzw. der 2. Art? Geben Sie je ein Beispiel an. 49. (8 P) Berechnen Sie den Cauchy schen Hauptwert des folgenden Integrals: P 2 1 x. 50. (10 P) Berechnen Sie das folgende Integral über die Fläche F: 1 x2 dy, F : x 2 + y 2 1 x 0. F 51. (10 P) Berechnen Sie das folgende Integral durch Transformation auf Polarkoordinaten: x 2 dy, F : x 2 + y 2 4 F 6

7 52. (10 P) Berechnen Sie das folgende Integral durch Transformation auf Kugelkoordinaten: z 2 dydz, V : x 2 + y 2 + z 2 4 V 7