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1 . Arbeitsblatt Analysis SS.. 3. Vorname Nachname Matrikelnummer Tutor Uhrzeit Aufgabe Code Punkte

2 Adµ Universität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung Blatt I Arbeitsblatt I zur Vorlesung Analysis SS Abgabe: Bis zum 9.6., 4 Uhr, im Zi oder Aufgabe Es sei { } k N eine positive Zahlenfolge. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Antwort:.A.B Aufgabe a) lim sup k b) lim inf k a) lim sup k b) lim inf k k ak k ak + + > < > < k= k= k= k= divergiert. konvergiert. divergiert. konvergiert..a. Entscheiden Sie, für welche p > die folgenden Reihen bzw. uneigentlichen Integrale bedingt und absolut konvergent sind a) n= ln n n sin nπ 4, b) sin(π n + p ), c) n= sin(x p ) dx..b. Entscheiden Sie, für welche p > die folgenden Reihen bzw. uneigentlichen Integrale bedingt und absolut konvergent sind a) n= ( ) n sin n n, b) n= ( ) n, c) n + ( ) n cos(x p ) dx..a. Für n N deniert man (n )!! := 3 5 (n ), (n)!! := 4 6 (n). Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz + n= (n )!! (n)!! n +.

3 .B. Es sei {a n } n N eine positive Zahlenfolge mit dem endlichen Grenzwert a und es sei x >. Untersuchen Sie die Reihe n! x n (x + a )(x + a )...(nx + a n ) n= auf Konvergenz in Abhängigkeit von a und x. Aufgabe 3 Es sei {a n } n N eine Folge positiver Zahlen. Dann gelten die folgenden Konvergenzkriterien für die Reihe n= a n. Bertrandsches Kriterium. Es sei B = lim n (ln n) [ ( ) ] an n. a n+ Dann ist die Reihe n= a n für B > konvergent, für B < divergent. Gauÿsches Kriterium. Der Quotient a n a n+ a n a n+ = λ + µ n + θ n n lasse sich in der Gestalt darstellen, wobei λ und µ konstante sind und θ n eine beschränkte Gröÿe ist. Dann ist die Reihe n= a n konvergent für λ > oder λ =, µ > und divergent für λ < oder λ =, µ. Ermakosches Kriterium. Die gegebene Reihe habe die Gestalt a n = n= f(n), wobei f(n) der Wert einer für x denierten Funktion f(x) an der Stelle x = n ist. Diese Funktion sei stetig, positiv und monoton fallend für x >. Dann ist die Reihe n= a n konvergent, wenn für hinreichend groÿe x x die Ungleichung n= f(e x ) e x f(x) q < gilt, und divergent, wenn für x x f(e x ) e x f(x) gilt. 3.A. Beweisen Sie das Bertrandsche und das Gauÿsche Kriterium. Hinweis: Fichtenholz, Dierential- und Integralrechnung, S B. Beweisen Sie das Ermakosche Kriterium. (Fichtenholz, Dierential- und Integralrechnung, S. 68) 3

4 3.A. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz in Abhängigkeit von p und q: n! n p a) p >, q >. q(q + )...(q + n) n= b) n=3 n(ln n) (ln ln n) p. 3.B. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz in Abhängigkeit von p und q: [ ] p (n ) a) 4 6 (n) n. q Aufgabe 4 n= b) n= n(ln n) p. Diese Aufgabe ist von beiden Gruppen zu bearbeiten. Es sei f n (x) = + cos x + cos x cos nx, n N. 4. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass f n (x) = sin (n+)x sin x, x mπ, m Z. 4. Beweisen Sie die Identität I n := π und berechnen Sie I n. 4.3 Es sei xf n (x) dx = π 4 + n k= ( ( ) k k k ), u(x) = Zeigen Sie, dass < u (x) { x sin x für x für x = für < x π gilt Verwenden Sie den Teil dieser Aufgabe um zu beweisen, dass [ π ] I n = + u (4n )x (x) cos dx. 4n 4.5 Zeigen Sie, dass lim n I n =, und somit k= (k ) = π 8. () 4

5 4.6 Leiten Sie aus () die Identität her. k= k = π 6 Aufgabe 5 5. (Diese Aufgabe ist von beiden Gruppen zu bearbeiten). Beweisen Sie folgende Behauptung: Es sei {,m } k,m N eine Doppelfolge, für welche die Doppelreihe,m konvergiert. Dann gilt 5.A. Beweisen Sie die Identität m,n N k= k,m N,m = m= m= k=,m (4n ) m+ = π 8 ln. 5.B. Beweisen Sie die Identität m,n N (4n ) m = π 8. Aufgabe 6 6.A Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Funktionen sin x und ln(x + ) im Punkt x =. 6.B Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Funktionen cos x und arctan x im Punkt x =. Aufgabe 7 7. (Diese Aufgabe ist von beiden Gruppen zu bearbeiten). Beweisen Sie den Satz von Abel: Ist die Reihe k= konvergent und hat sie die Summe A (im üblichen Sinne), so ist die Potenzreihe x k k= für < x < konvergent, und ihre Summe strebt für x gegen den Grenzwert A. 5

6 7.A. Untersuchen Sie die trigonometrische Reihe + n= cos nθ, für θ [ π, π], θ auf Konvergenz nach Poisson bzw. Cesàro und berechnen Sie die entsprechende "verallgemeinerte Summe". 7.B. Untersuchen Sie die trigonometrische Reihe sin nθ, n= für θ [ π, π], θ auf Konvergenz nach Poisson bzw. Cesàro und berechnen Sie die entsprechende "verallgemeinerte Summe". Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis der Aufgabe 4.. Aufgabe 8 8.A. Es sei k= eine absolut konvergente Reihe und es sei Zeigen Sie, dass f(x) = sin(kx), x R. k= = π π f(x) sin(kx) dx, k N 8.B. Es sei k= eine absolut konvergente Reihe und es sei Zeigen Sie, dass = π f(x) = π cos(kx), x R. k= f(x) cos(kx) dx, k N, a = π π f(x) dx. 8.A. Es sei { } k N eine Folge, für welche die Reihe k n, n N, k= absolut konvergent ist. Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = sin(kx), x R, k= 6

7 n mal dierenzierbar ist, und dass ihre n te Ableitung sich folgendermaÿen darstellen läÿt f (n) (x) = b k sin(kx), x R. k= Bestimmen Sie die Koezienten b k. 8.B. Es sei { } k N eine Folge, für welche die Reihe k n, k= n N absolut konvergent ist. Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = cos(kx), k= x R n mal dierenzierbar ist, und dass ihre n te Ableitung sich folgendermaÿen darstellen läÿt f (n) (x) = b k cos(kx), x R. k= Bestimmen Sie die Koezienten b k. Aufgabe 9 9.A Beweisen Sie die Identität 9.B Beweisen Sie die Identität Aufgabe Die Eulersche Betafunktion B(a, b) := e x d x = n= d x + x = 3 lässt sich durch die Substitution x = B(a, b) = n= ( ) n n!(n + ). ( ) n (3n + ) 3n+. x a ( x) b d x a, b >. y +y folgendermaÿen darstellen y a d y. () ( + y) a+b 7

8 .A Beweisen Sie mit Hilfe der Betafunktion die Gleichung e x d x = π. Berechnen Sie Γ ( 5 )..B Zeigen Sie, dass B(a, a) = ( ) B a, a, und beweisen Sie damit den Legendresche Verdoppelungssatz ( Γ(a)Γ a + ) π = Γ(a), a wobei Γ(a) die Gammafunktion bezeichnet. 8