Nachklausur Analysis I

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1 SS 008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Nachklausur Analysis I Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung des Ergebnisses meiner Klausur (nur Matrikelnummer und Punktzahl) im Internet sowie am schwarzen Brett neben dem Raum MA 30 bin ich einverstanden: Unterschrift (optional): Geben Sie bei allen Antworten einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an. Bitte beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt und beschriften Sie dieses mit Ihrem Namen sowie Ihrer Matrikelnummer. Die Klausur ist mit 5 Punkten bestanden. Die Bearbeitungszeit beträgt 0 Minuten. Schreiben Sie nicht mit Bleistift. Aufgabe Summe Punkte Korrektor Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für die in R rekursiv definierte Folge (a n ) n N mit (7 Punkte) a 0 := 0, a n+ := + a n, n N gilt: 0 a n a n+ für alle n N. Zeigen Sie weiterhin, dass der Grenzwert der Folge in R existiert und bestimmen Sie diesen Grenzwert. Aufgabe Sei a n := n für n N. Zeigen Sie (mittels der Definition von Konvergenz), n+ dass die Folge (a n ) n N gegen konvergiert. (3 Punkte) Aufgabe 3 (4 Punkte) (a) Untersuchen Sie die Reihe ( + n) n n= auf Konvergenz. n+

2 (b) Bestimmen Sie die Reihensumme von ( ) n + n n=. 3 n Aufgabe 4 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (6 Punkte) (a) Sei a n R für alle n N. Konvergiert die Folge (a n ) n N, so konvergiert auch ( a n ) n N. (Hinweis: Es gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung: x y x y für x,y R.) (b) Sei a n R für alle n N. Konvergiert die Reihe n= a n, so konvergiert auch n= a n 4. (c) Sei A eine Indexmenge. Seien F α R abgeschlossen für alle α A. Dann ist α A F α in R abgeschlossen. (d) Die Funktion f : R R mit f(x) := x x für x R ist auf R differenzierbar. (e) Ist f : R R stetig und g : R R differenzierbar, so ist fg auf R differenzierbar. (f) Die Funktion f : [, 4] R mit f(x) := 4x für x [, 4] ist gleichmäßig stetig. (g) Sei D R und x R ein Häufungspunkt von D, welcher nicht in D enthalten sein muss. Weiterhin sei (x n ) n N D eine Folge, die gegen x konvergiert, und f : D R gleichmäßig stetig. Dann konvergiert (f(x n )) n N in R ebenfalls. Aufgabe 5 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte falls diese existieren: (3 Punkte) (a) lim x 0 x( cos x) x sin x, (b) lim x x4 + 5x x. Aufgabe 6 An welchen Stellen ist die Funktion f : [, ] R definiert mit (6 Punkte) stetig? f(x) := { x für x (, tan(πx) 0 für x {, 0, )\ {0}, } Aufgabe 7 Sei f : [0, π] R definiert durch f(x) := sin x e x für x [0, π ]. Zeigen Sie, dass f genau eine Nullstelle im Intervall [0, π] besitzt. (4 Punkte) Aufgabe 8 Geben Sie das dritte Taylorpolynom T 3 der Funktion f : R R definiert mit f(x) := e x sin x, x R an der Entwicklungsstelle p = 0 an. Zeigen Sie, dass der Fehler f(x) T 3 (x) im Intervall [, ] nicht größer als ( e ) 4 (bessere Abschätzungen sind ebenfalls möglich) ist, indem 6 Sie das Restglied in Lagrange scher Form nach oben abschätzen. (7 Punkte) (Gesamtpunktzahl: 50 Punkte)

3 SS 008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Lösungen zur Nachklausur Analysis I vom Aufgabe Zu zeigen: 0 a n a n+ für alle n N. Induktionsbeginn: Für n = 0 gilt a 0 = 0 = a. Induktionsschritt: Für n N fest gelte 0 a n a n+. Dann a n+ = = a n+ 0 + a n+ + a n Damit ist gezeigt, dass 0 a n a n+ für alle n N gilt. Zu zeigen: (a n ) n N besitzt Grenzwert. Die Folge (a n ) n N ist monoton wachsend. Da a n 0 für alle n N, gilt a n+ = + a n, n N. ( P.) Somit ist (a n ) n N eine beschränkte und monotone Folge in R. Folglich ist (a n ) n N eine Cauchyfolge und besitzt einen Grenzwert a := lim n a n. Aus ( P.) ( lim a n+ = a, lim ) = n n + a n + a erhalten wir a = +a. Wegen a 0 folgt a = 5. Aufgabe Sei ε > 0. Wähle n 0 N mit n ε 0. Dann gilt für alle n n 0 : n n + = n + = n + n 0 + ε. Aufgabe 3 (a) Es gilt: n an = + n = n+ + n+ 3 4 für alle n N + Folglich konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium (z.b. q = 3 4 ) absolut. ( P.)

4 4 (b) Es gilt (geometrische Reihe) ( P.) n=0 ( 3 ) n = 3 = 3 4, ( ) n = 3 3 n=0 = 3. Damit gilt (Rechenregeln): n= ( ) n + n 3 n = n=0 ( ) n + n 3 n ( ) ( ) + 3 = = Aufgabe 4 (a) Wahr: Sei ε > 0. Sei a der Grenzwert von (a n ) n N. Nach Voraussetzung existiert ein n 0 N, so dass a n a ε für alle n n 0. Aus a n a a n a ε für alle n n 0 folgt, dass a der Grenzwert von ( a n ) n N ist. Somit konvergiert ( a n ) n N. ( P.) (b) Falsch: Die Reihe ( ) n n= 4 n konvergiert nicht. konvergiert nach dem Leibnizkriterium, aber n= n ( P.) (c) Falsch: Für A = N und F n := [, ] gilt: n n n N F n = (0, ). Aber (0, ) ist in R nicht abgeschlossen. ( P.) (d) Wahr: Die Funktion f ist an jeder Stelle p R\ {0} differenzierbar, da die Betragsfunktion an jeder Stelle p R\ {0} differenzierbar ist. Es gilt x x 0 0 lim = lim x = 0. x 0 x 0 x 0 Daher ist f auf R differenzierbar. (e) Falsch: Gegenbeispiel: f(x) := x und g(x) := für x R. ( P.) (f) Wahr: Da [, 4] folgenkompakt und f stetig ist, ist f gleichmäßig stetig (Vorlesung). ( P.) (g) Wahr: Sei ε > 0. Dann existiert δ > 0, so dass für x,y D mit x y < δ gilt: f(x) f(y) < ε. Da (x n ) n N eine Cauchyfolge ist, existiert n 0 N mit x m x n < δ für alle m,n n 0. Somit gilt f(x m ) f(x n ) < ε für alle m,n n 0 und deshalb ist (f(x n )) n N eine Cauchyfolge in R. Cauchyfolgen in R konvergieren in R.

5 5 Aufgabe 5 (a) Aus der Regel von l Hospital (3x anwenden) folgt ( P.) x( cosx) lim x 0 x sin x = lim cosx + x sinx x 0 cosx 3 cosx x sin x = lim x 0 cosx = 3. = lim x 0 sinx + x cosx sin x (b) Es gilt ( P.) lim x4 + 5x x x 4 + 5x x 4 = lim x x x4 + 5x + x = lim x x = 5. Aufgabe 6 Die Funktion f ist an jeder Stelle p (, )\ {0} stetig (als Zusammensetzung von in p stetiger Funktionen). ( P.) Es gilt lim f(x) = 0 = f( x ), lim f(x) = 0 = f( x ). Damit ist f an den Stellen und Nach der Regel von l Hospital gilt ebenfalls stetig (Vorlesung). ( P.) lim f(x) = lim x 0 x 0 ( + (tanπx) )π = π 0 = f(0). Somit ist f an der Stelle 0 nicht stetig (Vorlesung). Aufgabe 7 Da ( P.) f(0) = < 0, f( π ) = e π > 0, folgt aus dem Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle. Wegen ( P.) f (x) = cosx + e x e x > 0, x [0, π ], ist f auf [0, π ] streng monoton wachsend. Folglich besitzt f genau eine Nullstelle im Intervall [0, π ].

6 6 Aufgabe 8 Es gilt f(0) = 0, f (x) = e x sin x + e x cosx, f (0) =, f (x) = e x cosx, f (0) =, f (x) = e x cosx e x sin x, f (0) =. Damit ist T 3 (x) = x + x + 3 x3 das dritte Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle p = 0. Berechnung des Fehlers auf dem Intervall [, ] mittels des Restglieds in Lagrange scher Form: Für x [, ] existiert ein y zwischen 0 und x, so dass (4 P.) f(x) T 3 (x) = f(4) (y) x4 4!. Insbesondere ist y [, ]. Es gilt Damit ergibt sich folgende Abschätzung: max f(x) T 3 (x) x [, ] f (4) (x) = 4e x sin x. max max x [, ] y [, ] max y [, ] 4e y siny Bessere Abschätzungen sind ebenfalls möglich. f(4) (y) x4 4! ( ) 4 4! e 6 ( ) 4.