Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 1. Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1. Musterlösung = lim.

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1 Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite Technische Universität München Ferienkurs Analysis Hannah Schamoni Stetigkeit und Konvergenz Musterlösung Grenzwerte I Berechnen Sie lim f(), lim f() für f : R\{0} R, f() = 0± ± + 2 skizzieren Sie den Graphen. und lim f() = lim lim f() = lim 0 0 = lim = 2 = lim = lim f() = lim ± ± ± 2 + = 0, da + 2 >. 2. Grenzwerte II Bestimmen Sie, wenn möglich, die folgenden Grenzwerte: (a) lim 3 2 (b) lim (c) lim 9 0 (e) lim (f) lim (a) lim = lim 3 eistiert nicht. 3 3 (b) lim = lim = 2 (c) lim 0 (d) lim 0+ (e) lim = = = lim 2 = (f) lim 3 2 = (g) lim = lim = (g) lim 0 (d) lim

2 Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 2 3. Stetigkeit Sei f : [a, b] R stetig und streng monoton wachsend, d.h. aus < y folgt f() < f(y). Zeigen Sie: f : [a, b] [c, d] mit c := f(a) und d := f(b) ist bijektiv. Aus streng monoton wachsend folgt injektiv, denn aus y folgt, falls < y, dass f() < f(y), und für > y, dass f() > f(y), in jedem Fall also f() f(y). Zur Surjektivität. Sei z [c, d]. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein [a, b] mit f() = z. Also ist f surjektiv. 4. Unstetigkeit der Umkehrfunktion Sei D R beliebig, f : D [a, b] bijektiv, streng monoton steigend und stetig. Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass die Umkehrfunktion von f nicht stetig sein muss. { für [0, ) Ein Beispiel ist f : [0, ) [2, 3] [0, 2], f() = für [2, 3]. f ist stetig. { Die Umkehrfunktion f : [0, 2] [0, ) [2, 3] mit f für [0, ) () = + für [, 2] ist offenbar unstetig bei =. 5. Stetige Fortsetzungen (a) Ist f : R\{0} R, f() = sin ( ) stetig fortsetzbar? (b) Ist f : C\{} C, f(z) = zn z stetig fortsetzbar? (a) f ist stetig als Komposition stetiger Funktionen. Für n = πn ist f( n ) = 0. Für y n = ist f(y 2πn+ n) =. Somit eistiert lim f() 2 π 0 nicht (vgl. Korollar 2.2), f ist also nicht stetig fortsetzbar. z n (b) lim z z = lim ( + z + z z n ) = n (Polynomdivision; alternativ Satz von z l Hôpital) 6. Zwischenwertsatz (a) Jedes reelle Polynom von ungeradem Grade hat mindestens eine Nullstelle in R.

3 Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 3 (b) = besitzt eine Lösung in R. 4 + (c) Jedes stetige f : [0, ] [0, ] besitzt einen Fipunkt, d.h. es gibt ein [0, ] mit f() =. (a) Sei p() = n a k k, a n 0 und n ungerade. O.E. sei a n > 0. Als k=0 Polynom ist p stetig. Für 0 gilt p() = n ( a n + a n + a n a 0 n). Der Ausdruck in der Klammer konvergiert für ± gegen a n > 0. Somit gilt lim p() = ±. Es gibt also ein mit p( ) < 0 und ein ± + mit p( + ) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein 0 (, + ) mit p( 0 ) = 0. (b) Betrachte die Funktion f() = , die auf ganz R definiert 4 + und stetig ist, da die Wurzelfunktion auf R + stetig ist. Nun ist f(0) = 2 > 0 und f(2) = < 0. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt f eine Nullstelle 0 in (0, 2), 0 ist also eine Lösung der Gleichung. (c) Sei g() = f(). Dann ist auch g stetig. Weiter ist g(0) [0, ] und g() [, 0]. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein 0 [0, ] mit g( 0 ) = 0 bzw. f( 0 ) = Stetige Bilder Sei M R und f C(M). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antworten bzw. bringen Sie ein Gegenbeispiel. (a) Falls M R beschränkt ist, dann ist f(m) beschränkt. (b) Falls M R abgeschlossen ist, dann ist f(m) beschränkt. (c) Falls M R kompakt ist, dann ist f(m) beschränkt. (a) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: f : (0, ] R, f() =. (b) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: f : R R, f() =. (c) Die Aussage ist wahr. Dies lässt sich mit dem Satz von Maimum und Minimum begründen: f nimmt auf M sein Maimum und Minimum an, weshalb f(m) durch diese nach oben und unten beschränkt ist. 8. Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit (a) Seien D, E C und f : D C, g : E C gleichmäßig stetig mit f(d) E. Zeigen Sie, dass die Funktion g f : D C gleichmäßig stetig ist.

4 Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 4 (b)man zeige, dass die Funktion k (k ist eine natürliche Zahl > ) auf [0, ) gleichmäßig stetig ist, aber nicht Lipschitz-stetig. Hinweis: Für die gleichmäßige Stetigkeit benutze man die Ungleichung: k a k b k a b (ohne Beweis). (a) Sei ɛ > 0. Da g gleichmäßig stetig ist, gibt es δ > 0 so, dass g(y) g(y ) < ɛ y, y E mit y y < δ. Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es δ > 0 so, dass f() f( ) < δ, D mit < δ (Def. gleichmäßige Stetigkeit mit ɛ := δ ). Also folgt:, D mit < δ gilt: g(f()) g(f( )) < ɛ. (b) Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet: f() f( 0 ) = k k! 0 ɛ. Nach Hinweis gilt: k k 0 k 0 0 ɛ k =: δ. Damit folgt aus 0 < δ, dass k k 0 < ɛ ist. Das gewählte δ hängt nicht von 0 ab, also handelt es sich um gleichmäßige Stetigkeit, die für alle, 0 D gilt. Zur Lipschitz-Stetigkeit: Um zu zeigen, dass die Funktion nicht Lipschitzstetig ist, betrachte die Lipschitz-Stetigkeit am Nullpunkt, d.h. 0 = 0: k k 0 0 = k L, L > 0. k = k = k k 0 = k k! L Diese Bedingung ist nicht erfüllt für 0, weil dort ist die Funktion nicht Lipschitz-stetig. k. Somit 9. Gleichmäßige Stetigkeit II Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen gleichmäßig stetig sind: (a) f : R R, f() = 2 (b) f : [0 4, [ R, f() = (c) f : [ 2, 6] R, f() = (a) f : R R, f() = 2 ist nicht gleichmäßig stetig. Beweis(durch Widerspruch): Sei ɛ > 0. Annahme: Es gibt δ > 0, so dass für alle, 2 R mit 2 < δ gilt: f( ) f( 2 ) < ɛ. Wegen ( + δ 2 ) < δ würde dann folgen, dass f( + δ 2 ) f() < ɛ für alle R. Es gilt aber für δ/4: lim f( + δ ) f() = lim δ + δ2 4 2 = lim δ + δ 4 =, Widerspruch!

5 Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 5 (b) f : [0 4, [ R, f() = ist gleichmäßig stetig: Beweis: Sei ɛ > 0 und seien, Dann gilt: f( ) f( 2 ) = 2 = = Wählt man also δ = ɛ, so folgt aus 0 8, 2 [0 4, [, 2 < δ, dass f( ) f( 2 ) < ɛ. (c) f : [ 2, 6] R, f() = 20 8 ist stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen; außerdem ist das Intervall [ 2, 6] kompakt. Es folgt die gleichmäßige Stetigkeit (stetige Funktion auf Kompaktum). 0. Gleichmäßige Konvergenz Entscheiden Sie, ob die folgenden auf (0, ) definierten Funktionenfolgen nicht, punktweise oder sogar gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergieren. Geben Sie, falls eistent, die Grenzfunktion an. (a) a n = + n (b) b n = n (c) c n = e n e. (a) Die Funktionenfolge a n konvergiert punktweise gegen a() =, da für festes die Folge ( + n ) nach den Rechenregeln für Folgen gegen strebt. Die Konvergenz ist sogar gleichmäßig, denn unabhängig von ist ɛ > 0 a n a = + n = n < ɛ, falls n > N := ɛ. (b) Die Funktionenfolge b n konvergiert zunächst punktweise gegen die Nullfunktion b() = 0, da für jedes feste > 0 die Zahlenfolge ( n) nach den Rechenregeln für Folgengrenzwerte eine Nullfolge ist. Die Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig, denn angenommen, es gäbe zu ɛ = ein N N, welches nur von ɛ abhängt, so dass b n () 0 < n > N. Dann wählt man n = N + und = N + 2 (es muss ja für jedes > 0 gelten) und erhält den Widerspruch b n () 0 = N+2 > = ɛ. N+ (c) Die Funktionenfolge c n lässt sich umschreiben zu c n () = e + n. Nach (a) konvergiert ( + n ) für festes gegen und da die Eponentialfunktion stetig ist, konvergiert damit c n () (punktweise) gegen c() = e für n. Die Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig: Sei n > N. Dann gilt: c n () c() = e e n. Die rechte Seite der Gleichung ist dabei nicht Null und kann durch Erhöhung von beliebig groß gemacht werden, so dass sie jedes zuvor gewählte ɛ übersteigt. Also muss N in Abhängigkeit von gewählt werden.

6 Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 6. Gleichmäßige Konvergenz II (a)gegeben seien eine Funktionenfolge (f n ) und die Grenzfunktion f, wobei f n, f : R M R, n N. Zeigen Sie: Falls es ein ɛ > 0 und eine Folge ( n ) in M gibt, so dass f n ( n ) f( n ) ɛ für unendlich viele n, dann konvergiert f n nicht gleichmäßig gegen f auf M. (b) Sei M := [0, ], M 2 := [, 2] und f n () := n, R, n N. Berechnen +n 2 2 Sie die Grenzfunktion f von f n und entscheiden Sie, ob f n auf M bzw. M 2 sogar gleichmäßig gegen f konvergiert. (a) Wir nehmen an, dass f n auf M gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann gibt es zu jedem ɛ > 0 ein N N, so dass f n () f() < ɛ n > N, M. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, denn es gibt R mit f n () f() ɛ. Somit kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. (b) Für jedes feste R gilt f n () = n = +n 2 2 n n (n ). Somit konvergiert f n auf R punktweise gegen die Nullfunktion. Auf M ist die Konvergenz nicht gleichmäßig: Sei = n [0, ] und ɛ = 0, 5. Dann gilt: f n () f() = n n = 2 ɛ. +n 2 n 2 Nach (a) ist die Konvergenz also nicht gleichmäßig. Für M 2 ist die Konvergenz gleichmäßig: Sei ɛ > 0. Mit N = ɛ gilt für alle n > N und für alle M 2 : n f n () f() = +n 2 = n 2 < n = +n 2 2 n 2 2 n n < ɛ. 2. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Man zeige: Die Reihe f() = n n= konvergiert punktweise für jedes (0, ) n und sie konvergiert für jedes r (0, ) auf dem Intervall [ r, r] gleichmäßig. Es genügt, die gleichmäßige Konvergenz auf I = [ r, r] mit 0 < r < zu zeigen. Sei also r <. Dann gilt (Dreiecksungleichung): n r n n r < n rn r, da r n < r. Da die geometrische Reihe r n konvergiert, liefert der Konvergenzsatz von Weierstraß die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihe.