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1 $Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen, den sogenannten Zwischenwertsatz, und diesen verwendet das Intervallhalbierungsverfahren zu begründen. Wir werden jetzt auch noch zwei weitere wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen herleiten. Satz 9.6 (Beschränktheit stetiger Funktionen) Seien a, b R mit a < b und sei f : [a, b] R eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion f beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum in [a, b] an, d.h. es gibt u, v [a, b] mit f(u) f(x) f(v) für alle x [a, b]. Beweis: Angenommen die Funktion f wäre unbeschränkt. Sei n N. Dann kann nicht f(x) n für alle x [a, b] gelten, also existiert ein x n [a, b] mit f(x n ) > n. Dies definiert eine Folge (x n ) n N in [a, b] und nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass 6.Satz 17 existiert eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N dieser Folge. Bezeichne x R den Grenzwert von (x nk ) k N. Nach 6.Lemma 11 ist x [a, b] und da die Funktion f in x stetig ist, konvergiert (f(x nk )) k N gegen f(x). Insbesondere ist die Folge (f(x nk )) k N nach 6.Lemma 10 beschränkt. Andererseits ist f(x nk ) > n k für jedes k N und damit kann diese Folge nicht beschränkt sein. Dieser Widerspruch beweist die Beschränktheit der Funktion f. Wir zeigen nun das f sein Maximum in [a, b] annimmt. Da wir schon wissen das f beschränkt ist, existiert das Supremum s := sup{f(x) x [a, b]}. Sei n N. Wegen s 1/n < s ist s 1/n dann keine obere Schranke von f([a, b]), also existiert ein x n [a, b] mit f(x n ) > s 1/n. Wie oben existiert eine Teilfolge (x nk ) k N die gegen ein x [a, b] konvergiert. Da f in x stetig ist, konvergiert (f(x nk )) k N gegen f(x). Mit 6.Lemma 11 folgt s = lim k s 1 n k lim k f(x nk ) = f(x) s, d.h. es ist f(x) = s. Also nimmt die Funktion f ihr Maximum in x [a, b] an. Analog nimmt die Funktion auch ihr Minimum in [a, b] an. Für diesen Satz ist es entscheidend, dass f auf einem Intervall der Form [a, b] definiert ist, für andere Intervalltypen ist die Aussage falsch. Beispielsweise ist die Funktion 20-1

2 f : (0, 1] R; x 1/x stetig aber unbeschränkt. Als letzte Grundeigenschaft können wir jetzt die Stetigkeit der Umkehrfunktionen bijektiver stetiger Funktionen einsehen. Lemma 9.7 (Umkehrfunktionen stetiger Bijektionen) Seien a, b R mit a < b und f : [a, b] R eine stetige, streng monoton wachsende (fallende) Funktion. Dann ist f : [a, b] [f(a), f(b)] (f : [a, b] [f(b), f(a)]) bijektiv und die Umkehrfunktion f 1 : [f(a), f(b)] [a, b] (f 1 : [f(b), f(a)] [a, b]) ist wieder stetig und streng monoton wachsend (fallend). Beweis: Wir beweisen die Aussagen im monoton steigenden Fall, die andere Fall ist dann analog. Für alle x [a, b] ist f(a) f(x) f(b) da f monoton steigend ist, also f(x) [f(a), f(b)]. Ist umgekehrt y [f(a), f(b)] so gibt es nach dem Zwischenwertsatz Satz 5 ein x [a, b] mit f(x) = y. Damit ist f : [a, b] [f(a), f(b)] surjektiv. Da f streng monoton steigend ist, ist f auch injektiv denn sind x, y [a, b] mit x y, also etwa x < y, so ist auch f(x) < f(y) und insbesondere f(x) f(y). Somit ist f : [a, b] [f(a), f(b)] bijektiv. Es verbleibt die Stetigkeit der Umkehrfunktion f 1 : [f(a), f(b)] [a, b] zu beweisen. Sei also (y n ) n N eine Folge in [f(a), f(b)] die gegen ein y [f(a), f(b)] konvergiert. Angenommen (f 1 (y n )) n N konvergiert nicht gegen f 1 (y). Dann gilt nicht (ɛ > 0) (n 0 N) (n n 0 ) : f 1 (y n ) f 1 (y) < ɛ. Verneinen wir diese Aussage, so erhalten wir ein ɛ 0 > 0 so, dass (n N) (m n) : f 1 (y m ) f 1 (y) ɛ 0 gilt. Rekursiv können wir damit eine Teilfolge (y nk ) k N konstruieren so, dass f 1 (y nk ) f 1 (y) ɛ 0 für alle k N gilt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass 6.Satz 17 existiert eine weitere Teilfolge (y nkl ) l N so, dass die Folge (f 1 (y nkl )) l N gegen ein x R konvergiert, und nach 6.Lemma 11 ist auch x [a, b]. Da die Funktion f in x stetig ist, gilt auch f(x) = lim l f(f 1 (y nkl )) = lim l y nkl d.h. es ist x = f 1 (y). Insbesondere existiert ein l N mit = lim n y n = y, f 1 (y nkl ) f 1 (y) = f 1 (y nkl ) x < ɛ 0, im Widerspruch zur Wahl der Teilfolge (y nk ) k N. Dieser Widerspruch beweist die Konvergenz von (f 1 (y n )) n N gegen f 1 (y). Damit ist f 1 stetig. Dass f 1 auch streng monoton steigend ist, ist klar denn sind x, y [f(a), f(b)] mit x < y so folgte aus f 1 (x) f 1 (y) auch x = f(f 1 (x)) f(f 1 (y)) = y, d.h. es ist f 1 (x) < f 1 (y). 20-2

3 Sei beispielsweise n N gegeben. Dann ist die Funktion f : R 0 R 0 ; x x n streng monoton steigend und damit folgt das die Umkehrfunktion von f wieder stetig ist. Streng genommen kann Lemma 7 eigentlich nicht angewendet werden da es sich nicht um ein Intervall [a, b] handelt, aber Anwendung auf die Intervalle [0, m] mit wachsenden m N ergibt auch in diesem Fall die Aussage. Die Umkehrfunktion von f ist n : R 0 R 0 was somit ebenfalls eine stetige Funktion ist. 9.2 Die Potenzfunktion mit rationalen Exponenten In hatten wir die Exponentialfunktion als die auf ganz C konvergente Potenzreihe exp(z) = eingeführt und bereits behauptet das diese eine Potenzfunktion exp(z) = e z ist. Dies soll in den folgenden Abschnitten etwas näher begründet werden. Entscheidend hierfür wird die Funktionalgleichung 8.Satz 7 exp(z + w) = exp(z) exp(w) gültig für alle z, w C sein. Wir wissen bereits das exp(1) = z n 1 = e die in 7.3 eingeführte eulersche Zahl ist. Wir werden uns klarmachen, dass exp(x) für reelles x R tatsächlich die reelle Potenz e x ist. Dies machen wir in mehreren Schritten und beginnen mit dem Fall x = n Z ganzzahliger Exponenten. Potenzen mit natürlichen Exponenten n N hatten wir für jedes a R als a n = a... a }{{} n mal definiert. Für jedes n N erhalten wir durch mehrfache Anwendung der Funktionalgleichung exp(n) = exp(1 } + {{ + 1 } = exp(1)... exp(1) = exp(1) n = e n, }{{} n mal n mal für natürliches x = n N ist also exp(x) = e x. Für die noch fehlende natürliche Zahl x = 0 haben wir ebenfalls exp(0) = 1 = e 0 = e x. Um die Gleichung exp(x) = e x auch auf ganzzahliges x Z auszudehnen, werden wir erneut die Funktionalgleichung 20-3

4 verwenden. Sei nämlich n N. Dann wissen wir bereits exp(n) = e n und erhalten weiter 1 = exp(0) = exp(n + ( n)) = exp(n) exp( n) = e n exp( n) = exp( n) = 1 e n = e n. Damit gilt exp(x) = e x für alle ganzen Zahlen x Z. Im nächsten Schritt wollen wir dies auch noch auf rationales x Q ausdehnen und erinnern uns zunächst an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten. Eine rationale Zahl q Q konnten wir als Bruch q = m/n mit m Z, n N schreiben, und dann wurde für a > 0 a q = a m n := n a m = n a m definiert. Wir starten mit den Stammbrüchen, sei also q Q gegeben und schreibe q = m/n mit m Z, n N. Mit einer n-fachen Anwendung der Funktionalgleichung erhalten wir e m = exp(m) = exp(n q) = exp(q + + q) = exp(q)... exp(q) = exp(q) }{{} n, }{{} n mal n mal und dies bedeutet exp(q) = n e m = e m n = e q. Damit gilt exp(x) = e x auch für x = q Q. 9.3 Die Exponentialfunktion in R Die Überlegungen des letzten Abschnitts haben das folgende Lemma bewiesen: Lemma 9.8: Es gilt exp(q) = e q für alle q Q. Es verbleibt diese Formel auf allgemeine reelle Exponenten auszudehnen. Wie wird e x für x R\Q überhaupt definiert? Ist x R, so gibt es eine gegen x konvergente Folge (q n ) n N rationaler Zahlen. Dies gilt letztlich da die rationalen Zahlen Q nach 8.Satz 1 dicht in R sind. Haben wir jetzt eine solche Folge, so setze e x := lim n e qn. Natürlich gibt es einige zu lösende Probleme bei dieser Konstruktion, zum einen muss man zeigen das dieser Grenzwert überhaupt existiert und das er zum anderen nur von x und nicht von der speziell gewählten Folge (q n ) n N abhängt. All dies folgt aber aus den uns schon bekannten Tatsachen. Zunächst ist die die Exponentialfunktion Lemma 4.(e) stetig das sie durch eine Potenzreihe definiert wird. Außerdem wissen wir nach Lemma 8 bereits exp(q n ) = e qn für jedes n N, und somit folgt lim = lim exp(q n eqn n ) = exp( lim q n ) = exp(x). n n Damit ist exp(x) = e x für jedes x R. 20-4

5 9.4 Die Exponentialfunktion in C Nachdem wir im letzten Abschnitt exp(x) = e x für alle x R eingesehen haben, ist es nun naheliegend e z für komplexe Exponenten z einfach durch e z := exp(z) zu definieren wie es schon in vorweg genommen wurde. Wir wollen jetzt einige Eigenschaften dieser komplexen Exponentialfunktion herleiten. Satz 9.9: Die Exponentialfunktion exp : C C ist stetig. Beweis: Dies wissen wir bereits aus Lemma 4.(e). Bevor wir zu den Grundeigenschaften der komplexen Exponentialfunktion kommen, wollen wir noch eine Kleinigkeit über komplexe Reihen festhalten. Angenommen wir haben eine konvergente Reihe z n komplexer Zahlen. Gemäß 7.Lemma 5 wissen wir dann, dass auch die beiden reellen Reihen Re(z n) und Im(z n) konvergieren mit z n = Re(z n ) + i Im(z n ). Dann konvergieren aber auch die beiden Reihen und Re(z n ) = Im(z n ) = Re(z n ) ( Im(z n )) = Im(z n ), und eine erneute Anwendung von 7.Lemma 5 ergibt die Konvergenz von z n = Re(z n ) + i Im(z n ) = Mit dieser Vorbemerkung erhalten wir: Re(z n ) i Im(z n ) = Lemma 9.10 (Grundeigenschaften der komplexen Exponentialfunktion) Sei z C. Dann gelten e z = e Re(z) e i Im(z), e z = e z und e z = e Re(z). z n. Beweis: Wegen z = Re(z) + i Im(z) ergibt die Funktionalgleichung 8.Satz 7 der Exponentialfunktion e z = e Re(z)+i Im(z) = e Re(z) e i Im(z). 20-5

6 Weiter ist nach unserer Vorbemerkung und 4.Lemma 21 auch e z = 1 zn = 1 zn = 1 zn = e z. Für jedes x R folgt weiter e ix = e ix e ix = e ix e ix = e ix e ix = e ix ix = 1 = 1. Damit folgt schließlich e z = e Re(z) e i Im(z) = e Re(z) e i Im(z) = e Re(z). Wir können jetzt noch etwas weitergehen und die komplexe Exponentialfunktion vollständig auf reelle Größen zurückführen. Lemma 9.11 (Reelle Beschreibung der Exponentialfunktion) Für alle x, y R gilt e x+iy = e x (cos y + i sin y), insbesondere ist sin 2 y + cos 2 y = 1. Beweis: Sei y R. Dann haben wir e iy = (iy) n = n gerade (iy) n + n ungerade (iy) n. Durchläuft n die natürlichen Zahlen so durchläuft 2n die geraden Zahlen also ist n gerade (iy) n = (iy) 2n (2n)! = (i 2 ) n (2n)! y2n = ( 1) n (2n)! y2n = cos y, wobei wir die Beschreibung des Cosinus als Potenzreihe gemäß verwenden. Ebenso durchläuft 2n + 1 für n N die ungeraden natürlich Zahlen und somit ist n ungerade (iy) n = Insgesamt erhalten wir (iy) 2n+1 (2n + 1)! = i (i 2 ) n (2n + 1)! y2n+1 = i e iy = cos y + i sin y. ( 1) n (2n + 1)! y2n+1 = i sin y. Die restlichen Aussagen folgen jetzt mit Hilfe von Lemma 10. Zunächst ist sin 2 y + cos 2 y = cos y + i sin y 2 = e iy 2 =

7 und weiter e x+iy = e x e iy = e x (cos x + i sin y). Die Gleichung sin 2 y + cos 2 y = 1 kennen Sie natürlich bereits, bilden wir Sinus durch Cosinus durch Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen so ist dies gerade der Satz des Pythagoras. Der Wert der hier bewiesenen Aussage liegt darin das hier die trigonometrischen Funktionen in ihrer Form als Potenzreihen gemäß verwendet werden. Streng genommen wissen wir von diesen nicht, dass sie die normalen trigonometrischen Funktionen sind. Dass es sich tatsächlich um diese handelt werden wir nicht mehr vollständig begründen, aber wir werden zumindest einige Indizien hierfür sammeln. Der Definition von Sinus uns Cosinus als Potenzreihe sieht man nicht an, dass es sich hier um periodische Funktionen handelt. Auch dies werden wir nicht mehr zeigen, aber als einen ersten Schritt hierzu überlegen wie π ins Spiel kommt. Bei einem strengen methodischen Aufbau der Theorie tut man zunächst so, als wäre π noch gar nicht bekannt und müsste erst erfunden werden. Die geometrische Definition, etwa als Fläche des Einheitskreises, ist nicht besonders geeignet da man dann erst einmal exakt sagen müsste was Fläche eigentlich ist. Man behilft sich mit dem folgenden Trick. Lemma 9.12: Die Cosinusfunktion hat eine kleinste positive Nullstelle, die wir als π/2 definieren. Diese liegt zwischen 0 und 2. Auf einen Beweis wollen wir hier verzichten. Diese Methode π als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Cosinus zu definieren wirkt zugegebenermaßen recht gekünstelt und wenig natürlich. Technisch ist es aber ein relativ bequemer Weg, den Sie daher in vielen Einführungen in die Mathematik finden. Um jetzt zu zeigen, dass Sinus und Cosinus beide die Periode 2π haben, kann man mit Lemma 11 aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Additionstheorem für Sinus und Cosinus herleiten. Durch geschicktes Einsetzen spezieller Werte in diese Additonstheorem ergibt sich dann die Periodizität. Wie gesagt wollen wir dies nicht vollständig durchführen, und geben im nächsten Lemma nur einige erste Folgerungen an. Lemma 9.13: Es gelten e i π 2 = i, e iπ = 1 und e 2πi = 1. Beweis: Mit cos(π/2) = 0 ergibt sich über Lemma 11 auch 1 = sin 2 π 2 + cos2 π 2 = sin2 π 2, also sin(π/2) = 1. Eigentlich gibt es auch noch die Möglichkeit sin(π/2) = 1, durch Rechnen mit der Reihe sin π 2 = ( 1) n ( π ) 2n+1 (2n + 1)!

8 kann man unter Ausnutzung von 0 π/2 2 aber sin(π/2) > 0 zeigen. Dies wäre eine Übungsaufgabe falls das Semester etwas mehr Termine hätte. Einsetzen in Lemma 11 ergibt e i π π 2 = cos 2 + i sin π 2 = i. Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion folgen jetzt weiter e iπ = e i π 2 +i π 2 = ( e i π 2 ) 2 = i 2 = 1 und e 2πi = e iπ+iπ = (e iπ ) 2 = ( 1) 2 = 1. Hieraus folgt weiter das für jedes z C die Gleichung e z+2πi = e z e 2πi = e z gilt, die komplexe Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode 2πi. 9.5 Die Logarithmusfunktion Wir haben bereits die Potenzen e x von e für alle reellen Zahlen x R mit Hilfe der Exponentialfunktion als e x = exp(x) beschrieben. Dieses Ergebnis wollen wir jetzt auf allgemeine reelle Potenzen a x mit a, x R, a > 0 ausdehnen. Als ein Hilfsmittel hierzu benötigen wir den reellen Logarithmus, dies ist die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion. Zunächst machen wir uns klar das die Exponentialfunktion auf R streng monoton steigend ist. Für x R mit x > 0 gilt e x x n = > 1 > 0 da x n > 0 für alle n N ist. Ebenso ist e 0 = 1 > 0. Außerdem ist auch 1 = e 0 = e x x = e x e x = e x = 1 e x > 0. Damit haben wir e x > 0 für überhaupt alle x R. Jetzt ergibt sich auch leicht das die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist. Seien nämlich x, y R mit x < y gegeben. Dann ist y x > 0 und wir haben bereits e y x > 1 eingesehen. Mit der Funktionalgleichung folgt e y = e y x+x = e y x e x > 1 e x = e x. Wir müssen uns noch überlegen was das Bild exp(r) ist. Für jedes m N haben wir e m = 1 + m + n=2 m n > 1 + m, also lim m em =

9 Dies ergibt weiter auch 1 lim m e m = lim m e = 0. m Da die Exponentialfunktion nach Satz 9 stetig ist, folgt mit dem Lemma über Umkehrfunktionen Lemma 7 das exp : R R >0 bijektiv ist, und eine stetige, streng monoton steigende Umkehrfunktion ln : R >0 R besitzt. Diese Umkehrfunktion ist der sogenannte natürliche Logarithmus. Auch der natürlich Logarithmus erfüllt eine Funktionalgleichung die aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion folgt. Sind x, y R >0, so haben wir exp(ln x + ln y) = exp(ln x) exp(ln y) = x y, also ln(xy) = ln x + ln y. 9.6 Exponential und Logarithmusfunktionen zur allgemeinen Basis Wie schon angekündigt wollen wir jetzt a x für a, x R mit a > 0 definieren. Definition 9.14: Für a, x R mit a > 0 definiere die Potenz a x := exp(x ln(a)). Um zu sehen, dass dies für x = q Q mit den gewöhnlichen Potenzen übereinstimmt, halten wir erst einmal die Gleichung (a x+y ) y = a x a y für alle a, x, y R mit a > 0 fest. Diese läßt sich leicht nachrechnen a x+y = e (x+y) ln(a) = e x ln(a)+y ln(a) = e x ln(a) e y ln(a) = a x a y. Außerdem ist a 1 = e ln a = a. Jetzt folgt genau wie in den Überlegungen zu e x das a q für q Q die gewöhnliche Potenz von a zum Exponenten q. Um dies einzusehen brauchten wir ja nur die Funktionalgleichung für e x und diese haben wir jetzt auch für a x eingesehen. Mit den Erhaltungseigenschaften der Stetigkeit aus Lemma 4 folgt auch die Stetigkeit der Funktion f(x) = a x und dies ergibt wie im Fall der Exponentialfunktion a x = lim a qn n für jede gegen x konvergente Folge (q n ) n N rationaler Zahlen. Damit sind allgemeine reelle Potenzen etabliert. 20-9

10 Es gibt auch Logarithmen zu beliebiger Basis 0 < a 1. Für x, y R mit y > 0 haben wir nämlich a x = y e x ln(a) = y ln(y) = x ln(a) x = ln(y) ln(a). Damit ist auch die Funktion f(x) = a x bijektiv mit der Umkehrfunktion log a (y) = ln(y) ln(a)