3 Die komplexen Grundfunktionen

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1 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 $Id: grundf.tex,v /05/18 07:49:5 hk Exp $ 3 Die komplexen Grundfunktionen 3.1 Die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen In der letzten Sitzung hatten wir die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion e z = begonnen. Bisher haben wir einige der bekannten Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion auf die komplexe Situation übertragen können. An dieser Stelle wollen wir nun zwei weitere Eigenschaften von exp festhalten, die in der reellen Situation nicht vorkommem. Wir beginnen mit der Verträglichkeit der Exponentialfunktion mit der komplexen Konjugation, für jedes z C gilt nämlich exp(z) = z n n! z n n! = z n n! = exp(z). Erinnern wir uns nun an den Zusammenhang zwischen Konjugation und dem komplexen Betrag, also an die Formel z = zz für alle z C, so ergibt sich aus der eben bewiesenen Konjugationsformel zusammen mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion sofort auch eine Formel für den Betrag von e z. In der Tat, für jedes z C rechnen wir e z = e z e z = e z e z = e z+z = e Re z = e Re z. Es gibt noch eine weitere grundlegende Eigenschaft von exp, nämlich die überraschende Tatsache das die Exponentialfunktion in der komplexen Situation periodisch ist. Dies können wir an dieser Stelle aber noch nicht bequem einsehen, daher stellen wir es zurück bis uns die komplexen Varianten der trigonometrischen Funktionen zur Verfügung steten. Auf dem Weg dahin führen wir erst einmal zwei der Hyperbelfunktionen ein, nämlich den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus. Diese werden einfach durch die übliche Formel in Termen von e z eingeführt, d.h. wir definieren sinh : C C; z ez e z und cosh : C C; z ez + e z. Insbesondere stimmen diese beiden Funktionen für reelle Argumente z R mit den entsprechenden reellen Funktionen überein. Den Tangens Hyperbolicus, also den Quotienten von Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus, wollen wir an dieser Stelle 11-1

2 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 noch nicht einführen, da wir noch nicht wissen wo die Nullstellen von cosh liegen, und wir daher den Definitionsbereich von sinh z/ cosh z noch nicht hinschreiben können. Wir leiten erst einmal die Grundeigenschaften von sinh und cosh aus denen der Exponentialfunktion her. Für jedes z C sind zunächst e z = z n n! und e z = ( 1) n zn n! und damit ergeben sich auch die Potenzreihendarstellungen sinh z = z n+1 (n + 1)! und cosh z = z n (n)!. Mit den Ableitungsregeln und der Gleichung exp = exp folgt das auch sinh und cosh holomorph sind mit den Ableitungen sinh = cosh und cosh = sinh. Die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit der Exponentialabbildung liefert für jedes z C auch die Formeln sinh z = ez e z = ez e z = sinh z und analog cosh z = cosh z. Ebenfalls klar sind sinh(0) = 0, cosh(0) = 1 und sinh( z) = sinh(z), cosh( z) = cosh(z) sowie cosh(z) + sinh(z) = e z, cosh(z) sinh(z) = e z für alle z C. Insbesondere erhalten wir für jedes z C die für die Hyperbelfunktionen namensgebende Formel cosh z sinh z = (cosh(z) sinh(z)) (cosh(z) + sinh(z)) = e z e z = 1. Außerdem ergibt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen, sind z, w C, so haben wir sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w) = 1 4 ((ez e z )(e w + e w ) + (e z + e z )(e w e w )) = 1 4 (ez+w e z w ) = sinh(z + w). Das Additionstheorem des Cosinus Hyperbolicus könnten wir analog herleiten, einfacher ist es aber dieses durch Ableiten aus dem eben bewiesenen Additionstheorem des Sinus Hyperbolicus zu gewinnen. Ist w C fixiert, so folgt durch Ableiten der obigen Gleichung nach z C nämlich cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w), 11-

3 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 und dies ist das gesuchte Additionstheorem für cosh. Damit haben wir die Grundformeln der Hyperbelfunktionen eingesehen. Im nächsten Schritt führen wir dann die komplexen trigonometrischen Funktionen ein. Genau wie bei den Hyperbelfunktionen beschränken wir uns zunächst auf Sinus und Cosinus, da wir die komplexen Nullstellen des Cosinus noch nicht kennen, und daher auch noch keinen Definitionsbereich für den komplexen Tangens haben. In der hier behandelten komplexen Situation stellen sich die trigonometrischen Funktionen als umskalierte Hyperbelfunktionen heraus. Das ist nicht besonders überraschend, genauso wie die Hyperbelfunktionen der Parametrisierung einer Hyperbel dienen sind die trigonometrischen Funktionen die Parametrisierung eines Kreises, und über C sind Kreise und Hyperbeln dasselbe. Explizit definieren wir sin : C C; z 1 i sinh(iz) und cos : C C; z cosh(iz). Die Eigenschaften des Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus liefern für alle z C sofort auch entsprechende trigonometrische Formeln: sin z = 1 ( 1) n i ( 1) n i (n + 1)! zn+1 = (n + 1)! zn+1, ( 1) n cos z = (n)! zn, sin z = cosh(iz) = cos z, cos z = i sinh(iz) = 1 i sinh(iz) = sin z, sin( z) = 1 i sinh( iz) = 1 sinh(iz) = sin z, i cos( z) = cosh( iz) = cosh(iz) = cos z, sin z = 1 i sinh(iz) = 1 i sinh( iz) = 1 i sinh(iz) = sin z, cos z = cosh(iz) = cosh( iz) = cosh(iz) = cos z. Die beiden Potenzreihendarstellungen zeigen insbesondere das sin z und cos z für reelle Argumente z R mit dem reellen Sinus beziehungsweise Cosinus übereinstimmen, die Namensgebung für diese Funktionen ist also gerechtfertigt. Im nächsten Schritt können wir die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus aus denen der entsprechenden Hyperbelfunktionen herleiten, es gelten sin z + cos z = cosh (iz) sinh (iz) = 1, sin(z + w) = 1 i sinh(iz + iw) = 1 i sinh(iz) cosh(iw) + 1 cosh(iz) sinh(iw) i = sin z cos w + cos z sin w, cos(z + w) = cosh(iz + iw) = cosh(iz) cosh(iw) + sinh(iz) sinh(iw) = cosh(iz) cosh(iw) 1 sinh(iz) sinh(iw) i = cos z cos w sin z sin w 11-3

4 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 für alle z, w C. Damit haben wir jetzt alles beisammen um wieder zur Exponentialfunktion zurückkehren zu können. Wir haben Sinus und Cosinus in Termen von Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus definiert und letztere wurden wiederum mittels der Exponentialfunktion erklärt. Wir können den Kreis jetzt schließen und die Exponentialfunktion ihrerseits in Termen von Sinus und Cosinus ausdrücken, für jedes z C haben wir nämlich e iz = cosh(iz) + sinh(iz) = cosh(iz) + i 1 i sinh(iz) = cos z + i sin z. Setzen wir hier speziell ein reelles t R ein, so ergibt sich Für alle r, t R ist weiter e it = cos t + i sin t, also insbesondere e iπ = 1, e πi = 1. e r+it = e r e it = e r cos t + ie r sin t und die komplexe Exponentialfunktion ist vollständig in reellen Größen ausgedrückt. Aus der Gleichung e πi = 1 folgen weiter die Periodizitätseigenschaften unserer Grundfunktionen. Für alle z C sind e z+πi = e z e πi = e z sowie e z+πi = e z e iπ = e z, insbesondere hat die Exponentialfunktion damit die Periode πi. Diese Perioden übertragen sich auf die aus der Exponentialfunktion abgeleiteten Hyperbelfunktionen, d.h. für jedes z C sind auch sinh(z + πi) = ez+πi e z πi cosh(z + πi) = ez+πi + e z πi sinh(z + πi) = ez+πi e z πi cosh(z + πi) = ez+πi + e z πi = ez e z = ez + e z = ez + e z = ez e z = sinh z, = cosh z, = sinh z, = cosh z. Die trigonometrischen Funktionen waren umskalierte Versionen der Hyperbelfunktionen, und entsprechend übertragen sich die Perioden der Hyperbelfunktionen mit einer kleinen Umskalierung auf Sinus und Cosinus, d.h. für alle z C haben wir sin(z + π) = 1 i sinh(iz + πi) = 1 sinh(iz) = sin z, i cos(z + π) = cosh(iz + πi) = cosh(iz) = cos z, sin(z + π) = 1 i sinh(iz + πi) = 1 sinh(iz) = sin z, i cos(z + π) = cosh(iz + πi) = cosh(iz) = cos z. 11-4

5 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 Die aus dem Reellen vertrauten Perioden bestehen also auch in der komplexen Situation weiter. Weitere Eigenschaften dieses Typs lassen sich dann wie gewohnt mittels der Additionstheoreme herleiten, damit erhält man dann beispielsweise Formeln wie ( sin z + π ) = sin z cos π + cos z sin π = cos z für alle z C. Die Periodizitätseigenschaften hätten wir natürlich ebenso aus den Additionstheoremen herleiten können. Wir kommen jetzt wieder zur Exponentialfunktion zurück. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion besagt in algebraischen Begriffen ausgedrückt, dass exp ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe von C in die multiplikative Gruppe von C ist. Diese Tatsache wollen wir zusammen mit einigen weiteren Abbildungeseigenschaften von exp im nächsten Satz zusammenfassen. Zur Formulierung dieses Satzes wollen wir nur an eine kleine Notation erinnern, die wir schon im letzten Semester in III. 4.4 im Zusammenhang mit den Polarkoordinaten eingeführt haben. Wir hatten die sogenannte geschlitzte komplexe Ebene C als die offene Menge C := C\R 0 = {z C Im(z) 0 Re(z) > 0} eingeführt. Satz 3.1 (Die komplexe Exponentialfunktion) Die Funktion exp : (C, +) (C\{0}, ) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit dem Kern πiz. Insbesondere gilt für z, w C genau dann e z = e w wenn es ein n Z mit w = z + πin gibt. Ist weiter U := R ( π, π) = {z C : Im z < π}, so ist U C offen und exp : U C ist bijektiv. Beweis: Die Funktionalgleichung e z+w = e z e w für alle z, w C bedeutet gerade das exp : (C, +) (C\{0}, ) ein Gruppenhomomorphismus ist. Wegen e πi = 1 ist auch πiz Kern(exp). Nun sei umgekehrt ein z Kern(exp) gegeben, d.h. e z = 1. Dann ist auch 1 = e z = e Re z, also Re z = 0. Somit ist z = it mit einem t R, und es folgt weiter cos t + i sin t = e it = 1, also sin t = 0 und cos t = 1. Insbesondere ist t = nπ für ein n Z und 1 = cos t = cos(nπ) = ( 1) n, also ist n gerade, d.h. n Z und somit z = πin πiz. Damit haben wir Kern(exp) = πiz eingesehen. Für z, w C folgt weiter auch das genau dann e z = e w gilt wenn e w z = 1 ist, wenn wir also w z Kern(exp) = πiz haben. Es verbleibt die Aussagen über die Menge U sowie die Surjektivität von exp als Abbildung nach C\{0} einzusehen. Dass U offen ist, ist dabei klar. Wir betrachten weiter die etwas größere Menge U := R ( π, π] = {z C π < Im z π} mit U U. Ist z U, so gilt für jedes n N\{0} stets Im(z + πin) = Im z + πn Im z + π > π 11-5

6 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 und Im(z πin) = Im z πn Im z π π, d.h. es ist z + πin / U. Damit ist U (z + πiz) = {z} und exp U : U C\{0} ist injektiv. Weiter behaupten wir das auch exp(u ) = C\{0} gilt. Sei nämlich w C\{0} gegeben. Setzen dann r := w > 0 und schreibe w/r = x + iy mit x, y R. Wegen w/r = w /r = 1 ist x + y = 1, also insbesondere x 1 und somit existiert ein t [0, π] mit x = cos t. Weiter haben wir dann auch y = 1 x = 1 cos t = sin t, und es können zwei verschiedene Fälle auftreten. Fall 1. Es ist sin t = y. Dann haben wir die komplexe Zahl z := ln r + it U mit e z = e ln r (cos t + i sin t) = r(x + iy) = w. Fall. Es ist sin t y und dann haben wir sin t = y 0, also auch 0 < t < π da sin 0 = sin π = 0 ist. Folglich ist π < t < 0 und wir erhalten die komplexe Zahl z := ln r it U mit e z = e ln r (cos( t) + i sin( t)) = r(cos t i sin t) = r(x + iy) = w. Damit haben wir exp(u ) = C\{0} bewiesen, und insbesondere ist exp : C C\{0} surjektiv und exp U : U C\{0} bijektiv. Wegen U \U = {t+iπ t R} und e t+iπ = e t e iπ = e t für alle t R ist exp(u \U) = R <0 und somit exp(u) = (C\{0})\R <0 = C\R 0 = C. Unser Beweis der Surjektivität ist natürlich im wesentlichen genau der ihnen aus Analysis I vertraute Beweis der Surjektivität der Polarkoordinaten. Tatsächlich sind die komplexe Exponenialfunktion und die Polarkoordinaten bis auf eine Skalarierung genau dasselbe, bezeichnet ϕ : R R die Polarkoordinaten, so ist exp(r + iφ) = ϕ(e r, φ) für alle r, φ R. Wir kommen zum Abschluß dieses Abschnitts noch kurz zu den beiden noch fehlenden trigonometrischen beziehungsweise Hyperbelfunktionen. Zunächst einmal bestimmen wir die Nullstellen von Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus. Für jedes z C ist sinh z = 0 ez e z = 0 e z = 1 z iπz, nach Satz 1, die Nullstellen des Sinus Hyperbolicus sind also genau die Vielfachen von πi. Die Nullstellen des Cosinus Hyperbolicus können wir hierauf zurückführen, für jedes z C gilt ja cosh z = cosh( z) = cosh(i z) = cos(iz) = sin ( iz + π ) = 1 ( i sinh i z + iπ ) = 1i sinh ( iπ z ), also ist auch ( ) iπ cosh z = 0 sinh z = 0 z iπ + iπz. 11-6

7 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 Damit können wir jetzt den Tangens Hyperbolicus und den Cotangens Hyperbolicus einführen als ( ) 1 tanh : C\iπ + Z C; z sinh z cosh z und coth : C\iπZ C; z cosh z sinh z. Auch diese beiden Funktionen sind als Quotienten holomorpher Funktionen wieder holomorph, und mit der Quotientenregel ergeben sich ihre Ableitungen für alle z C die im jeweiligen Definitionsbereich liegen als und tanh z = cosh z sinh z cosh z coth z = sinh z cosh z sinh z Für alle z C\iπ ( 1 + Z) haben wir weiter tanh z = ( ) sinh z cosh z = 1 tanh z = 1 cosh z = 1 coth z = 1 sinh z. = sinh z cosh z = sinh z cosh z tanh( z) = sinh( z) cosh( z) = sinh z = tanh z, cosh z tanh(z + iπ) = sinh(z + iπ) cosh(z + iπ) = sinh z cosh z = tanh z und analog sind für z C\iπZ auch = tanh z, coth z = coth z, coth( z) = coth z und coth(z + iπ) = coth(z). Schließlich ergeben sich auch wieder die Additionstheoreme, sind z, w C\iπ ( 1 + Z) mit z + w / iπ ( 1 + Z), so haben wir tanh(z + w) = sinh(z + w) cosh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w cosh z cosh w + sinh z sinh w und sind z, w C\iπZ mit z + w / iπz, so folgt analog coth(z + w) = 1 + coth z coth w coth z + coth w. = tanh z + tanh w 1 + tanh z tanh w Schließlich wollen wir zu Tangens und Cotangens kommen. Für alle z C sind sin z = sinh(iz)/i und cos z = cosh(iz), also sin z = 0 sinh(iz) = 0 z Zπ und cos z = 0 cosh(iz) = 0 z π + Zπ. 11-7

8 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 Damit haben Sinus und Cosinus genau die schon aus dem Reellen bekannten Nullstellen und es kommen keine weiteren komplexen Nullstellen hinzu und somit sind auch Tangens und Cotangens außerhalb der reellen Nullstellen von Cosinus beziehungsweise Sinus definiert tan : C\π ( ) 1 + Z C; z sin z cos z und cot : C\πZ C; z cos z sin z. Wir können diese beiden Funktionen auch direkt auf die entsprechenden Hyperbelfunktionen zurückführen, für z C\π ( 1 + Z) ist und für z C\πZ ist ebenso tan z = sin z cos z = sinh(iz) i cosh(iz) = 1 i tanh(iz) cot z = cos z sin z = i cosh(iz) sinh(iz) = i coth(iz). Aus den entsprechenden Eigenschaften der Hyperbelfunktionen folgen dann auch tan z = tanh (iz) = 1 tanh (iz) = i tanh (iz) ( ) 1 = 1 + i tanh(iz) = 1 + tan z oder tan 1 z = cosh (iz) = 1 cos z, tan z = 1 i tanh(iz) = 1 i tanh( iz) = 1 i tanh(iz) = tan z, tan( z) = 1 i tanh( iz) = 1 i tanh(iz) = tan z, tan(z + π) = 1 i tanh(iz + iπ) = 1 i tanh(iz) = tan z für alle z C\π ( 1 + Z) und analog cot z = coth (iz) = (1 coth (iz)) = (1 + i coth (iz)) = (1 + (i coth(iz)) ) = (1 + cot z), cot z = 1 sinh (iz) = i sinh (iz) = 1 sin z, cot z = cot z, cot( z) = cot(z), cot(z + π) = cot z 11-8

9 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 für alle z C\πZ. Für z, w C\π ( 1 + Z) mit z + w / π ( 1 + Z) ist schließlich auch tan(z + w) = 1 i tanh(iz + iw) = 1 tanh(iz) + tanh(iw) i 1 + tanh(iz) tanh(iw) 1 i = tanh(iz) + 1 tanh(iw) i 1 1 tanh(iz) tanh(iw) i und ebenso gilt für z, w C\πZ mit z + w / πz auch = tan z + tan w 1 tan z tan w 1 + coth(iz) coth(iw) cot(z + w) = i coth(iz + iw) = i coth(iz) + coth(iw) = 1 i coth(iz) coth(iw) i coth(iz) + i coth(iw) = cot z cot w 1 cot z + cot w. 3. Der komplexe Logarithmus In vorigen Abschnitt haben wir die direkt definierten Grundfunktionen eingeführt. Die noch fehlenden Grundfunktionen, also der Logarithmus, die Arcus- und die Areafunktionen sind dagegen als Umkehrfunktionen definiert. Genau wie sich all die bisher behandelten Grundfunktionen auf die Exponentialfunktion zurückführen ließen, kann man die noch ausstehenden Grundfunktionen alle in Termen des komplexen Logarithmus ausdrücken. In Satz 1 haben wir gesehen das exp : U C auf der offenen Menge U := R ( π, π) bijektiv ist. Damit haben wir auch eine Umkehrabbildung ln := (exp U) 1 : C U, die als komplexer Logarithmus, oder genauer als der sogenannte Hauptzweig des komplexen Logarithmus, bezeichnet wird. Andere Zweige des Logarithmus erhält man indem die Einschränkungen von exp auf andere offene Mengen umgekehrt werden. Der Hauptzweig hat die angenehme Eigenschaft das seine Einschränkung auf R >0 C der gewöhnliche reelle Logarithmus ist. Wir wollen einsehen das auch der komplexe Logarithmus holomorph ist und seine Ableitung berechnen. Hierzu führen wir erst einmal einen Namen für holomorphe Funktionen mit holomorpher Umkehrabbildung ein. Definition 3.1 (Biholomorphe Funktionen) Seien U, V C offen. Eine bijektive Funktion f : U V heißt biholomorph wenn f und f 1 beide holomorph sind. Zum Test auf Biholomorphie reicht es wie in der reellen Situation zu überprüfen das die Ableitung keine Nullstellen hat. Lemma 3. (Charakterisierung biholomorpher Funktionen) Seien U, V C offen und f : U V eine holomorphe Funktion. Dann ist f genau dann biholomorph wenn f bijektiv ist und f (z) 0 für jedes z U gilt. In diesem Fall ist dann (f 1 ) 1 (z) = f (f 1 (z)) 11-9

10 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 für jedes z V. Beweis: = Dass f bijektiv ist, ist klar. Leiten wir die Gleichung f 1 f = id U auf beiden Seiten ab, so folgt für jedes z U (f 1 ) (f(z)) f (z) = 1 also auch f (z) 0 und (f 1 ) (f(z)) = 1 f (z). Für z V ergibt sich hieraus schließlich (f 1 ) (z) = (f 1 ) (f(f 1 (z))) = 1 f (f 1 (z)). = Die Funktion f ist bijektiv und reell stetig differenzierbar. Für jedes z U ist die reelle Ableitung Df(z) von f in z nach III. 8.Satz 3 gleich der Multiplikation mit f (z), d.h. Df(z)w = f (z) w für jedes w C, und wegen f (z) 0 ist Df(z) damit eine invertierbare -Matrix mit Df(z) 1 w = w/f (z) für jedes w C. Nach dem Satz über Umkehrfunktionen aus Analysis II ist somit auch f 1 : V U stetig reell differenzierbar und für jedes z V und alle w C ist Df 1 (z)w = Df(f 1 (z)) 1 w = w f (f 1 (z)), d.h. auch Df 1 (z) ist die Multiplikation mit einer komplexen Zahl. Nach III. 8.Satz 3 ist somit auch f 1 : V U holomorph und insgesamt ist f biholomorph. Wegen exp z = e z 0 für jedes z C ist dieser Satz auf die Exponentialfunktion anwendbar und es ergibt sich Satz 3.3 (Der Hauptzweig des komplexen Logarithmus) Sei U := {z C : Im z < π}. Dann ist die Funktion exp U : U C biholomorph. Der komplexe Logarithmus ln : C U ist holomorph und für jedes z C gilt ln z = 1 z. Beweis: Die ersten beiden Aussagen sind klar nach Satz 1 und Lemma. Ebenfalls nach Lemma gilt für jedes z C stets ln z = 1 exp (ln z) = 1 exp(ln z) = 1 z. Wir kommen noch einmal auf den Zusammenhang zwischen Polarkoordinaten und der komplexen Exponentialfunktion zurück. Bezeichnet ϕ : R R die Polarkoordinaten, 11-10

11 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 so hatten wir schon gesehen das für alle r, φ R die Gleichung exp(r + iφ) = ϕ(e r, φ) gilt. Wir wissen auch das die Polarkoordinaten ϕ : R >0 ( π, π) C bijektiv sind. Ist z C, so können wir also z = r cos φ + ir sin φ = re iφ mit eindeutig bestimmten r > 0 und φ ( π, π) schreiben. Dabei ist r = z der Betrag und φ = arg z wurde als das Argument der komplexen Zahl z bezeichnet. Wir erhalten die komplexe Zahl ln r + iφ U mit d.h. es gilt exp(ln r + iφ) = re iφ = z, ln z = ln r + iφ = ln z + i arg z. Insbesondere haben wir damit eine oft nützliche Formel für das Argument, nämlich arg z = Im(ln z). Die Funktionalgleichung des Logarithmus ist etwas diffiziler als wir dies aus dem reellen Fall gewöhnt sind, das liegt daran das die geschlitzte Ebene C multiplikativ nicht abgeschlossen ist. Wir betrachten einmal die komplexe Zahl z := e 3 4 iπ = 1 (i 1). Dann ist also sind z = e 3 iπ = i = e 1 iπ, ln(z z) = ln( i) = 1 iπ aber ln z + ln z = 3 iπ, d.h. wir haben ln(z z) ln z + ln z. Die Funktionalgleichung des Logarithmus gilt also nicht uneingeschränkt. In vielen Fällen ist sie trotzdem wahr, wir haben: Lemma 3.4 (Funktionalgleichung des Logarithmus) Für alle z, w C mit arg z + arg w < π ist zw C und ln(zw) = ln z + ln w. Beweis: Schreibe z = re iφ und w = se iψ mit r = z, s = w, φ = arg z und ψ = arg w. Dann sind φ < π, ψ < π und φ + ψ < π, also ist auch mit u := ln z + ln w = ln r + ln s + i(φ + ψ) R ( π, π) exp(u) = e ln r+ln s e iφ+iψ = re iφ se iψ = zw. Hieraus folgen zw C und ln(zw) = u = ln z + ln w. Haben wir erst einmal Logarithmen, so können wir auch Potenzen einführen. Für z C und w C definieren wir die komplexe Potenz z w als z w := e w ln z

12 Analysis IV, SS 01 Freitag 18.5 Genauer spricht man hier auch wieder vom Hauptzweig der Potenzfunktion, nehmen wir andere Zweige des Logarithmus so erhält man auch andere Potenzen. Als ein Beispiel nehmen wir ln i = iπ/ und berechnen i i = e i ln i = e i π = e π/. Da die Funktionalgleichung des Logarithmus nur eingeschränkt gilt, sind auch die Potenzrechenregeln nur unter einer kleinen Einschränkung gültig. Für alle z C, w, w C gilt sofort z w z w = e w ln z e w ln z = e (w+w ) ln z = z w+w diese Regel ist also unkritisch. Die Regel für (zz ) w ist problematischer. Haben wir z, z C mit arg z + arg z < π, so gilt nach Lemma 4 auch zz C und ln(zz ) = ln z + ln z, also folgt für alle w C auch (zz ) w = e w ln(zz ) = e w(ln z+ln z ) = e w ln z e w ln z = z w z w. Die Formeln für iterierte Potenzen sind komplizierter und sollen hier nicht behandelt werden. Hat man erst einmal Potenzen, so hat man auch Wurzeln, für jedes n N mit n 1 können wir den Hauptzweig der n-ten Wurzel als die holomorphe Funktion n : C C; z z 1/n = e 1 n ln z definieren. Für jedes z C gilt dann mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ( n ( ) n z) n = e 1 n ln z = e ln z = z, es handelt sich bei n z wirklich um eine n-te Wurzel von z. Der Hauptzweig der n- ten Wurzel wählt unter den n komplexen Wurzeln von z C in holomorpher Weise eine spezielle Wurzel aus. Die Rechenregeln für diese Wurzeln unterliegen denselben Einschränkungen wie diejenigen für allgemeine Potenzen. Sind z, z C mit arg z + arg z < π, so erhalten wir n zz = (zz ) 1/n = z 1/n z 1/n = n z n z. 11-1