Natürliche, ganze und rationale Zahlen

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1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!) bettet sich die Menge N der natürlichen Zahlen jedoch in die Menge R der reellen Zahlen per Zuordnung n n R = n-mal {}}{ ein. Wir identifizieren n mit n R. Somit N R. Die Menge Z der ganzen Zahlen besteht aus allen Differenzen m n mit m, n N. Somit Z R. Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allen Quotienten m n mit m, n Z, n 0. Somit Q R. 1

2 Das Archimedische Axiom Eine wichtige Eigenschaft der Anordnung der rellen Zahlen wird durch das Archimedische Axiom ausgedrückt: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n mit. x n Das Axiom beschreibt, wie die Menge N der natürlichen Zahlen in derjenigen R der reellen Zahlen gelegen ist. 2

3 Folgerungen I (1) Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine ganze Zahl n mit n x < n + 1. Es ist n durch x eindeutig bestimmt. Schreibweise: n =: [x]. Beweis: Wähle n Z minimal mit x < n + 1. (2) Sind x, y > 0, so existiert n N mit n x > y. Beweis: Wähle n N mit y x < n. y < n x. Multiplikation mit x > 0 zeigt 3

4 Folgerungen II Die n-te Potenz einer rellen Zahl a ist a n := n mal {}}{ a a a. (3) Sei a > 1, dann gibt es zu jedem reellen M > 0 eine natürliche Zahl n, so dass a n > M. Beweis: Schreibe a = 1 + x mit x > 0 und wende (Übungen) die Bernouillische Ungleichung a n = (1 + x) n 1 + n x an. Wegen (2) gibt es ein n N mit n x > M 1. Es folgt a n 1 + n x > M. 4

5 Rückschau: Reelle Zahlen Fassen wir zusammen: Die rellen Zahlen bilden eine Menge R mit zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, so dass (R, +,.) den Eigenschaften (A1) (A4) für die Addition, (M1) (M4) für die Multiplikation und dem Distributivgesetz (D) genügt. Ferner ist auf R eine mit Addition und Multiplikation verträgliche vollständige Ordnung erklärt, die also den Eigenschaften (P1) (P3) genügt. Mit anderen Worten: (R, +,, <) bildet einen angeordneten Körper. Gleichfalls bildet (Q, +,, <) einen angeordneten Körper. Um die Eigenschaften der reellen Zahlen vollständig festzulegen reicht eine einzige weitere Anforderung die Vollständigkeit, die im kommenden Semester diskutiert wird. 5

6 Elementare Kombinatorik Aufgabe der Kombinatorik ist das systematische Bestimmen der Elementanzahl, der Kardinalität, M einer endlichen Menge M. M = n bedeutet daher, dass M genau n verschiedene Elemente hat. Etwas vornehmer ausgedrückt: M = n gilt genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung f : {1, 2,..., n} M gibt. 6

7 Einschub: Verknüpfung von Abbildungen Die Verknüpfung (Komposition) zweier Abbildungen f : M N und g : N P ist durch g f : M P, m g(f(m)) erklärt. (Die zuerst auszuführende Abbildung steht rechts.) Satz Die Verknüpfung von zwei bijektiven (injektiven, surjektiven) Abbildungen ist wieder bijektiv (bzw. injektiv, surjektiv). Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass die Verknüpfung von zwei injektiven (surjektiven) Abbildungen wieder injektiv (bzw. surjektiv) ist. Der Rest folgt. 7

8 Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung Wir erinnern uns: Eine Abbildung f : M N heißt bijektiv, wenn es zu jedem n N genau ein m M mit f(m) = n gibt. Dies ermöglicht die Definition der Umkehrabbildung zu f. Die Umkehrabbildung g : N M der bijektiven Abbildung f : M N ordnet jedem n N das (wegen der Bijektivität von f) eindeutig bestimmte Urbild m M mit f(m) = n zu. Schreibweise: f 1 := g. Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : M N ist wieder bijektiv. Warum? Eigenschaften: (a) (f 1 ) 1 = f (b) (f g) 1 = g 1 f 1. 8

9 Zählformeln I (Z1) M = N Es gibt eine bijektive Abbildung f : M N. Beweis. Verwende, dass Verknüpfungen von bijektiven Abbildungen und Umkehrabbildungen wieder bijektiv sind. (Z2) M N = M + N, falls M und N disjunkt sind, d.h. M N = gilt. Beweis. Zähle erst die Elemente von M, dann die von N ab. (Z3) M N = M N. Diese Formel haben wir bereits durch Induktion bewiesen. 9

10 Zählformeln II (Z4) Eine n-elementige Menge hat genau 2 n Teilmengen. Wurde bereits durch Induktion bewiesen. (Z5) Sei M eine m-elementige und N eine n-elementige Menge. Dann gibt es genau n m Abbildungen von M nach N. Beweis. Für jedes Element von M haben wir n Möglichkeiten, das Bild einer Abbildung f : M N zu erklären. Diese Wahlen sind unabhängig voneinander möglich. Es gibt somit genau n } n {{ n} Möglichkeiten. m-mal (Z6) Die Menge S n aller Permutationen einer n-elementigen Menge hat genau n! Elemente. Wurde früher per Induktion gezeigt. 10

11 Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (Z7) Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementige Menge ist ( ) n k := n(n 1) (n k+1) 1 2 k = n! k!(n k)!. Beweis durch Induktion nach n. Der Beweis folgt dem Muster der Anzahlermittlung aller Teilmengen. Induktionsverankerung: Für n = 1 ist die Gültigkeit leicht zu sehen. 11

12 Induktionsschritt von n auf n + 1: Sei A eine k-elementige Teilmenge der (n + 1)-elementigen Menge {m 1,..., m n+1 } und M = {m 1,..., m n }. Wir unterscheiden zwei Fälle m n+1 / A m n+1 A In diesem Fall gilt In diesem Fall hat A die Form A M. A = A {m n+1 } Hierfür gibt es nach Induktions- mit einer Teilmenge A von M. voraussetzung ( ) ( n k Möglichkeiten Hierfür nach I.V. n k 1) Möglichkeiten Gesuchte Anzahl daher: ( n ( n ) + k) k 1 = = = n! k!(n k)! + n! (k 1)!(n k + 1)! n!(n + 1 k)! + n!k! k!(n + 1 k)! n!(n + 1) ( n + 1 ) k!(n + 1 k)! = k. 12