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1 $Id: reell.tex,v.8 200//5 3:2:24 h Exp $ 4 Die reellen Zahlen 4.3 Das Vollständigeitsaxiom Wir hatten das Supremum einer Menge M R als die leinste obere Schrane von M definiert, sofern eine solche überhaupt existiert. Dieser Begriff ist mit dem Begriff des Maximums der Menge M verwandt, aber er ist nicht dasselbe. Wir wollen uns den Zusammenhang der beiden Begriffe urz einmal lar machen. Zunächst nehme an, dass M ein Maximum a max M besitzt. Dann ist a insbesondere eine obere Schrane von M und ist b R eine beliebige obere Schrane von M, so gilt wegen a M auch a b. Damit ist a die leinste untere Schrane von M, d.h. das Supremum von M. Gibt es also ein Maxiumum von M, so ist dieses auch gleich dem Supremum. Umgeehrt muss ein Supremum aber ein Maximum sein, ist zum Beispiel M 0, ), so ist sup M aber wegen / M ist ein Maximum von M. Haben wir allerdings eine Menge M R mit a sup M M, so ist a M insbesondere eine in M liegende obere Schrane von M, also ein Maximum von M. Entsprechendes gilt dann auch für das Minimum und das Infimum einer Menge M R. Zusammenfassend haben wir für M R also die folgenden Impliationen: a max M a sup M, a sup M a M a max M, a min M a inf M, a inf M a M a min M. Sei M R gegeben. Gibt es dann ein Supremum a R von M, so ist a insbesondere eine obere Schrane von M, d.h. M ist nach oben beschränt. Ist b R eine reelle Zahl mit b < a, so ann b eine obere Schrane von M mehr sein, da sonst ja a b gelten müsste, und dies bedeutet das es ein x M mit x > b gibt. Insbesondere muss M sein. Diese Beobachtung önnen wir jetzt zu einer äuivalenten Definition des Supremums umformulieren. Lemma 4.2 Charaterisierung von Supremum und Infimum) Seien M R eine Teilmenge und a R. a) Genau dann ist a ein Supremum von M wenn a eine obere Schrane von M ist und es für jedes b R mit b < a stets ein Element x M mit x > b gibt. b) Genau dann ist a ein Infimum von M wenn a eine untere Schrane von M ist und es für jedes b R mit b > a stets ein Element x M mit b > x gibt. 7-

2 Beweis: a) Dies haben wir bereits oben eingesehen. Keine reelle Zahl b R mit b < a ist eine obere Schrane von M, und damit muss für jede obere Schrane b von M stets b a gelten. Damit ist a ein Supremum von M. b) Analog zu a). Die Existenz von Supremum oder Infimum ann über die Axiome eines angeordneten Körpers nicht bewiesen werden, und das noch ausstehende Vollständigeitsaxiom der reellen Zahlen fordert diese Existenz einfach. Vollständigeitsaxiom: Jede nach oben beschränte, nicht leere Teilmenge M R der reellen Zahlen besitzt ein Supremum. Dieses ist das letzte noch fehlende Axiom für die reellen Zahlen, man sagt auch das R ein vollständig angeordneter Körper ist. Hierdurch sind die reellen Zahlen in gewissen Sinne auch eindeutig festgelegt, aber dies wollen wir hier nicht näher ausführen. Am Vollständigeitsaxiom fällt auf das hier das Supremum vor dem Infimum ausgezeichnet wird, während wir die beiden bisher als völlig analoge Spiegelbilder zueinander behandelt haben. Diese Auszeichnung des Supremums ist auch nur eine optische Täuschung, die Existenz des Infimums werden wir gleich beweisen. Umgeehrt hätte man genauso gut fordern önnen, dass jede nicht leere, nach unten beschränte Menge reeller Zahlen ein Infimum hat, und önnte dann die Existenz des Supremums beweisen. Lemma 4.3 Existenz des Infimums) Jede nicht leere, nach unten beschränte Menge M R reeller Zahlen hat ein Infimum. Beweis: Sei M R nach unten beschränt, d.h. M hat eine untere Schrane. Dann ist die Menge N : {a R a ist eine untere Schrane von M} R aller unteren Schranen von M nicht leer N. Ist a M, so gilt für jedes x N stets x a, da x ja eine untere Schrane von M ist, d.h. a ist eine obere Schrane von N. Damit ist jedes Element von M eine obere Schrane von N. Wegen M gibt es insbesondere überhaupt eine obere Schrane von N, d.h. die Menge N ist nach oben beschränt. Nach dem Vollständigeitsaxiom existiert das Supremum a : sup N R, und wir behaupten das a auch das Infimum von M ist. Ist x M so ist x eine obere Schrane von N, also a x. Damit ist a überhaupt eine untere Schrane von M. Ist jetzt b R eine beliebige untere Schrane von M, so ist b N und damit auch b a. Folglich ist a die größte untere Schrane von M, d.h. a inf M. 7-2

3 Wir werden im Laufe des Semesters sehr viele Anwendungen von Supremum und Infimum sehen, tatsächlich handelt es sich bei diesen beiden Begriffen um zwei der mit Abstand wichtigsten technischen Hilfsmittel der gesamten Analysis. Hier wollen wir jetzt nur noch eine allererste leine Anwendung vorführen, und die sogenannte archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen beweisen. Lemma 4.4 Die archimedische Eigenschaft von R) Sind a, b R mit a > 0 so existiert eine natürliche Zahl n N mit na > b. Beweis: Wir beweisen dies per Widerspruchsbeweis. Gäbe es ein solches n N mit na > b, so wäre na b für alle n N, d.h. b ist eine obere Schrane der Menge M : {na n N} R. Damit ist M nach oben beschränt und wegen 0 M ist auch M. Nach dem Vollständigeitsaxiom existiert das Supremum s : sup M von M. Wegen s a < s gibt es nach Lemma 2.a) ein x M mit x > s a, und nach Definition von M gibt es weiter ein n N mit na x > s a. Damit ist auch n + )a M mit n + )a na + a > s a + a s, aber andererseits ist auch n + )a s da s eine obere Schrane von M ist. Dies ist ein Widerspruch und das Lemma ist bewiesen. Beachte das wir in diesem Beweis die Existenz der natürlichen Zahl n durch einen Widerspruchsbeweis eingesehen haben. Das Wort Existenz bedeutet in der Mathemati nicht das man das existierende Gebilde in irgendeiner Weise onret angeben önnen muss oder eine Methode hat es zu berechnen. Daher ist es auch möglich die Existenz von etwas durch einen Widerspruchsbeweis zu beweisen. Manchmal ist es beuem für überhaupt jede Teilmenge M R Supremum und Infimum bilden zu önnen, unabhängig davon ob sie nach oben beschränt ist oder nicht. Hierzu gehen wir zu den sogenannten erweiterten reellen Zahlen R : R {, } über, indem zwei neue Elemente ± zu R hinzugefügt werden. Wir setzen die Ordnung von R durch < x < für alle x R fort, also insbesondere <. Addition und Multipliation sind auf R nicht vollständig definiert, man setzt nur + x + + x : und ) + ) ) + x x + ) : für alle x R und ) ) ) ) :, ) ) ) ) : 7-3

4 sowie x x : {, x > 0,, x < 0, x ) ) x : {, x > 0, x < 0 für alle x R\{0}. Andere Summen oder Produte werden nicht definiert. Ist dann M R eine beliebige Teilmenge, so existieren in R sowohl Supremum als auch Infimum. Ist nämlich M und nach oben beschränt, so gibt es sup M R nach dem Vollständigeitsaxiom. Ist M nicht nach oben beschränt, so ist die einzige obere Schrane von M in R, also auch sup M. Ist schließlich M, so ist jedes a R obere Schrane von M, also sup M. Insbesondere haben wir sup M R M ist nach oben beschränt. Entsprechendes gilt dann fürs Infimum, also insbesondere inf in R. Wenn wir ± als Supremum und Infimum zulassen wollen, so sprechen wir auch davon das Supremum und Infimum in R gebildet werden. Man önnte sogar sup M und inf M für Teilmengen M R betrachten, aber in aller Regel sind für uns nur Teilmengen von R von Interesse. Beachte das ± eine reellen Zahlen sind, der Übergang zu den erweiterten reellen Zahlen ist nur ein formaler Tric gelegentlich Fallunterscheidungen zu vermeiden. Ein Beispiel ist etwa die Übungsaufgabe 2.b). Wir haben zwei Mengen M, N R und wollen sagen, dass M N genau dann nach oben beschränt ist, wenn M und N beide nach oben beschränt sind und das in diesem Fall supm N) max{sup M, sup N} gilt. Interpretieren wir dies in R, so önnen wir uns das Gerede über nach oben beschränt sparen und müssen nur noch die Gleichung supm N) max{sup M, sup N} hinschreiben. Da M R genau dann nach oben beschränt ist, wenn in R die Bedingung sup M gilt, ist die Aussage über nach oben beschränte Mengen in der Gleichung für die Suprema enthalten. Auch der Fall das eine oder beide der Mengen leer sind, wird automatisch mit behandelt. Schließlich önnen die Symbole ± auch noch verwendet werden um unbeschränte Intervalle zu definieren. Definition 4.3: Sei a R. Dann heissen die Mengen [a, ) : {x R x a} und, a] : {x R x a} unbeschränte, abgeschlossene Intervalle und die Mengen a, ) : {x R x > a} und, a) : {x R x < a} heissen unbeschränte, offene Intervalle. Außerdem setzen wir noch, ) : R. Wie bei den beschränten Intervallen ist die Terminologie so gewählt, dass abgeschlossen bedeutet das die reellen Randpunte zum Intervall gehören und offen bedeutet das sie nicht zum Intervall gehören. 7-4

5 4.4 Potenzen mit rationalen Exponenten Reelle Potenzen x a werden in mehreren Stufen, geordnet nach immer allgemeineren Exponenten a definiert. In der ersten Stufe werden natürliche Exponenten a n N mit n behandelt, und bei diesen ist für die Basis x jede reelle Zahl zugelassen. Für x R und n N mit n definieren wir die Potenz x n als x n : x }.{{.. x}. n mal Nullte Potenzen werden dagegen durch x 0 : für alle x R eingeführt, also insbesondere 0 0. Interpretieren wir ein Produt mit Null Fatoren per Konvention als, so dect sich diese Definition mit derjenigen von x n für n. Aus den Körperaxiomen folgen die Potenzrechenregeln, dies wollen wir hier einfach glauben und es nicht alles vorführen: xy) n x n y n, x n x m x n+m und x n ) m x nm jeweils für alle x, y R, n, m N. Beachte das x nm) x n ) m ist, zum Beispiel ist 2 3 ) während 2 34 ) sehr viel größer ist. Es gibt auch eine Rechenregel für Potenzen von Summen, dies ist die sogenannte allgemeine binomische Formel. Bevor wie sie aussprechen önnen, müssen wir an eine leine Bezeichnung erinnern. Sind n, N mit n, so definiert man den Binomialoeffizienten n über als n ) n!!n )!. Ähnlich zu Aufgabe 3) ann man per Indution zeigen, dass n ) genau die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist. Lemma 4.5 Allgemeine binomische Formel) Für alle x, y R, n N gilt n ) n x + y) n x y n. 0 Beweis: Dies ann man etwa durch eine Indution über die natürliche Zahl n beweisen, die exate Durchführung dieses Beweises ist eine Übungsaufgabe. Beispielsweise sind damit n ) n + ) n 2 n und 0 n ) n ) ) n

6 Konret haben wir für einige leine Werte des Exponenten n die Gleichungen x + y) 2 x 2 + 2xy + y 2, x + y) 3 x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3, x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4, x + y) 5 x 5 + 5x 4 y + 0x 3 y 2 + 0x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5, x + y) 6 x 6 + 6x 5 y + 5x 4 y x 3 y 3 + 5x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6. Wie Sie wahrscheinlich aus der Schule ennen, ann man die Binomialoeffizienten beuem über das sogenannte Pascalsche Dreiec berechnen. Denen wir uns die Binomialoeffizienten n ) zu festen n zeilenweise angeordnet ) 0 0 ) ) 0 ) 2 ) 2 ) ) 3 ) 3 ) 3 ) so ergibt sich der -te Binomialoeffizient in Zeile n als die Summe des )-ten und des -ten Binomialoeffizienten in Zeile n, d.h. als die Summe der lins und rechts über ihm stehenden Einträge. Beispielsweise erhalten wir für n, 2, 3, 4, 5, 6 die Werte wie in den obigen binomischen Formeln gesehen. Ebenfalls leicht zu sehen ist das Zusammenspiel zwischen Potenzen und Anordnung x, y R, x, y 0) n N, n ) : x < y x n < y n. Andere Abschätzungen für Potenzen ann man jetzt durch Verwendung der allgemeinen binomischen Formel erhalten. Sind beispielsweise n N und n gegeben, so folgt für jedes x R mit x 0 auch + x) n n l0 ) n x l + l 7-6 ) n x.

7 Hier haben wir einfach alle Terme bis auf zwei in der binomischen Formel weggelassen, was den Ausdruc wegen x 0 leiner macht. Speziell für wird dies zu +x) n +nx für alle n N mit n und alle x R mit x 0. Tatsächlich gilt diese Aussage noch etwas allgemeiner: Lemma 4.6 Die Bernoulli-Ungleichung) Für alle x R mit x und alle n N gilt die Ungleichung + x) n + nx. Beweis: Dies ist Aufgabe ). Als nächsten Schritt definiert man dann Potenzen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Diese ann man aber nur noch für eine von Null verschiedene Basis einführen. Bereits im Axiom M4) haben wir für 0 x R die Schreibweise x eingeführt, und nach unserer Bruchdefinition ist x x x. Für n N mit n und 0 x R setzen wir allgemein x n : x n x) n. Auch für diesen allgemeineren Potenzbegriff gelten dann die Potenzrechenregeln ) n x xy) n x n y n, xn y y, n xn x m x n+m und x n ) m x nm für alle x, y R\{0}, n, m Z. Auch dies müsste man eigentlich beweisen, aber wir wollen uns dies an dieser Stelle ersparen. Eine vernünftige Formel für Potenzen von Summen bei negativen Exponenten gibt es leider nicht. Ordnungsbeziehungen drehen sich bei negativen Exponenten um, für x, y R mit x, y > 0 haben wir zunächst und für jedes n N mit n folgt weiter also haben wir insgesamt x < y y < x y < x y ) n < ) n, x x, y R, x, y > 0) n Z, n < 0) : x < y y n < x n. 7-7

8 Die nächste Ausdehnung des Potenzbegriffs erfolgt auf rationale Exponenten, d.h. wir wollen Potenzen x a für reelles x R mit x > 0 und rationales a Q definieren. Dies erfolgt durch Rücgriff auf reelle Wurzeln, aber leider sagen unsere Axiome für die reellen Zahlen nicht diret das es solche Wurzeln überhaupt gibt. Wie schon bemert legen die angegebenen Axiome die reellen Zahlen vollständig fest, wir sollten die Existenz von Wurzeln also beweisen önnen. Lemma 4.7 Existenz von Wurzeln) Sei n N mit n. Dann existiert für jede reelle Zahl a R mit a 0 genau eine reelle Zahl s R mit s 0 und s n a. Beweis: Da für x, y R mit 0 x < y stets x n < y n also insbesondere x n y n gilt, ist die Eindeutigeit der Wurzel s lar. Es ist also nur noch die Existenz zu beweisen. Da diese im Fall a 0 lar ist, önnen wir a > 0 annehmen. In diesem Fall setzen wir s : sup{x R x 0 x n a}, und das dies tatsächlich die gesuchte Wurzel ist, ist der Inhalt von Aufgabe 5). Die Zahl s des Lemmas wird dann natürlich als die n-te Wurzel n a : s von a definiert, d.h. n a ist diejenige, nicht negative, reelle Zahl deren n-te Potenz gleich a ist. Sind jetzt x R mit x > 0 und a Q gegeben, so schreiben wir a p/ mit p, Z, und definieren x a x p : ) p > 0. Diese Zahl hängt tatsächlich nur von a und nicht von den speziell gewählten p und ab, denn sind auch t, s Z mit s und a t s p, so ist auch t sp, also haben wir ) p ) s ) ps ) ) ps x ps x t s ) s) t s ) st s ) t ) s, und somit ist auch ) p s ) t. Damit ist x a tatsächlich sinnvoll definiert. Auch für diese allgemeineren Wurzeln ergeben sich jetzt wieder die Potenzrechenregeln xy) a x a y a, ) a x xa y y, a xa ) b x ab und x a x b x a+b 7-8

9 für alle x, y R, a, b Q mit x, y > 0. Auf den Nachweis dieser Formeln wollen wir hier verzichten. Auch die Regeln für Ungleichungen gelten für die Potenzen mit rationalen Exponenten. Sind zunächst x, y R mit x, y 0 und n N mit n, so haben wir n < n y n ) n < n y) n x < y. Sind dann weiter x, y R und a Q mit x, y, a > 0, so önnen wir a p/ mit p, N, p, schreiben, und es ergibt sich x < y < y ) p < y) p x a < y a. 7-9