Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest.

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1 Analysis, Woche Zahlen A. Elementares Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest... Logische Symbole Seien A und B Aussagen. So eine Aussage ist zum Beispiel: Gras ist grün, oder Kroodilien fliegen. Die erste Aussage wird meistens wahr sein; die zweite Aussage höchst selten. Für mathematische Aussagen werden wir in den Anfängervorlesungen zwei Möglicheiten zulassen: wahr oder unwahr. Um logische Folgerungen urz und lar aufschreiben zu önnen, hat man sich auf den folgenden Symbole geeinigt: A B heißt A und B gelten ; A B heißt A oder B gilt (auch beides gleichzeitig ist erlaubt); A B heißt wenn A gilt, dann gilt auch B ; A B bedeutet B A; A B bedeutet (A B) (A B); A ist die Verneinung von A. In einer Wahrheitstafel fasst man dies wie folgt zusammen: A B A B A B A B A wahr wahr wahr wahr wahr unwahr unwahr wahr unwahr wahr wahr wahr wahr unwahr unwahr wahr unwahr unwahr unwahr unwahr unwahr unwahr wahr wahr Beispiel. Die Aussage Wenn es regnet, fahre ich nicht mit dem Fahrrad zur Arbeit Diese Aussage ist wahr, denn ich fahre nie mit dem Fahrrad zur Arbeit. Ob es regnet oder nicht, ist egal.

2 2 22. Otober 205 Woche, Zahlen Beispiel.2 Die Aussage Wenn man Holländer ist, hat man Holzschuhe ist nicht wahr, denn der Autor dieses Sripts hat eine Holzschuhe. Beispiel.3 Die Aussage Die Aussage, dass wenn man Holländer ist, hat man Holzschuhe, ist unwahr ist wahr. Bei der Herleitung einer onsistenten Schlußfolgerung ist die logische Umehrung oft sehr nützlich. Mit Hilfe einer Wahrheitstafel sieht man leicht, dass A B und B A äquivalent sind: A B A B B A B A wahr wahr wahr unwahr unwahr wahr unwahr wahr wahr unwahr wahr wahr wahr unwahr unwahr wahr unwahr unwahr unwahr unwahr wahr wahr wahr wahr Diese Ergebnisse fassen wir zusammen in nächsten Lemma Lemma.4 Seien A und B beliebige Aussagen. Dann gilt die logische Umehrung: (A B) ( B A). Theoreme, Propositionen und Lemmata werden in der Mathemati benutzt um mehr oder weniger wichtige Aussagen onzentriert darzustellen...2 Sonstige Symbole Für eine onzentrierte Darstellung mathematische Ergebnisse verwendet man die folgende Symbole aus der Mengenlehre: x A heißt x ist ein Element von A ; A B heißt A ist eine Teilmenge von B ; A B = {x; x A oder x B} ist die Vereinigung beider Mengen ( oder ist hier nicht ausschließend); A B = {x; x A und x B} ist der Durchschnitt beider Mengen; A\B = {x; x A und x B}; heißt es gibt ; heißt für alle. Lemma.5 Sei A eine Menge und A x eine Aussage für x A. Dann folgt: ( x A gilt A x ) ( x A mit A x gilt nicht). Dies ann man noch ürzer fassen mittels: ( x A : A x ) ( x A : A x ). Eine allgemeine Aussage für die Elementen einer Menge ist also falsch, wenn man in dieser Menge ein Gegenbeispiel findet.

3 .2 Natürliche Zahlen 22. Otober Abbildungen, Funtionen Wenn A und B zwei Mengen sind, dann nennt man eine Vorschrift f, die an jedes Element von A ein Element von B oppelt, eine Abbildung oder Funtion. Man schreibt f : A B. Wenn für (a, b) A B gilt f(a) = b, dann nennt man b das Bild von a. Die Teilmenge f (b) := {a A; f(a) = b} nennt man das Urbild von b. Definition.6 Eine Abbildung f : A B heißt injetiv (= eineindeutig), wenn f(x) = f(y) impliziert, dass x = y. Bei einer injetiven Abbildung hat jedes Urbild höchstens ein Element. Definition.7 Eine Abbildung f : A B heißt surjetiv, wenn es für jedes b B ein a A gibt mit f(a) = b. Bei einer surjetiven Abbildung hat jedes Element von B ein nicht-leeres Urbild. Definition.8 Eine Abbildung f : A B, die surjetiv und injetiv ist, heißt bijetiv. Beispiel.9 Sei A die Menge aller Steuerzahler in Deutschland. Die Abbildung f, die deren Steuernummern liefert, ist überraschenderweise nicht injetiv. Tatsächlich scheint nur die Abbildung nach {Steuernummer,Identitätsnummer} injetiv zu sein. Beispiel.0 Sei A die Menge der Studenten am Donnerstagmorgen um 8.30 im Hörsaal B. Weil Mathemati- und Physistudierenden wieder die gleiche Vorlesung hören, haben wir befürchtet, dass die Abbildung auf die Sitzplätze surjetiv ist. Die ähnliche Abbildung am Montagmorgen wird garantiert nicht surjetiv sein. Diese und ähnliche Abbildungen sind normalerweise jedoch injetiv..2 Natürliche Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen nennt man N: N = {0,, 2,... }. Manchmal fängt man auch erst mit statt 0 an. Wir werden 0 dazunehmen und für die natürlichen Zahlen ohne 0 schreiben wir N + = {, 2, 3,... }. Addition und Multipliation sind Abbildungen von N N nach N. Wir nehmen an, dass man diese natürlichen Zahlen ennt. Die Liebhaber schauen sich in dieser Fußnote an, wie man sie axiomatisch einführt. Jede natürliche Zahl n 2, die nur durch n und innerhalb N teilbar ist, nennt man Primzahl. Peano führt N wie folgt ein: Definition. N wird definiert durch:. 0 N, 2. Es gibt eine Nachfolgerabbildung N : N N derart, dass: (a) 0 N(N), (b) N(n) = N() n = (N ist injetiv), (c) wenn A N derart ist, dass 0 A und N(A) A, so gilt A = N. Wenn man ein Römer ist, dann ürzt man durch: := N(0), 2 := N(N(0)) usw.

4 4 22. Otober 205 Woche, Zahlen.2. Vollständige Indution Wenn man für alle n N eine Behauptung B(n) beweisen möchte, ann man oft den folgenden Ansatz benutzen: Theorem.2 (Indutionsprinzip) Sei B(n) mit n N eine Folge von Behauptungen. Nehme an. B (0) gilt, und 2. (B(n) B(n + )) gilt für alle n N. Dann hat man B(n) gilt für alle n N. Bemerung.2. Die zweite Bedingung heißt: angenommen B(n) ist wahr, dann folgt, dass auch B(n + ) wahr ist und dies gilt für jedes n N Beweis. Nenne A die Teilmenge aus N, die definiert wird durch B(n) ist wahr für n A. Eigenschaft 2(c) aus Definition. gibt das Ergebnis. Als Beispiel betrachten wir eine berühmte Ungleichung. Lemma.3 (Bernoullische Ungleichung) Für x > und n N gilt ( + x) n + nx. (.) Beweis. Diese Behauptung läßt sich mit dem Indutionsprinzip beweisen. Zwei Aussagen sind zu beweisen.. B(0), also ( + x) 0 + 0x. Für n = 0 hat man ( + x) 0 = + 0x. 2. B(n) = B (n + ) für n N, also ( + x) n + nx = ( + x) n+ + (n + ) x. Angenommen, dass ( + x) n + nx (.2) gilt, findet man ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ) ( + nx) ( + x) = + (n + ) x + nx 2 + (n + ) x. Bei ) ist die Indutionsannahme (.2) benutzt worden, die Annahme, dass +x 0, und Ordnungsregeln beim Multiplizieren: a b und c 0 impliziert ca cb. Aus dem Indutionsprinzip folgt dann (.).

5 .2 Natürliche Zahlen 22. Otober Funtionen auf N Seien a für N irgendwelche Zahlen, die man addieren und multiplizieren ann. Notation.4 Man schreibt für n N + = {, 2, 3,... } folgendes: a = a + a a n, n a = a.a 2..a n. Außerdem vereinbart man, dass 0 a = 0 und 0 a =. Bemerung.4. Bei den Püntchen geht man davon aus, dass wir diese eindeutig ergänzen. Eine präzise Definition wäre indutiv: a = 0 und ( n+ ) a = a + a n+ für alle n N. So findet man 00 = = 5050 und man sieht, dass nur eine Notationshilfe ist. Für n N ann man zeigen, dass = n (n + ). 2 Auf ähnlicher Art definiert man auch a = a 0 + a + + a n und, wenn n 5 =0 a = a 5 + a a n. 5 Faultät: Man definiert für n N n! = n, sprich,,n-faultät, und dies ann man auch schreiben als n! = n(n )(n 2) für n N\ {0}, 0! =.

6 6 22. Otober 205 Woche, Zahlen Also: n n! Die Zahl n! erscheint beim Anordnen von gefärbten Kugeln. Man ann n unterschiedliche Kugeln auf n! unterschiedliche Möglicheiten hintereinander legen. 4 Kugeln ann man auf 24 verschiedene Arten anordnen. Binomialoeffizient: Man definiert für n, N: n + m = + m. m= Man spricht,,n über. Wenn man lieber mit Püntchen schreibt: = n n... n + 3 n + 2 n + für n N und N\ {0}, 3 2 = für n N. 0 Mit n unterschiedlichen Kugeln ann man unterschiedliche Teilmengen von Kugeln bilden. Nimmt man 3 aus 5 unterschiedlichen Kugeln, dann gibt es 0 Möglicheiten. Einige Identitäten: ( ) ( ) n n + Pascalsches Dreiec: =0 = = = n! für, n N mit n,! (n )! für, n N mit n, n + für, n N mit n, = 2 n für n N. 2 = ( 5 0 ( 0 ( ) 0) ( ( 0 2 ) ( 2 ) ) ( 2 ( 0 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( 4 ) 0 ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 4) ( )

7 .3 Rationale Zahlen 22. Otober Lemma.5 Für n N und beliebige Zahlen x, y ungleich 0 gilt: (x + y) n = =0 x y n. (.3) Beweis. Man beweist dieses Lemma mit Hilfe vollständiger Indution. =0 Wenn man erschrict vor, dann ann man (.3) notfalls anders schreiben: x y n = 0 y n + x y n + 2 x 2 y n x 3 y n x 4 y n n x n y + x n. n Dann geht man wieder davon aus, dass jeder die Püntchen versteht. Übrigens gilt diese letzte Formel auch für x, y = Ganze Zahlen Man setzt: Z = {..., 2,, 0,, 2,... }. Addition, Multipliation und sogar Subtration lassen sich auf Z Z definieren. Man sagt n m für n, m Z, wenn es eine Zahl N gibt so, dass n + = m. Für die Teilmenge der geraden Zahlen schreibt man und für die Teilmenge der ungeraden 2Z = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } 2Z + = {..., 5, 3,,, 3,... }..3 Rationale Zahlen Man setzt: Q = { n m ; n Z und m N+ }. Dabei unterscheidet man jedoch zum Beispiel nicht zwischen 3 5 und 9 5. Man sagt n m = a b, wenn nb = am. Addition und Multipliation werden definiert durch n m + a b = nb + ma mb und n a m b = na mb. Identifiziert man n und n, dann ist Z eine Teilmenge von Q..3. Algebraische Eigenschaften Wenn man (K, +, ) schreibt, meint man damit, dass K irgendeine Menge ist, wobei Addition (+) und Multipliation ( ) definiert sind. Insbesonders soll K abgeschlossen sein unter diesen beiden Operatoren, das heißt: für alle a, b K gilt a + b K und a b K. Definition.6 (K, +, ) nennt man einen Körper, wenn:

8 8 22. Otober 205 Woche, Zahlen (K, +) additive Gruppe (K \ {0}, ) mutipliative Gruppe. Für alle a, b, c K gilt (a + b)+c = a+(b + c), die Assoziativität der Addition; 2. Es gibt ein neutrales Element der Addition 0 K so, dass für jedes a K gilt a + 0 = a; 3. Zu jedem a K gibt es ein additiv inverses Element a K mit a+( a) = 0; 4. Für alle a, b K gilt a + b = b + a, die Kommutativität der Addition; 5. Für alle a, b, c K gilt (a b) c = a (b c), die Assoziativität der Multipliation; 6. Es gibt ein neutrales Element der Multipliation K mit 0 so, dass für jedes a K gilt a = a; 7. Zu jedem a K mit a 0 gibt es ein multipliativ inverses Element a K mit a a = ; 8. Für alle a, b K gilt a b = b a, die Kommutativität der Multipliation; 9. Für alle a, b, c K gilt a (b + c) = a b + a c, die Distributivität. Q wird mit Addition und Multipliation ein Körper. Bemerung.6. Die Eigenschaften bis 4 definieren (K, +) als (additive) Gruppe. Ebenso definieren die Eigenschaften 5 bis 8 (K\ {0}, ) als (multipliative) Gruppe. Wenn nur die Eigenschaften -3 erfüllt sind, dann nennt man (K, +) eine nicht-ommutative Gruppe. Und um eine Verwirrung aufommen zu lassen, wird (K, +), wenn alle 4 Eigenschaften erfüllt sind, auch explizit eine ommutative Gruppe genannt. Man ann diret ontrollieren, dass (Q, +, ) ein Körper ist, und dass (Q, +) und (Q\ {0}, ) eine additive, respetive multipliative Gruppe ist. p Öfters sieht man folgende Addition in Q: q = p+q. Angenommen wir nehmen m n m+n immer die leinstmögliche Schreibweise in Q, also 2 statt 4, welche Probleme hat man 3 6 denn so für (Q,, )? Welche Körpereigenschaften wären nicht erfüllt?.3.2 Ordnung Auf Z gibt es eine natürliche Ordnung. Man schriebt z < z 2, wenn z lins von z 2 steht in der Standardauflistung von Z:..., 2,, 0,, 2,..., und z z 2, wenn z nicht rechts von z 2 steht in diesee Aufistung. Diese Ordnung von Z önnen wir übertragen auf Q: Definition.7 Seien a n und b m in Q (mit a, b Z und n, m N\ {0}). Man schreibt a n b, wenn ma nb, m und man schreibt a n < b m, wenn a n b m und a n b m.

9 .3 Rationale Zahlen 22. Otober Unendlich und abzählbar Definition.8. Man nennt eine Menge A unendlich, wenn A nicht leer ist und wenn es eine Abbildung f : A A gibt, die injetiv, aber nicht surjetiv ist. 2. Man nennt eine Menge A abzählbar unendlich, wenn A unendlich ist und es eine surjetive Abbildung f : N A gibt. Lemma.9 Q ist abzählbar unendlich..3.4 Rationale Zahlen reichen nicht Die Griechen aus der Zeit von vor etwa 500 v.c. brachten die Zahlen in Verbindung mit messbaren Längen und dachten, dass sich alle Zahlen als Verhältnis von ganzen Zahlen schreiben lassen. Modern gesagt: Q reicht. Die Länge der Diagonalen im Einheitsquadrat gibt da aber schon ein Problem. Wegen Pythagoras findet man für die Länge x nämlich x 2 = = 2. Lemma.20 Es gibt eine rationale Zahl x so, dass x 2 = 2. Beweis. Man beweist diese Aussage durch einen Widerspruch. Nehme an, es gibt n Z und m N\ {0} so, dass ( n ) 2 = 2. m Man darf annehmen, dass n und m einen gemeinsamen Teiler haben, denn wenn es nicht so wäre, önnte man n und m vereinfachen, indem man durch den gemeinsamen Teiler dividiert. Es folgt n 2 = 2m 2. Weil die rechte Seite gerade ist, muss auch die line Seite gerade sein und so auch n. Es folgt, dass n = 2 für irgendein Z, und man findet 4 2 = 2m 2. Aus m 2 = 2 2 folgt, dass m gerade ist und man erhält einen Widerspruch. Anscheinend reichen die rationalen Zahlen nicht aus, und es gibt Löcher zu füllen zwischen den rationalen Zahlen. Das führt zu den sogenannten reellen Zahlen..3.5 Wie ann man reelle Zahlen einführen? Eine Möglicheit, die rationalen Zahlen zu vervollständigen, ist, die Ordnung von Q zu benutzen. Eine Konstrution ist wie folgt:. Sei F die Menge aller Folgen rationaler Zahlen, die monoton wachsend und nach oben beschränt sind. 2. Wenn {a n } n=0 und {b n} n=0 aus F sind, dann sagt man {a n} n=0 {b n} n=0 (beide Folgen sind äquivalent), wenn für jedes q Q gilt a n q für alle n N b n q für alle n N. Anders gesagt: beide Folgen haben die gleichen oberen Schranen.

10 0 22. Otober 205 Woche, Zahlen 3. Schlussendlich setzt man R = (F, ), dass heißt, man identifiziert Folgen, die äquivalent sind. Man fasst diese Konstrution zusammen, indem man sagt: R ist die Menge aller Grenzwerte von monoton wachsenden, beschränten Folgen aus Q. Wir haben aber noch nicht gesagt, was ein Grenzwert oder ein Limes ist. Wir ommen dann auch nächste Woche auf diese Einführung der reellen Zahlen zurüc. Beispiel.2 Wir zeigen hier den Anfang einer monoton wachsenden Folge, die 2 = liefert: {, } 4 0, 4 00, , , ,.... (.4) Eine andere monoton wachsende Folge rationaler Zahlen, die 2 approximiert, ist {a n } n N, definiert durch a 0 = und a n+ = 3a2 n + 2 4a n für n N. (.5) Man findet {, } 5 4, 07 80, , , ,... und wenn man diese Zahlen bis in 0 Dezimalen berechnet, folgt {,.25,.3375, , , ,... }. (.6) Die Folgen in (.4) und (.6) sind äquivalent. Wir werden übrigens noch sehen, dass man 2 viel schneller approximieren ann.