Einschub: Summen, Produkte und Potenzen.

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1 Einschub: Summen, Produte und Potenzen. Allgemeine Summen und Produte. n b := b m +b m+1 + +b n (fallsm n) =m n =m b := 0 (fallsm > n, leere Summe) n =m b := b m b m+1... b n (fallsm n) n =m b := 1 (fallsm > n, leeres Produt) 51

2 Einschub: Summen, Produte und Potenzen. Potenzen. a n := n =1 a fürn 0 1/(a n ) fürn < 0 Potenzgesetze. a n a m = a n+m (a n ) m = a n m 52

3 Binomialoeffizienten und deren Eigenschaften. Definition: Die Zahlen ( n m) heißen Binomialoeffizienten. Satz: (a) Fürn,m N mit0 < m n gilt die Reursionsformel ( ) ( ) ( ) n+1 n n = +, m m m 1 wobei ( ) n 0 = =0 ( ) n n = 1. (b) Fürn N 0 unda,b R gilt der Binomische Lehrsatz n ( ) n (a+b) n = a b n. 53

4 Beweis von Teil (a): Es gilt ( ) n m + ( ) n m 1 = n! m!(n m)! + n! (m 1)!(n m+1)! = n!(n+1 m)+n!m m!(n+1 m)! = n!(n+1 m+m) m!(n+1 m)! = = (n+1)! m!(n+1 m)! ( ) n+1. m 54

5 Beweis von Teil (b): durch vollständige Indution über n. Indutionsanfang (n = 0): Es gilt (a+b) 0 = ( ) 0 a 0 b 0 = 1. 0 Indutionsannahme: Fürn 0 gelte (a+b) n = n =0 ( ) n a b n. 55

6 Indutionsschluss (n n+1): (a+b) n+1 = (a+b)(a+b) n = (a+b) = = = = = n =0 ( ) n a +1 b n + n =0 n ( n =0 ( n ) a b n ) a b n+1 n+1 ( ) n n ( ) n a b n+1 + a b n+1 1 =1 =0 ( ) n n [( ) ( )] ( ) n n n a 0 b n a b n+1 + a n+1 b n =1 ( ) n+1 n ( ) ( ) n+1 n+1 a 0 b n+1 + a b n+1 + a n+1 b 0 0 n+1 n+1 =0 ( n+1 =1 ) a b n+1 56

7 Direte Berechnung der Binomialoeffizienten. Fürn,m N 0 mitm n gilt ( ) n n! = m m!(n m)! = n(n 1)... (n m+1) m = m =1 n +1. Klassisches Beispiel: Zahlenlotto. Es gibt ( ) 49 6 = 49! 6!43! = = Möglicheiten, aus einer 49-elementigen Menge eine 6-elementige Teilmenge auszuwählen. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlicheit, beim (lassischen) Zahlenlotto 6 aus 49 die 6 richtigen Zahlen zu tippen, beträgt 1 ) = ( =

8 Reursive Berechnung der Binomialoeffizienten Pascalsches Dreiec. Beispiel: (a+b) 5 = 1 a 0 b 5 +5 a 1 b a 2 b a 3 b 2 +5 a 4 b 1 +1 a 5 b 0 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 58

9 2.2 Primzahlen Definition: Eine natürliche Zahlm N heißt Teiler vonn N, falls ein N existiert mit Man schreibt dann auch m n. n = m. Jede Zahln N besitzt offensichtlich die beiden Teiler1undn, denn es gilt stets n = n 1 = 1 n Existiert fürn > 1 ein weiterer Teiler, so nennt manneine Primzahl. Die ersten Primzahlen lauten 2,3,5,7,11,13,17,19,23,... Bemerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. 59

10 Hauptsatz der Zahlentheorie. Satz: Jede natürliche Zahl n N läßt sich als Produt von Primzahlpotenzen schreiben, n = p r 1 1 p r p r, wobeip j Primzahl undr j N 0 für1 j. Beweis: durch Indution über n. Indutionsanfang (n = 1): Es gilt1 = 2 0. Indutionsannahme: Alle n besitzen Primfatorzerlegung. Indutionsschluss (n n+1): Fall 1: Sein+1Primzahl. Dann giltn+1 = (n+1) 1. Fall 2: Sein+1eine Primzahl. Dann gibt es,m n mitn+1 = m. Somit besizt n+1eine Primfatorzerlegung, daundmje eine besitzen. Bemerung: Fürn > 1 sind die (verschiedenen) Basenp 1,...,p und die zugehörigen Exponentenr 1,...,r 1 der Primfatorzerlegung eindeutig. 60

11 ggt und gv. Definition: Seienn,m N zwei natürliche Zahlen. Dann heißt ggt(n,m) = max{ teiltnundteiltm} der größte gemeinsame Teiler (ggt) von n und m. Weiterhin heißt gv(n,m) = min{ n teiltundmteilt} das leinste gemeinsame Vielfache (gv) von n und m. Beobachtung: Für n = p r 1 1 p r p r und m = p s 1 1 ps ps mit Primfatorenp 1,...,p und Exponentenr 1,...,r,s 1,...,s 0 gilt ggt(n,m) = p min(r 1,s 1 ) 1 p min(r 2,s 2 ) 2... p min(r,s ) gv(n,m) = p max(r 1,s 1 ) 1 p max(r 2,s 2 ) 2... p max(r,s ) 61

12 Beispiel. Für n = 525 = m = 180 = gilt ggt(525,180) = = 15 gv(525,180) = = 6300 und n m = = = ggt(525,180) gv(525,180). Beobachtung: Für allen,m N gilt n m = ggt(n,m) gv(n,m). 62

13 Der Eulidische Algorithmus. Fürn,m N läßt sich deren ggt mit dem Verfahren der iterierten Division (Eulidischer Algorithmus) bestimmen. Vorüberlegung: Zun,m N,n m, existieren eindeutigeq,r N 0 mit n = q m+r, wobei0 r < m. Algorithmus (Eulidischer Algorithmus) : INPUT:n,m N mitn m. Setzer 0 = n,r 1 = m undj = 1; REPEAT r j 1 = q j r j +r j+1, wobei0 r j+1 < r j ; Setzej = j+1; UNTIL(r j+1 = 0) OUTPUT:r j = ggt(n,m). 63

14 Beispiel. Fürn = 3054 undm = 1002 liefert der Eulidische Algorithmus: 3054 = = = = Somit gilt ggt(3054,1002) = 6 und gv(3054,1002) = /6 = Z-Kombination des ggt(n,m) vonnundm. 6 = = 48 1 ( ) = = 21 ( ) 1002 = DieZ-Kombination vonn = 3054 undm = 1002 ist gegeben durch ggt(3054,1002) = 6 =

15 2.3 Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m n } m Z,n N. BEACHTE: 2 / Q. ABER: Die Zahl 2 lässt sich beliebig genau durch rationale Zahlen ausqapproximieren, d.h. zu jedemǫ > 0 gibt es einq Q mit 2 q < ǫ. DAHER: Definieren den Zahlenbereich R der reellen Zahlen. 65

16 Axiomensystem für die reellen Zahlen. (I) Regeln der Addition (Abelsche Gruppe): (a) x+(y+z) = (x+y)+z (b) x+y = y+x (c) x+0 = 0+x = x (d) x+( x) = ( x)+x = 0 (II) Regeln der Multipliation: (a) x (y z) = (x y) z (b) x y = y x (c) x 1 = 1 x = x ) (d) x (1 x = ( 1 x) x = 1 fürx 0 (III) Distributivgesetz:x (y+z) = x y+x z 66

17 Weitere Axiome für R. (IV) Ordnungseigenschaften: (a) (b) (c) (d) (e) (f) x y y x x x x y y x = x = y x y y z = x z x y = x+z y+z x y z 0 = x z y z (V) Vollständigeitsaxiom (DEDEKIND, 1872): SeiR = L Rzerlegt in nichtleere MengenL,R mit x L, y R : x < y. Dann gibt es genau eine Schnittzahls R mit x L, y R : x s y. 67

18 Bemerungen. Eine nichtleere Menge mit (I) heißt Abelsche Gruppe. Eine nichtleere Menge mit (I) (III) heißt Körper. Ein Körper mit (IV) heißt angeordneter Körper. Die rationalen Zahlen Q bilden einen angeordneten Körper. ABER: Die rationalen Zahlen erfüllen nicht das Vollständieitsaxiom! DENN: Für L := {x Q x 2 < 2 x < 0} R := {x Q x 2 > 2 x > 0} gibt es eine Schnittzahl inq. Die Schnittzahl wäres = 2 / Q. 68

19 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen. (1) x y = x y (2) x y z 0 = x z y z (3) x 2 0 (4) x y u v x+u y+v (5) 0 x y 0 u v = x u y v Beweis: Mit Ordnungsaxiomen (IV), z.b. (1): x y = x+( x y) y+( x y) = y x. (2): x y z 0 = x y ( z) 0 = x ( z) y ( z) = x z y z 69

20 Definition: Zua R heißt der Betrag vona. a := a fallsa 0; a fallsa < 0; Zua,b R heißt a b der (nichtnegative) Abstand der Zahlenaundb. Eigenschaften: (1) a 0 (2) a = 0 = a = 0 (3) ab = a b (4) a + b a + b (Dreiecsungleichung) (5) U ε (a) := {x R x a < ε} (ε > 0) = (a ε,a+ε) (ε-umgebung von a) 70

21 Definition: SeiM R Teilmenge vonr. (1a) Dann heißtx R obere Schrane vonm, falls w M : w x. (1b) x R heißt untere Schrane vonm, falls w M : w x. (2a) M heißt nach oben beschränt, falls es eine obere Schrane von M gibt. (2b) M heißt nach unten beschränt, falls es untere Schrane von M gibt. (3a) s R heißt Supremum vonm, fallssdie leinste obere Schrane vonmist. (3b) s R heißt Infimum vonm, fallssdie größte untere Schrane vonmist. Bezeichnungen: sup(m) Supremum von M; inf(m) Infimum vonm. Beispiele: (1)M = [1,2) R. Dann gilt inf(m) = 1, sup(m) = 2. (2) FürM = {x R x = 2n+1 n(n+1),n N} = { 3 2, 5 6, 7 12, 9 20, 11 30,...} gilt inf(m) = 0, sup(m) = 3/2. 71

22 Satz: Jede nichtleere nach oben beschränte Menge M R besitzt ein Supremum. Jede nichtleere nach unten beschränte Menge M R besitzt ein Infimum. Beweis: Mit Hilfe des Vollständigeitsaxioms (V). Folgerungen: (1) Die Menge N der natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränt. (2) Für allex R gilt x > 0 = n N :0 < 1 n < x (3) Zwischen zwei reellen Zahlen x < y liegen (unendlich viele) rationale Zahlen. 72