STETIGKEITS- UND KONVERGENZMODI FÜR FUNKTIONEN UND FUNKTIONENFOLGEN

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1 STETIGKEITS- UN KONVERGENZMOI FÜR FUNKTIONEN UN FUNKTIONENFOLGEN. Vorbemerungen Im folgenden seien stets: (M, d), (K, ρ) metrische Räume, (V, V ) ein Banach-Raum (nicht notwendigerweise endlichdimensional!), A eine beliebige Indexmenge (insbes. möglicherweise auch überabzählbar) M eine zunächst beliebige Teilmenge von M f, g : K, f : K für N, g α : K für α A zunächst beliebige Funtionen Φ, Ψ : V, Φ : V für N Ψ α : R für α A zunächst beliebige Funtionen. Man beachte, daÿ hierdurch der Fall reellwertiger Funtionen bereits erfaÿt ist, nämlich für (V, V ) = (R, ) ies sind unsere Standardvoraussetzungen. Sollen die Räume, Mengen und Funtionen zusätzliche Voraussetzungen erfüllen, so wird dies an der entsprechenden Stelle angegeben. Bemerung. Wer möchte, ann sich M als R n mit Standardmetri vorstellen. Aus d(x, y) wird dann x y, wobei die Norm ohne Index stets die Eulidische Standardnorm auf dem R n bezeichne. 2. Stetigeit Wir rufen uns zunächst einmal in Erinnerung, daÿ Stetigeit im Gegensatz zu ierenzierbareit ein rein topologisches Konzept ist, das weder eine Metri noch eine lineare Strutur benötigt. Sie ann folgendermaÿen deniert werden. enition. Eine Abbildung a : M K heiÿt stetig, falls für jede oene Menge O K das Urbild a (O) M oen ist. Es ist zu beachten, daÿ diese enition eine Aussagen über Stetigeit in einzelnen Punten erlaubt, sondern nur die Stetigeit der Abbildung a als Ganzes erlärt. ies tut folgende enition: enition 2. Eine Abbildung a : M K heiÿt stetig im Punt x 0 M, falls eine oene Menge A M mit x 0 A existiert, sodaÿ die Einschränung a A : A K von a auf A stetig im Sinne von ef. ist. abei ist wegen der Oenheit von A M eine Menge U A oen in A, falls sie in M oen ist. Nun ann man die Stetigeitsbegrie für Abbildungen zwischen metrischen Räumen auf diese topologischen enitionen zurücführen. Proposition. (i) f ist stetig im Punt x 0 genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodaÿ für alle x U δ (x 0 ) gilt: f(x) U ε (f(x 0 )) ( K), oder in den Metrien ausgedrüct:... genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodaÿ für alle x mit d(x, x 0 ) < δ gilt: ρ(f(x), f(x 0 )) < ε. (ii) f ist genau dann stetig auf, wenn f in jedem Punt x 0 stetig im Sinne von (i) ist, also genau dann, wenn zu jedem x 0 und jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodaÿ für alle x U δ (x 0 ) gilt: a(x) U ε (a(x 0 )). ies ist nun die beannte enition von Stetigeit aus der Analysis. Man beachte, daÿ im zweiten Teil des Satzes das zu ndende δ sowohl von ε als auch vom Punt x 0 abhängen darf. Es handelt sich also um puntweise Stetigeit. Eine viel stärere Eigenschaft ist die gleichmäÿige Stetigeit. Sie liegt vor, wenn man zu gegebenem ε ein universelles δ ndet, das nicht von x 0 abhängt: enition 3. f heiÿt gleichmäÿig stetig (auf ), falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodaÿ für alle x, y mit d(x, y) < δ gilt: ρ(f(x), f(y)) < ε. Noch einmal der Unterschied zum Meren: Um Stetigeit auf zu überprüfen gebe man ε > 0 und x 0 beliebig vor und nde dann ein δ > 0, sodaÿ für alle x mit d(x, x 0 ) < δ gilt: ρ(f(x), f(x 0 )) < ε. Um gleichmäÿige Stetigeit zu prüfen gebe man nur ε > 0 vor und nde dann bereits ein δ > 0, welches für alle x 0 im obigen Sinne ausreicht.

2 STETIGKEITS- UN KONVERGENZMOI FÜR FUNKTIONEN UN FUNKTIONENFOLGEN 2 as Attribut gleichmäÿig beschreibt also die Unabhängigeit einer Eigenschaft von den Punten im enitionsbereich, an denen die Eigenschaft betrachtet wird. Man beachte insbesondere, daÿ der Begri der gleichmäÿigen Stetigeit erst durch die Metri einen Sinn ergibt, da Aussagen über die Gröÿe (ε, δ) von Umgebungen bzw. den Abstand zweier Punte gemacht werden. Wir erinnern uns noch an folgende wichtige Feststellung aus der Analysis : Theorem. Sei M ompat. ann ist die Funtion f genau dann stetig, wenn sie gleichmäÿig stetig ist. ie eigentliche Aussage ist hierbei, daÿ stetige Funtionen auf Kompata gleichmäÿig stetig sind, die andere Richtung ist trivial. Falls nicht ompat ist, so gilt dieser Satz im allgemeinen nicht, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt. Beispiel. Wähle M = R, = (0, ) und f : x x R. ann ist f stetig auf, jedoch nicht gleichmäÿig stetig. Man beachte, daÿ f auch nicht zu einer auf dem ompate Intervall [0, ] stetigen Funtion fortgesetzt werden ann. 3. Konvergenz Nachdem wir die grundlegenden Begrie der (puntweisen) und gleichmäÿigen Stetigeit von Funtionen wiederholt haben, ommen wir nun zur Konvergenz von Funtionenfolgen. azu erinnern wir uns noch einmal an den Konvergenzbegris in metrischen Räumen. enition 4. Sei x M. ann heiÿt eine Folge (x ) N M onvergent gegen x, falls für jede Umgebung U M mit x U ein 0 N existiert, sodaÿ x U 0. Man schreibt lim x = x oder x xfür. Bemerung. iese enition gilt auch in allgemeinen topologischen Räumen (die wir hier nicht betrachten). In metrischen Räumen ann man das auch wie folgt formulieren: Proposition 2. Sei x M. Eine Folge (x ) N M onvergiert genau dann gegen x, wenn zu jedem ε > 0 ein 0 N existiert, sodaÿ d(x, x ) < ε 0 (wenn also in jeder ε Kugel um x alle x ab einem gewissen Index 0 liegen; vgl. die topologische ef.). esweiteren gibt es in metrischen Räumen den Begri der Cauchy-Folge: enition 5. Eine Folge (x ) N M heiÿt Cauchy-Folge, falls zu jedem ε > 0 ein 0 N existiert, sodaÿ für alle, l 0 gilt: d(x, x l ) < ε. Anschaulich gesprochen bedeutet das, daÿ die Abstände der Folgeglieder für groÿe sehr lein werden. Es gilt: Proposition 3. Sei (x ) N M onvergent, d.h., es existiere x M, sodaÿ lim x = x. ann ist (x ) N eine Cauchy-Folge. Es ist beannt, daÿ die Umehrung im allgemeinen falsch ist. Sie gilt jedoch in vollständigen Räumen: enition 6. Ein metrischer Raum M heiÿt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge (x ) N M einen Grenzwert x hat, der in M liegt. Ein vollständiger normierter linearer Raum heiÿt Banach-Raum (man erinnere sich, daÿ jeder normierte Raum (X, X) mit der Metri d X(x, y) = x y X zu einem metrischen Raum wird, auf den die obigen Aussagen angewandt werden önnen). Bemerung. ie meisten in der Vorlesung explizit auftretenden Räume sind vollständig. Es gibt jedoch Ausnahmen, z.b. den Raum der reellwertigen Regelfuntionen auf einem ompaten Intervall, versehen mit der Integralnorm f = b a f(x) dx. N.B.: Man beachte, daÿ das Konzept des normierten Raums im Gegensatz zu dem des metrischen Raums eine lineare Strutur voraussetzt. Ohne Addition und Multipliation mit Salaren wären die reiecsungleichung für die Norm und die Homogenität ( αx = α x ) nicht zu erlären. Eine Metri ann man hingegen auf jeder beliebigen Menge erlären (siehe ÜA zur disreten Metri aus Analysis ). Nun önnen wir uns dem eigentlichen Thema, nämlich der Konvergenz von Funtionenfolgen widmen. Wir beginnen wieder mit dem puntweisen Fall:

3 STETIGKEITS- UN KONVERGENZMOI FÜR FUNKTIONEN UN FUNKTIONENFOLGEN 3 enition 7. ie Folge (f ) N heiÿt puntweise onvergent gegen f, falls für alle x die Folge (f (x)) N (in K!) gegen f(x) onvergiert, wenn also zu jedem ε > 0 und jedem x ein 0 N existiert, sodaÿ ρ(f(x), f (x)) < ε 0. Man vergleiche diese enition mit der enition der Stetigeit einer einzelnen Funtion und beachte dabei folgendes: () An die Funtionen selbst werden überhaupt eine Anforderungen gestellt. Sie müssen nicht stetig sein und auch sonst einerlei Regularität aufweisen. (2) Es soll nun nicht der Abstand zwischen Funtionswerten an benachbarten Punten lein werden, sondern der zwischen den Werten verschiedener Funtionen am jeweils gleichen Punt (dies aber an jedem Punt in ). Ähnlich wie bei der Stetigeit ann man hier auch wieder ein universelles 0 zu gegebenem ε > 0 fordern, sodaÿ die obige Aussage mit diesem 0 für alle x gilt. Man beachte, daÿ die Funtionen immer noch weder stetig noch dierenzierbar noch beschränt oder ähnliches sein müssen. enition 8. ie Folge (f ) N heiÿt gleichmäÿig onvergent gegen f, falls zu jedem ε > 0 ein 0 N existiert, sodaÿ ρ(f(x), f (x)) < ε 0, x. Mit der Supremumsnorm f = f := sup f(x) V x läÿt sich gleichmäÿige Konvergenz f f auch als lim f f = 0 schreiben. Gleichmäÿige Konvergenz ist eine sehr stare Forderung und führt dementsprechend auch zu staren Aussagen: Proposition 4. Es onvergiere die Folge f auf gleichmäÿig gegen f. ann gelten: (i) f stetig für alle N = f stetig. (ii) f Regelfuntion für alle N = f Regelfuntion und es ist lim f dx = fdx ( = ) lim f dx. ie Grenzfuntion f erbt also gewisse Eigenschaften der f. Nun ann man mittels des Integralbegris noch einen weiteren Konvergenzmodus einführen. Wir erinnern uns dazu an die Integralnorm,,V auf dem Raum der Regelfuntionen, wobei nun ein Quader im R n sei: Φ,,V = Φ(x) V dx. enition 9. Seien Φ, Φ ( =, 2,... ) Regelfuntionen. ann sagt man, Φ onvergiere im Maÿ (oder bezüglich der L Norm bzw. in L ) gegen f falls lim Φ Φ,,V lim f (x) f(x) V dx = 0. N.B.: Wir hatten eine Integrale für Funtionen mit Werten in metrischen Räumen (wie sollte auch die Linearität des Integrals beschrieben werden), daher müssen wir hier mit den Banach-Raum-wertigen Funtionen Φ arbeiten. Bemerung. ieses Konzept ist dem der L 2 -Konvergenz aus Abschnitt 6.7 der Analysis sehr ähnlich. ort wurde die Konvergenz in der Norm ( Φ 2,,V = Φ(x) 2 V dx betrachtet. Analog ann man für beliebiges p [, ) die sogenannte L p -Norm ( Φ p,,v = ) 2 ) Φ(x) p V dx p und diesbezügliche L p -Konvergenz denieren. Man beachte jedoch, daÿ die Ähnlicheit dieser Normen nicht bedeutet, daÿ die Konvergenzmodi identisch sind. as Konzept der L -Konvergenz ist sehr viel schwächer als das der gleichmäÿigen Konvergenz, wie man sich schnell am Beispiel = [0, ] R = M, V = R und Φ (x) := { x für x [0, ) 0 für x [, ] { für x = 0, Φ(x) = 0 für x (0, ]

4 STETIGKEITS- UN KONVERGENZMOI FÜR FUNKTIONEN UN FUNKTIONENFOLGEN 4 larmachen ann. Umgeehrt impliziert gleichmäÿige Konvergenz stets die Konvergenz bezüglich der Integralnorm. Noch schlimmer verhält es sich mit der puntweisen Konvergenz und der Konvergenz in L. a beobachtet man nämlich folgende Beispiele: Beispiel.: = (0, ) R = M, V = R, Φ (x) := ann gilt zwar Φ Φ puntweise, jedoch lim Φ (x) Φ(x) dx = lim { 2 x für x (0, ) 0 für x [, ) die Folge Φ onvergiert also nicht bezüglich gegen Φ. Es geht jedoch auch umgeehrt: Beispiel 2. = (, ) R = M, V = R, { x für x ( Φ (x) :=, ) 0 sonst ann onvergiert Φ in L gegen Φ: lim Φ (x) Φ(x) dx = lim 0, Φ(x) 0. 2 xdx = lim ( 2 ) = 2 0,, Φ(x) 0. x dx = lim 2 xdx = 2 lim ( 0 2 ) = 0. Allerdings gilt lim Φ (0) = 0 = Φ(0), also onvergiert Φ nicht puntweise gegen Φ. Eine weitere Eigenschaft von Funtionenfamilien ist die gleichgradige Stetigeit: enition 0. ie Familie {g α α A heiÿt gleichgradig stetig im Punt x 0, falls zu beliebigem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodaÿ für alle x mit d(x, y) < δ und alle α A gilt: ρ(g α (x), g α (x 0 )) < ε. Sie heiÿt gleichgradig stetis in, falls sie in jedem Punt x 0 gleichgradig stetig ist. Man beachte, daÿ dieses δ sehr wohl von x 0 abhängen darf. as Ganze hat also zunächst einmal nichts mit gleichmäÿiger Stetigeit der einzelnen Funtionen zu tun. Wir hatten ja festgestellt, daÿ Gleichmäÿigeit eine Universalität des δ für den gesamten enitionsbereich bezeichnete. Hier soll das gefundene δ aber für alle g α anwendbar sein. (ie einzelnen Funtionen g α sind aber natürlich jede für sich stetig.) Hat man eine Familie gleichmäÿig stetiger Funtionen, so ann man aber auch denieren: enition. ie Familie {g α α A heiÿt gleichgradig gleichmäÿig stetig in, falls zu beliebigem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodaÿ für alle x, y mit d(x, y) < δ und alle α A gilt: ρ(g α (x), g α (y)) < ε. Auch hier gibt es wieder einige wichtige Beobachtungen: Proposition 5. Sei ompat, (f ) N eine gleichmäÿig onvergente Folge auf stetiger Funtionen. ann ist die Familie {f N gleichgradig stetig. ie Umehrung dieses Satzes ist im allgemeinen falsch (gleichgradig stetige Familien müssen gar eine onvergenten Teilfolgen enthalten), aber es gelten die folgenden Sätze: Proposition 6. Sei ompat, {f N eine auf gleichgradig stetige Familie, und es gelte puntweise f f. ann gilt auch f f glm. Theorem 2. ( Arzela, Ascoli) Sei ompat, {g α α A C 0 (; K) eine Familie auf stetiger Funtionen, die zudem gleichgradig stetig und puntweise beschränt ist (d.h., x ist {g α (x) α A eine in K beschränte Menge). ann besitzt jede Folge (g α ) {g α α A eine auf gleichmäÿig onvergente Teilfolge. ie Konvergenz von Funtionenfolgen önnen wir natürlich ganz analog zur Konvergenz von Zahlenfolgen auf Reihen von Funtionen übertragen: enition 2. Eine Reihe Φ von Funtionen heiÿt puntweise/gleichmäÿig onvergent gegen φ : V, falls die Folge (F n : V ) n N der Partialsummen (gegeben durch F n (x) = n Φ (x)) puntweise/gleichmäÿig gegen φ onvergiert.

5 STETIGKEITS- UN KONVERGENZMOI FÜR FUNKTIONEN UN FUNKTIONENFOLGEN 5 Man beachte, daÿ wir schon allein wegen der Summe nicht mehr in allgemeinen metrischen Räumen arbeiten önnen, sondern die lineare Strutur unseres Banach-Raums V benötigen. Wir erinnern uns, daÿ wir für Reihen im Gegensatz zu Zahlenfolgen noch den Begri der absoluten Konvergenz eingeführt hatten. afür benötigten wir die Norm. Ebenso önnen wir jetzt hier für Reihen von Funtionen denieren: enition 3. ie Reihe Φ heiÿt absolut (gleichmäÿig) onvergent, falls die Reihe Φ V eine (gleichmäÿig) onvergente Reihe von Funtionen Φ V : x Φ (x) V R ist. Zur besseren Anschauung wollen wir nochmal in Symbolen ausdrücen, was das bedeutet: Bemerung. (i) Φ ist absolut onvergent gegen φ : V, falls eine Funtion s : R und für alle x, ε > 0 ein N N existieren, sodaÿ für alle n N: n n Φ (x) φ(x) < ε und Φ (x) V s(x) < ε. V (ii) Φ ist absolut gleichmäÿig onvergent gegen φ : V, falls eine Funtion s : R und für alle ε > 0 ein N N existieren, sodaÿ für alle n N, x : n N Φ (x) φ(x) V < ε und Φ (x) V s(x) < ε.